2025-2026学年天津市南开中学高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年天津市南开中学高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共12小题，共60分。1.已知集合A={x∈N*|-1＜x＜6}，B={0，1，3，5，6}，则A∩B=（）A.{0，1，3} B.{1，3} C.{0，1，3，5} D.{1，3，5}2.已知x∈R，“”是“x2-2x-3≥0”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3.下列说法中正确的是（）A.在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数r越接近于1

B.若随机变量X～N（1，22），Y～N（2，22），则P（X≤1）＜P（Y≤2）

C.用决定系数R2来比较两个模型的拟合效果，R2越大，说明模型的拟合效果越好

D.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2=4.881＞3.841=χ0.05，则依据α=0.05的χ2独立性检验，可以认为“X与Y无关联”4.已知函数y=f（x）的部分图象如图，则f（x）的解析式可能为（）A.

B.

C.

D.

5.设，b=log23，c=log93，则（）A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.b＜a＜c D.c＜a＜b6.下列说法中正确的个数是（）

①的最小值为2

②的最小值为9

③已知ab＜0，则

④设a＞0，b＞0，则

A.1 B.2 C.3 D.47.已知，3b=4，则32b-a=（）A. B. C. D.8.已知函数f（x）为偶函数，且满足f（x）+f（x-2）=0，且当时，f（x）=x2+ax+3，则f（2026）=（）A.1 B.3 C.-1 D.-39.甲、乙两班决定举行篮球比赛，比赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到一个班比另一个班多2分或打满5局时结束.设甲班在每局中获胜的概率为，乙班在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立.比赛结束时甲班所得分数为X，则P（X=2）=（）A. B. C. D.10.已知a∈R，设函数f（x）=若关于x的不等式f（x）≥0在R上恒成立，则a的取值范围为（）A.[0，1] B.[0，2] C.[1，e] D.[0，e]11.某高校校庆发放纪念品，将6本完全相同的校庆纪念册、3枚完全相同的校庆纪念章、4张不同校园风景的明信片全部分给3位校友，要求每一位校友至少有一本纪念册，纪念章不能全给同一位校友，每一位校友至少有一张明信片，其中A明信片必须给校友甲，则不同的分配方案有（）A.420种 B.840种 C.960种 D.1280种12.已知函数，集合M={m|∃x1≠x2，f（x1）=f（x2）=m}，若对任意m1，m2∈M，都有|m1-m2|＜3，则t的取值范围为（）A.[-3，+∞） B. C.[-2，+∞） D.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。13.已知复数，则|z|等于

.14.（2x-y）6的展开式中x3y3项的系数为

.（用数字作答）15.若圆C：（x-1）2+（y-2）2=4与直线l：x-y+m=0相交于A，B，且∠ACB=120°，则实数m的值为

.16.某中学组织高二年级学生研学活动，需从上海、杭州、南京、哈尔滨、武汉、西安这6个城市中随机选择1个作为目的地.现从全年级抽取两个班级进行调查，记事件A=“这两个班级选择的目的地中至少有一个是杭州”，事件B=“这两个班级选择的目的地不同”，则P（B|A）=

.17.设函数f（x）=ex（x+2）+x2+2x+1，则满足f（m-1）＜f（m+4）的实数m的取值范围是

.18.已知，若存在x1，x2，…，xn∈[0，+∞），使得f（x1）+f（x2）+…+f（xn-1）=f（xn）成立的最大正整数n为6，则a的取值范围为

.三、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题15分)

已知函数f（x）=ax2-x+ln（x+1），a∈R.

（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；

（Ⅱ）讨论f（x）的单调区间.20.(本小题15分)

如图，三棱锥A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD，DA=DB=DC=，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=60°，E为BC的中点，点F满足EF=DA.

（Ⅰ）证明：BC⊥EF；

（Ⅱ）求直线DF与平面DAB所成角的正弦值；

（Ⅲ）求三棱锥F-ACD的体积.21.(本小题15分)

一个口袋装有除颜色外，形状、大小完全相同的6个白球，2个蓝球.

方案一：若取出白球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出蓝球，则放回小盒并再往小盒里加入4个蓝球；

方案二：若取出白球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出蓝球，则用白球替换该蓝球重新放回小盒中.

（Ⅰ）分别计算在两种方案下，抽两次球，第二次取到的球是蓝球的概率；

（Ⅱ）在方案一的前提下，连续抽取3次，用X表示取到蓝球的次数，求随机变量X的分布列和期望；

（Ⅲ）在方案二的前提下，求在第n（n≥2）次抽球时，抽到的球恰好是第二个蓝球的概率（结果用n表示）.22.(本小题15分)

已知函数f（x）=xlnx,g（x）=.

（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；

（Ⅱ）证明：对于区间（1，2）内任意两个不相等的实数s,t,都有|f（s）-f（t）|＞|g（s）-g（t）|；

（Ⅲ）函数F（x）=（e为自然对数的底数）在区间（1，2）内有唯一的零点x0，记m（x）=min{f（x），g（x）}（其中min{a,b}表示a,b中的较小值），若m（x）=n（n∈R）在区间（1，+∞）内有两个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2），证明：3x0-2x2＜x1＜n+1.

1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】C

10.【答案】D

11.【答案】B

12.【答案】A

13.【答案】

14.【答案】-160

15.【答案】1+或1-

16.【答案】

17.【答案】（-，+∞）

18.【答案】[-，-）∪（，]

19.【答案】3x-2y-3+2ln2=0

a≤0时，f（x）的单调递增区间为（-1，0），f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；0＜a时，f（x）的单调递增区间为（-1，0）和（，+∞），f（x）的单调递减区间为（0，）；a=时，f（x）的单调递增区间为（-1，+∞），无单调递减区间；a时，f（x）的单调递增区间为（-1，）和（0，+∞），f（x）的单调递减区间为（，0）

20.【答案】连接AE，DE．

因为，，

可知△ABD和△ACD是两个全等的等边三角形，则．

因为E为BC中点，所以AE⊥BC，DE⊥BC，

因为AE∩DE=E，AE，DE⊂平面ADE，

所以BC⊥平面ADE，

又AD⊂平面ADE，所以BC⊥AD，

而，则EF∥AD，所以BC⊥EF

21.【答案】（I）；

（Ⅱ）随机变量X的分布列为：X0123P==；

（Ⅲ）．

22.【答案】是函数f（x）的极小值点，无极大值点

由（Ⅰ）可知，当x∈（1，2）时，f'（x）=lnx+1＞0，

所以f（x）在（1，2）上单调递增．

对求导，可得D，

当x∈（1，2）时，g′（x）＜0，所以g（x）在（1，2）上单调递减．

不妨设1＜s＜t＜2，则f（s）＜f（t），g（s）＞g（t），

要证|f（s）-f（t）|＞|g（s）-g（t）|，即证f（t）-f（s）＞g（s）-g（t），

也就是证f（t）+g（t）＞f（s）+g（s），

令h（x）=f（x）+g（x）=xlnx+，x∈（1，2），

对h（x）求导，可得，

所以h（x）在（1，2）上单调递增，

因为1＜s＜t＜2，所以h（t）＞h（s），即f（t）+g（t）＞f（s）+g（s），

所以|f（s）-f（t）|＞|g（s）-g（t）

因为，x∈（1，2），

对F（x）求导，可得，所以F（x）在（1，2）上单调递增，

又因为，F（2）=，

根据零点存在定理，可知F（x）在（1，2）内有唯一的零点x0，且，

由（Ⅰ）可知f（x）在上单调递减，在上单调递增，且f（1）=0；由（Ⅱ）可知g（x）在（1，+∞）上单调递减，且g（1）=，，

因为，即，所以，

当1＜x＜x0时，f（x）＜g（x），则m（x）=f（x）=xlnx；当x＞x0时，f（x）＞g（x），则m（x）=g（x，

所以m（x）在（1，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，

因为m（x）=n在区间（1，+∞）内有两个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2），所以1＜x1＜x0＜x2，

要证3x0-2x2＜x1，即证x1+2x2＞3x0，

因为m（x）在（1，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，且m（x1）=m（x2）=n，

所以x1＜x0＜x2，

又因为m（x）在（x0