第14讲正比例函数的图像及性质(原卷版+解析)

第14讲正比例函数的图像及性质掌握正比例函数的图像及性质重点是对正比例函数的性质的理解难点是正比例函数表达式的归纳总结模块一：正比例函数的图像正比例函数的图像一般地，正比例函数(是常数,)的图象是经过，这两点的一条直线，我们把正比例函数的图象叫做直线；图像画法：列表、描点、连线．在同一直角坐标平面内画出下列函数图像． （1）； （2） ； （3）； （4）．

函数的图像是经过点________、________的________．已知函数,当为何值时该函数图像经过原点？此时函数解析式是什么？已知点，并且点在直线上，求的面积．模块二：正比例函数的性质二、正比例函数的性质：当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 也随着逐渐增大．当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 则随着逐渐减小．若正比例函数，的值随的增大而减小，则_______．图像经过_______象限，的值随的值增大而_______．已知正比例函数，那么它的图像经过____________象限．如果正比例函数的自变量增加5，函数值减少2，那么当时，_______．已知函数，自变量的取值范围是，求的取值范围．一、单选题若正比例函数y＝(1－2m)x的图象经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（

）A．m＜0 B．m＞0 C．m＜ D．m＞若、、三点都在函数的图像上，那么的大小关系是（

）A． B． C． D．点A（x1，y1）、点B（x2，y2）在正比例函数y＝4x的图象上，当x1＜x2时，则y1与y2的大小关系是（

）A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法判断关于函数y＝﹣x，以下说法错误的是（

）A．图象经过原点 B．图象经过第二、四象限C．图象经过点 D．y的值随x的增大而增大二、填空题如图，在平面直角坐标系中，，，且于点A，则所在的直线解析式为_____．已知正比例函数，如果它的图像经过第二、四象限，则的取值范围是________．关于x的正比例函数y=(m+2)x，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是________．如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，请用“＞”表示a，b，c的不等关系是____．如图，已知B中的实数与A中的实数之间的对应关系是某个正比例函数，则图中a的值为_________．三、解答题已知是的正比例函数，并且当时．(1)求正比例函数的表达式；(2)判断点和点是否在这个函数的图象上．小明爸妈上山游玩，爸爸步行，妈妈乘坐缆车，相约在山顶缆车的终点会合．步行的路程是缆车所经线路长的倍，妈妈在爸爸出发后分钟才坐上缆车，缆车的平均速度为每分钟米．图中反映了爸爸整个过程中步行的路程(米)与时间(分钟)之间的函数关系．(1)爸爸行走的总路程是________米，他途中休息了________分钟；(2)当时，与之间的函数关系式是________；(3)爸爸休息之后，行走的速度是每分钟________米；当妈妈到达缆车终点时，爸爸离缆车终点的路程是________米．已知y是x的正比例函数，且当时，．(1)求这个正比例函数的解析式；(2)若点在该函数图象上，试比较，的大小．已知与成正比例，且当时，．(1)求y与x之间的函数解析式．(2)已知点在该函数的图像上，且，求点的坐标．已知4个正比例函数y＝k1x，y＝k2x，y＝k3x，y＝k4x的图像如图，则下列结论成立的是（）A．k1＞k2＞k3＞k4 B．k1＞k2＞k4＞k3C．k2＞k1＞k3＞k4 D．k4＞k3＞k2＞k1关于函数，下列说法错误的是（

）A．它是正比例函数 B．图象经过点C．图象经过一、三象限 D．当时，若函数是关于x的正比例函数，则该函数的图像经过第______象限．已知，是正比例函数的图象上的两点，若，则___（填“＞”、“＜”或“＝”）如图所示，三个正比例函数的图象分别对应的表达式：①，②，③.则a，b，c的大小关系是________.已知：如图，正比例函数y=kx的图象经过点A，（1）请你求出该正比例函数的解析式；（2）若这个函数的图象还经过点B（m，m+3），请你求出m的值；（3）请你判断点P（﹣，1）是否在这个函数的图象上，为什么？20．已知与成正比例，当时，(1)求与的函数表达式；(2)当时，求函数值；(3)当时，求自变量的值．第14讲正比例函数的图像及性质掌握正比例函数的图像及性质重点是对正比例函数的性质的理解难点是正比例函数表达式的归纳总结模块一：正比例函数的图像正比例函数的图像一般地，正比例函数(是常数,)的图象是经过，这两点的一条直线，我们把正比例函数的图象叫做直线；图像画法：列表、描点、连线．在同一直角坐标平面内画出下列函数图像． （1）； （2） ； （3）； （4）．【答案】见图．【解析】考查正比例函数图像的画法．

函数的图像是经过点________、________的________．【答案】，，一条直线．【解析】考查正比例函数图像的特点．已知函数,当为何值时该函数图像经过原点？此时函数解析式是什么？【答案】；．【解析】函数经过原点，则，解得：． 代入表达式中可得，函数解析式为：．【总结】本题主要考查正比例函数的概念．已知点，并且点在直线上，求的面积．【答案】9．【解析】∵点在直线上， ∴． ∴．【总结】考查正比例函数图像上的点坐标和解析式的关系，注意点坐标与线段长度之间的转换．模块二：正比例函数的性质二、正比例函数的性质：当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 也随着逐渐增大．当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 则随着逐渐减小．若正比例函数，的值随的增大而减小，则_______．【答案】．【解析】由题意，可得：，解得：．【总结】考查的图像性质的值随的增大而减小．图像经过_______象限，的值随的值增大而_______．【答案】一、三；增大．【解析】由题意，可得：，所以图像过一、三象限．【总结】考查的图像的值随的增大而增大．已知正比例函数，那么它的图像经过____________象限．【答案】一、三．【解析】∵，∴或，又∵，∴．∴图像过一、三象限．【总结】本题主要考查正比例函数的概念及图像的性质．如果正比例函数的自变量增加5，函数值减少2，那么当时，_______．【答案】．【解析】∵正比例函数的自变量增加5，函数值减少2，∴ ∴正比例函数解析式为． ∴当时，．【总结】本题主要考查正比例函数的概念及图像的性质．已知函数，自变量的取值范围是，求的取值范围．【答案】．【解析】∵， ∴ ，∴，∴．【总结】本题还可以画出正比例的函数图像，利用图像求的取值范围．一、单选题若正比例函数y＝(1－2m)x的图象经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（

）A．m＜0 B．m＞0 C．m＜ D．m＞【答案】D【分析】根据正比例函数的大小变化规律判断k的符号．【详解】解：根据题意，知：y随x的增大而减小，则k＜0，即1-2m＜0，m＞．故选：D．【点睛】本题考查正比例函数的性质．根据正比例函数的大小变化规律判断k的符号：当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．若、、三点都在函数的图像上，那么的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由于k＜0时，函数y随x的增大而减小．又因为，所以．【详解】解：∵k<0，∴函数的y值随x的增大而减小，∵，∴，故选：D．【点睛】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．点A（x1，y1）、点B（x2，y2）在正比例函数y＝4x的图象上，当x1＜x2时，则y1与y2的大小关系是（

）A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法判断【答案】A【分析】由正比例函数的性质可知，当时，随的增大而增大，随着的减小而减小，结合，即可作答．【详解】解：∵y＝4x中k＝4＞0，∴y随x的减小而减小，∵x1＜x2，∴y1＜y2．故选：A．【点睛】本题主要考查了正比例函数图象的性质，正比例函数图象上点的坐标的特征，利用图象的性质解答是解题的关键．关于函数y＝﹣x，以下说法错误的是（

）A．图象经过原点 B．图象经过第二、四象限C．图象经过点 D．y的值随x的增大而增大【答案】D【分析】根据正比例函数的定义与性质判定即可．【详解】解：A、由解析式可得它是正比例函数，故函数图象经过原点，说法正确，不合题意；B、由k＜0可得图象经过二、四象限，说法正确，不合题意；C、当x＝时，y＝﹣2，图象经过点，说法正确，不合题意；D、由k＜0可得y的值随x的增大而减小，说法错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查正比例函数的图像与性质，充分掌握正比例函数图象性质与系数之间的关系是解题关键．二、填空题如图，在平面直角坐标系中，，，且于点A，则所在的直线解析式为_____．【答案】【分析】作轴于E，证明，求出，，从而求得点C坐标，设直线的解析式为，将点C坐标代入求得k的值，从而得解．【详解】解：作轴于E，如图所示：∵，∴，，∴，又∵，∴，∴，，∵，，∴，，∴，，，∴，设直线的解析式为，将点C坐标代入得，，解得，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了待定系数法，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．已知正比例函数，如果它的图像经过第二、四象限，则的取值范围是________．【答案】【分析】根据正比例函数的性质和已知得出关于k的不等式，求出不等式的解集即可．【详解】解：∵正比例函数的图象经过第二、四象限，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查的是正比例函数的图象与系数的关系，熟知正比例函数中，当时函数的图象在二、四象限是解答此题的关键．关于x的正比例函数y=(m+2)x，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是________．【答案】m>-2【分析】先根据正比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【详解】解：∵正比例函数中，y随x的增大而增大，∴＞0，解得．故答案为；．【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，即正比例函数y=kx（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大．如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，请用“＞”表示a，b，c的不等关系是____．【答案】b＞a＞c．【分析】根据正比例函数的性质，可以判断a、b、c的大小关系，然后即可用“>”表示a，b，c的不等关系．【详解】解：由图象可得，c＜0，b＞a＞0，∴b＞a＞c，故答案为：b＞a＞c．【点睛】本题考查正比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数的性质解答．如图，已知B中的实数与A中的实数之间的对应关系是某个正比例函数，则图中a的值为_________．【答案】【分析】利用待定系数法求出该函数关系式，再把代入，即可求解．【详解】解：设该函数关系式为，根据题意得：当时，，∴，∴该函数关系式为，当时，，∴．故答案为：【点睛】本题主要考查了求正比例函数解析式，以及函数值，准确求出正比例函数解析式是解题的关键．三、解答题已知是的正比例函数，并且当时．(1)求正比例函数的表达式；(2)判断点和点是否在这个函数的图象上．【答案】(1)(2)点不在函数的图象上，点在函数的图象上【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据（1）所求解析式求出当时的函数值即可得到答案．【详解】（1）解：设正比例函数表达式为把，代入得，解得，∴正比例函数的表达式为；（2）解：把代入，得把代入，得∴点不在函数的图象上，点在函数的图象上．【点睛】本题主要考查了求正比例函数解析式，正比例函数的性质，熟知正比例函数图象上的点的坐标一定满足正比例函数解析式是解题的关键．小明爸妈上山游玩，爸爸步行，妈妈乘坐缆车，相约在山顶缆车的终点会合．步行的路程是缆车所经线路长的倍，妈妈在爸爸出发后分钟才坐上缆车，缆车的平均速度为每分钟米．图中反映了爸爸整个过程中步行的路程(米)与时间(分钟)之间的函数关系．(1)爸爸行走的总路程是________米，他途中休息了________分钟；(2)当时，与之间的函数关系式是________；(3)爸爸休息之后，行走的速度是每分钟________米；当妈妈到达缆车终点时，爸爸离缆车终点的路程是________米．【答案】(1)；(2)(3)；【分析】（1）根据图象获取信息：爸爸到达山顶用时分钟，中途休息了分钟，行程为米；（2）利用待定系数法解答正比例函数解析式即可；（3）休息前分钟行走米，休息后分钟行走米，利用路程、时间得出速度即可，先求妈妈到达缆车终点的时间，再计算爸爸行走路程，从而求出爸爸离缆车终点的路程．【详解】（1）根据图象知：爸爸行走的总路程是米，他途中休息了分钟．故答案为，；（2）设函数关系式为，图像过可得：，解得：，所以解析式为：，故答案为；（3）爸爸休息之后行走的速度是米分钟，妈妈到达缆车终点的时间：分，此时爸爸比妈妈迟到分，妈妈到达终点时，爸爸离缆车终点的路程为：米，故答案为；．【点睛】此题考查一次函数及其图象的应用，从图象中获取相关信息是关键．已知y是x的正比例函数，且当时，．(1)求这个正比例函数的解析式；(2)若点在该函数图象上，试比较，的大小．【答案】(1)正比例函数的解析式是(2)【分析】（1）用待定系数法即可得；（2）由正比例函数性质可得答案．【详解】（1）解：设正比例函数的解析式是，∵当时，，∴，解得，∴正比例函数的解析式是；（2）解：∵，∴y随x的增大而减小，又，∴．【点睛】本题考查待定系数法求正比例函数的解析式和正比例函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法．已知与成正比例，且当时，．(1)求y与x之间的函数解析式．(2)已知点在该函数的图像上，且，求点的坐标．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意可得：，再将代入求解即可；（2）将点代入解析式，联立，求解二元一次方程组即可．【详解】（1）解：由题意可得：将代入得，，解得即，化简得：即（2）将点代入得，则，解得即【点睛】此题考查了一次函数，掌握正比例函数的定义是解题的关键，形如的函数为正比例函数．已知4个正比例函数y＝k1x，y＝k2x，y＝k3x，y＝k4x的图像如图，则下列结论成立的是（）A．k1＞k2＞k3＞k4 B．k1＞k2＞k4＞k3C．k2＞k1＞k3＞k4 D．k4＞k3＞k2＞k1【答案】A【分析】首先根据直线经过的象限判断k的符号，再进一步根据直线的平缓趋势判断k的绝对值的大小，最后判断四个数的大小．【详解】解：首先根据直线经过的象限，知：k3＜0，k4＜0，k1＞0，k2＞0，再根据直线越陡，|k|越大，知：|k1|＞|k2|，|k4|＞|k3|．则k1＞k2＞k3＞k4，故选：A．【点睛】本题主要考查了正比例函数图像的性质，首先根据直线经过的象限判断k的符号，再进一步根据直线的平缓趋势判断k的绝对值的大小，最后判断四个数的大小．关于函数，下列说法错误的是（

）A．它是正比例函数 B．图象经过点C．图象经过一、三象限 D．当时，【答案】B【分析】根据正比例函数的图象与系数的关系解答，对于，当时，的图象经过一、三象限；当时，的图象经过二、四象限．【详解】A、它是正比例函数，说法正确，不符合题意；B、当时，，图象经过，说法错误，符合题意；C、，图象经过一、三象限，说法正确，不符合题意；D、当时，，说法正确，不符合题意；故选：B．【点睛】此题考查了正比例函数的性质和定义，熟练掌握正比例函数的定义与性质是解题关键．

若函数是关于x的正比例函数，则该函数的图像经过第______象限．【答案】二、四【分析】根据正比例函数定义可得：m2＝1且m−1≠0，计算出m的值，然后可得解析式，再根据正比例函数的性质可得答案．【详解】解：由题意得：m2＝1且m−1≠0，解得：m＝−1，∴函数解析式为y＝−2x，∵k＝−2＜0，∴该正比例函数的图像经过第二、四象限，故答案为：二、四．【点睛】此题主要考查了正比例函数定义和性质，掌握正比例函数是一次函数，自变量的指数为1是解决问题的关键．已知，是正比例函数的图象上的两点，若，则___（填“＞”、“＜”或“＝”）【答案】>【分析】根据正比例函数图象上点的坐标特征可得出y1=-x1、y2=-x2，结合x1＜x2，即可得出y1＞y2．【详解】∵正比例函数y=-x图象上的两点（x1，y1）、（x2，y2），∴y1=-x1，y2=-x2，又∵x1＜x2，∴y1＞y2．故答案为＞．【点睛】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，根据正比例函数图象上点的坐标特征找出y1=-x1、y2=-x2是解题的关键．如图所示，三个正比例函数的图象分别对应的表达式：①，②，③.则a，b，c的大小关系是________.【答案】【分析】根据正比例函数图象的性质分析．【详解】首先根据图象经过的象限，得a＞0