北京市西城区2025-2026学年高二下学期期末数学试卷（含解析）

北京市西城区2025-2026学年高二第二学期期末数学试题一、单选题1．下列函数中，存在极值点的函数是（

）A． B．C． D．2．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为A． B． C． D．3．甲、乙两人投篮的命中率分别为和，现甲、乙各投篮一次，记为甲命中的次数，为乙命中的次数，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．4．某公司计划用10年时间（从2026年初到2036年初）完成产能升级，若初始产能为，每年产能的增长率为定值，2030年初产能为，则2036年初的产能是（

）A． B． C． D．5．已知是无穷等差数列，“存在正整数，使得”是“存在正整数，使得”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知曲线在点处的切线方程为，设函数，则曲线在点处的切线方程是（

）A． B．C． D．7．若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．8．若函数的值域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、填空题9．已知函数，的导函数为，则__________.10．已知等差数列的公差不为零，且，则__________.11．某公司向市场投放三种新型产品，经调查发现第一种产品受欢迎的概率为，第二种、第三种产品受欢迎的概率分别为，，且不同种产品是否受欢迎相互独立.记为公司向市场投放三种新型产品受欢迎的数量，其分布列为0123则__________；__________.12．中国古代以“三分损益法”确定十二律管的长度.从黄钟出发，交替进行“损一”（乘）和“益一”（乘）操作，依次生得十二律管.记（黄钟），第次损益后所得律管的长度为，已知损益规则为，设，则数列的前11项中，最大值是__________.13．已知无穷数列满足，，给出下列四个结论：①对任意实数，存在实数，使得数列为等差数列；②对任意实数，存在实数，使得数列为单调递增数列；③对任意实数，存在实数，使得数列的每项都小于0且互不相等；④不存在实数和，使得数列为等比数列（公比），其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题14．已知在等比数列中，，公比为，且是和的等差中项.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足__________，求数列的前项的和.从①，；②这两个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.15．智能手机的普及推动了人们对电池续航与寿命的更高要求.电池健康度作为衡量电池实际性能与剩余寿命的核心指标，通常以百分比呈现.为评估市场上甲、乙、丙三种型号手机的电池耐用性，某评测机构对这三种型号手机各随机选取8台设备，每台均执行完全相同的1000次充放电循环测试.随后，使用专业设备检测并记录每台手机的当前电池健康度.下表为三种型号手机在完成1000次充放电循环后的具体电池健康度数据：型号电池健康度（%）甲85.286.584.879.185.986.283.979.4乙82.181.379.779.577.483.083.677.2丙76.982.878.179.082.079.677.282.7假设忽略其余因素对电池健康度的影响，用频率估计概率.(1)根据上述数据，若随机选择一台全新的甲型号手机，试估计其在完成1000次充放电循环后，电池健康度低于80%的概率；(2)若随机选择全新的甲、乙、丙型号手机各一台，每台手机各自完成1000次充放电循环后，记这3台手机中，电池健康度低于80%的手机数目为，求的分布列和数学期望；(3)若随机选择全新的甲、乙、丙型号手机各100台，每台手机各自完成1000次充放电循环后，记这三种型号手机电池健康度低于80%的手机数目分别为，，，试比较，，的大小.（结论不要求证明）16．盒子里有大小相同的12个球，其中有个红球，其余为白球，从中任取3个球，记为恰好取到2个红球的概率.(1)求的值；(2)当为何值时，取得最大值.17．已知函数，．(1)若为函数的极值点，求的值；(2)当时，求函数的单调区间；(3)若函数的图象恒在轴的下方，求的取值范围．18．给定正奇数，设为首项为，公差为()，项数为的等差数列，将中各项按如下规则排成一个有行，列的数阵．(1)若，，写出数阵，并计算；(2)求证：数阵中每一行所有数的和为同一定值；(3)设，从数阵的第1列开始，在每一列中，分别取出第行，第行，，第行，第1行，第2行，，第行的数，将取出的个数相加，记得到的和为．求证：对给定的数阵，的取值有且只有两种可能．参考答案1．A【详解】对于A，由函数，可得，令，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，当时，函数取得极小值，所以A符合题意；对于B，由函数，可得，所以函数在上单调递增，所以没有极值点，所以B不符合题意；对于C，由函数，可得其定义域为，且，所以在上单调递减，没有极值点，所以C不符合题意；对于D，由函数，可得其定义域为，且，所以在上单调递增，没有极值点，所以D不符合题意；2．B【详解】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，即仅第一个实习生加工一等品(A1)与仅第二个实习生加工一等品(A2)两种情况，则P(A)=P(A1)+P(A2)=×+×=故选B.3．D【详解】由题意可知，甲投篮一次命中次数X服从参数为的两点分布，则.同理，.已知，则，整理得，解得.4．B【详解】设初始产能，从2026年初到2030年初，经过了年，此时产能为，所以两边约去，得，从2026年初到2036年初，经过了年，此时的产能为，所以答案是B.5．A【详解】若，则，则充分性成立；若，则，但不存在正整数，使得，故必要性不成立，则“存在正整数，使得”是“存在正整数，使得”的充分不必要条件.6．B【详解】已知曲线在点处的切线方程为，则，，则，，则，故切线斜率为0，过点，切线方程为．7．D【详解】函数求导得，函数在上不是单调函数，等价于，在内有解，设，设两根，则，故两根异号，要使正根在区间内，则，解得，故实数的取值范围是．8．C【详解】当时，，时，，时，，则，所以在上单调递增，，此时的值域为，值域不是，舍去，当时，当时，，开口向上，对称轴为，所以，趋向时趋向，故段取值范围为；当时，，则，所以在上单调递增，，此时的值域为，缺少部分，值域不是，舍去，当时，当时，，开口向下，对称轴为，所以当时，，则，令，解得：，令，解得令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以要使函数的值域为，则，即，解得：，综上，实数的取值范围是.9．【详解】易得，则10．【详解】设等差数列的首项为，公差为（），因为，所以，解得，则.11．【详解】因为，所以，设事件表示“第种产品受欢迎”，，由题意得，且相互独立，根据题意，化简得，即，又，化简得，所以.12．/【详解】由题可得当，且为正奇数时，，则中所有奇数项，构成以为首项，公比为的等比数列，则为奇数时，，则当为偶数时，.从而当为奇数时，；当为偶数时，.因为R上减函数，则当为奇数时，，取等号时，当为偶数时，，取等号时.注意到，则数列的前11项中，最大值是.13．①②③④【详解】对于①，当数列是公差为0的等差数列时，此时，则，解得：，所以对任意实数，存在实数，使得数列为等差数列；故①正确；对于②,若数列为单调递增数列，则即，即恒成立，令，所以恒成立，等价于在上大于零恒成立，由于，令，解得：，令，解得：或令，解得：所以在和上单调递增，在单调递减，由于当时，，所以只要选取足够大，使得即可，故对任意实数，存在实数，使得数列为单调递增数列；故②正确；对于③，数列的每项都小于0且互不相等，则，且，则等价于当时，恒成立，由于，令，解得：，令，解得：或令，解得：所以在上单调递增，在上单调递减，当时，，只要取足够小的时，的值都是小于0的，由于方程的根，等价于的根，所以只要不取该方程的根即可，综上，只要取足够小的且不为方程的根时，对任意实数，存在实数，使得数列的每项都小于0且互不相等；故③正确，对于④，假设存在实数和，使得数列为等比数列（公比），所以恒有，即因为，，，所以，，是三次方程的根，所以，若数列为等比数列，则，所以，因为，所以在实数范围内无解，综上，不存在实数和，使得数列为等比数列（公比），故④正确.14．(1).(2)选择任意条件答案相同，的前项和为.【详解】（1）因为是和的等差中项，所以，即，所以，解得或（舍），所以，所以；（2）选择①，，，则有，解得，且，所以，所以数列是以2为周期的周期数列，所以，设数列的前项的和，则S；选择②，，则，，所以，设数列的前项的和，则；15．(1)(2)分布列为：0123数学期望(3)【详解】（1）解：由统计表格中的数据值，甲型号手机共8台，其中电池健康度低于的有2台，所以甲型号手机电池健康度低于的概率为.（2）解：由题意知，甲、乙、丙三种型号手机电池健康度低于的概率分别为：，随机变量的可能取值为，可得；；；，所以变量的分布列为：0123所以数学期望为.（3）解：由题意知，变量分别服从二项分布，，，可得，，，因为，所以.16．(1)(2)【详解】（1）由题可知，所以；（2）由（1）知，取得最大值，也即是取最大值，所以，解得，所以17．(1)(2)当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为(3)【详解】（1）由，，则，又为函数的极值点，则，解得，验证：时，，当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减，所以为函数的极大值点，即满足题意．故．（2）由，，令，，当时，，即，所以在上单调递增；当时，是开口向下的二次函数，且其对称轴为，又，则存在唯一正根，则当时，，即，所以在上单调递增；当时，，即，所以在上单调递减．综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．（3）由函数的图象恒在轴的下方，即在上恒成立．结合（2），当时，有在上单调递增，且时，，不符合题意；当时，是开口向上的二次函数，且其对称轴为，则当时，，即，所以在上单调递增，且时，，不符合题意；当时，在处取得最大值，则只需即可，又，得，则，得，即，整理得，所以，令，，则，即在上单调递增，且，所以时，解得，即时，解得，又，即，，又是开口向上的二次函数，且其对称轴为，则在上单调递增，则当时，，所以，故的