2025-2026学年湖南省邵阳第二高级中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年湖南省邵阳第二高级中学高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.若集合A={x|2x-3＜3x}，B={x|x≥2}，则A∪B=（）A.[2，+∞） B.（-3，+∞） C.（-3，2） D.（3，+∞）2.“x或y为有理数”是“xy为有理数”的（）A.充分必要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件3.0.75-0.1（）0.750.1A.大于 B.小于 C.相等 D.不确定4.函数在区间[1，4]上的奇偶性和最小值分别是（）A.奇函数、 B.偶函数

C.奇函数、6 D.既不是奇函数也不是偶函数、65.已知，求cosα-sinα的值（）A. B. C. D.6.在（x+y）（x-y）5的展开式中，x3y3的系数是（）A.10 B.0 C.10 D.207.一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会，如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，有多少种去法？（）A.24 B.32 C.30 D.288.甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球.则摸到红球的概率为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4=28，S8=24，则以下正确的是（）A.a1=10 B.d=-1 C.an=11-n D.Sn最大值为3010.设，则以下正确的是（）A.

B.a0=1

C.a1+a2+a3+…+a2026=2026

D.各项系数之和为111.已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为.记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为X，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为Y，则（）A.

B.

C.小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为

D.当时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若向量满足，则的最小值为

.13.如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内.如果四边形ABCD是边长为4cm的正方形，那么这个八面体的体积是

cm3.

14.已知双曲线与直线y=x+1相交于相异两点，设正数k为双曲线一条渐近线的斜率，则k的取值范围为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+asinC-b-c=0

（1）求A；

（2）若a=2，△ABC的面积为；求b，c．16.(本小题15分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1（n∈N*）．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若，令cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中点．

（1）求证：AM⊥平面PCD；

（2）求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值．18.(本小题17分)

某学院为了调查本校学生2026年4月“健康上网”（健康上网是指每天上网不超过两个小时）的天数情况，随机抽取了40名本校学生，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0，5]，（5，10]，（10，15]，…，（25，30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示.

（1）根据频率分布直方图，求出这40名学生中健康上网天数超过20天的人数，以及估计上网天数的样本数据的平均数和中位数；

（2）现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列及均值E（Y）.19.(本小题17分)

已知定义在R上的函数f(x)满足:对任意x,yR都有f(x+y)=f(x)+f(y),

且当x>0时,f(x)>0.

(1)求f(0)的值,并证明f(x)为奇函数;

(2)判断函数f(x)的单调性,并证明;

​​​​​​​(3)若f(k)+f(--)>0对任意x[-1,2]恒成立,求实数k的取值范围.

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】AD

10.【答案】ABD

11.【答案】BC

12.【答案】1

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】解：（）∵在中，，

利用正弦定理可得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入上式并约去2R得：

，

而,

∴,

∴,

∵C为三角形内角，∴0°<C<180°,∴sinC≠0，

∴，即，

∴，

∵A为三角形内角，∴0°<A<180°,

∴．

（）若，的面积为，

则，

​∴①，

又由余弦定理可得，

∴②，

由①②解得．

16.【答案】解：(1)设等差数列{}的首项为,公差为d,

则解得

=+(n-1)d=1+(n-1)2=2n-1.(2)=,=(2n-1),

=1+33+5++(2n-1),

=13+3++(2n-3)+(2n-1),

-,得-=1+2(3+++)-(2n-1)=1+2-(2n-1)=(2-2n)-2,

=(n-1)+1.

17.【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，CD⊥AD，

又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，

所以CD⊥平面PAD，又AM⊂平面PAD，

所以CD⊥AM，

因为△PAD是正三角形，M是PD的中点，则AM⊥PD，

又CD∩PD=D，CD，PD⊂平面PCD，

所以AM⊥平面PCD；

（2）解：取AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，PE，PF，

则EF=CD，EF∥CD，所以EF⊥AD，

在正△PAD中，PE⊥AD，

因为EF∩PE=E，EF，PE⊂平面PEF，

则AD⊥平面PEF，

在正方形ABCD中，AD∥BC，

故BC⊥平面PEF，

所以∠PFE是侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角，

由CD⊥平面PAD，EF∥CD，

则EF⊥平面PEF，又PE⊂平面PAD，

所以EF⊥PE，

设正方形ABCD的边长AD=2a，则，

所以，

则，

故侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值为．

18.【答案】10人，平均数16.5，中位数为17.22

Y的分布列为：Y012P

19.【答案】(1)证明:因为定义在R上的函数f(x)满足:对任意x,yR都有f(x+y)=f(x)+f(y),

令x=y=0，则f(0)=f(0)+f(0)，即f(0)=0,

令y=-x,则有f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0,

所以f(-x)=-f(x),

故函数f(x)为奇函数.

(2)f(x)是R上的增函数.

证明如下:设>,则,所以

,

由

,得

，

所以f(x)是R上的增函数;

(3)由题意可知,f(k+--)>0对任意x[-1,2]恒成立,

即f(k+--)>0对任意x[-1,2]恒成立,

由(1)知,f(0)=0,所以f(k+--)>f