百校联盟2020届TOP300十月尖子生联考理科数学

百校联盟2020届TOP300十月尖子生联考（全国Ⅰ卷）理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x-a＞0}，，若，则实数a的取值范围是A．[1，＋∞）B．（1，＋∞）C．（-∞，1）D．（-∞，1]2．若函数f（x）＝loga（x＋2）＋2（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点M，则点M的坐标为A．（-1，3）B．（-1，2）C．（-2，2）D．（-2，3）3．已知，b＝40.3，c＝log43，则A．a＞c＞bB．a＞b＞cC．c＞a＞bD．b＞c＞a4．已知向量、的夹角为60°，，，则A．B．C．D．5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意n∈N*都有Sn＝2an-1，设bn＝log2an，则数列{bn}的前5项之和为A．11B．16C．10D．156．在命题“若a2＞1，则a＞1”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为A．0B．1C．2D．37．函数图象的一条对称轴方程为A．B．C．D．8．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．B．2C．D．9．已知3xy-2x-y＝2（x＞0，y＞0），则2x＋y的最小值为A．2B．C．D．410．定义在R上的函数y＝f（x＋3）为奇函数，且f（x＋3）-f（x）＝2f（3）对x∈R恒成立，则f（2019）的值是A．3B．1C．0D．-311．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分别为棱A1B1、AD、CC1的中点，则对角线BD1与平面EFG所成角的大小为A．B．C．D．12．已知函数f（x）是定义在（0，＋∞）上的可导函数，f（1）＝2，且，则不等式f（x）-e3-3x＞1的解集为A．（0，1）B．（1，＋∞）C．（1，2）D．（2，＋∞）第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题．13．已知，是平面内任意两个不共线的单位向量，，，当时，λ＝________．14．函数（φ∈R）为偶函数，则|φ|的最小值为________．15．在平面直角坐标系中，已知A（2，1），若点P的坐标（x，y）满足0≤y≤1-|x|，则|PA|的最大值为________．16．《益古演段》是我国古代数学家李冶（1192～1279）的一部数学著作．内容主要是已知平面图形的信息，求圆的半径、正方形的边长和周长等等．其中有这样一个问题：如图，已知∠A＝60°，点B、C分别在∠A的两个边上移动，且保持B、C两点间的距离为，则点B、C在移动过程中，线段BC的中点D到点A的最大距离为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）＝ex（a-x）＋1（x∈R）在x＝2处取得最大值．（1）求实数a的值；（2）若不等式f（x）≥mx＋1对x∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．18．已知函数f（x）＝|2x-a|，g（x）＝x-1．（1）当a＝3时，求不等式f（x）≤g（x）的解集；（2）若当x∈[1，2]时，f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．19．已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．且．（1）求角A；（2）若△ABC的面积为，求△ABC周长的最小值．20．已知数列{an}的通项an＝2n-1（n∈N*），数列{bn}为等比数列，且bn，an，bn＋1成等差数列．（1）求数列{bn}的通项；（2）设cn＝bn·log2an＋1，求数列{cn}的前n项和Sn．21．如图1，在平面四边形ABCD中，AB＝BC＝2AD＝2，，∠ADC＝90°．现将△ADC沿四边形ABCD的对角线AC折起，使点D运动到点P，如图2，这时平面APC⊥平面ABC．（1）求直线PB与平面ABC所成角的正切值；（2）求二面角B—AP—C的正切值．22．已知函数f（x）＝ex＋1-mx（m∈R）．（1）讨论函数f（x）在（0，＋∞）上的单调性；（2）若存在n∈R，使得n≤f（x）对恒成立，求mn的最大值．百校联盟2020届TOP300十月尖子生联考（全国Ⅰ卷）理科数学参考答案1．C【解析】∵，∴0≤x-1＜1，解得1≤x＜2，∴B＝[1，2），又∵，∴a＜1．2．B【解析】∵当x＝-1时，f（-1）＝loga（-1＋2）＋2＝2与a的值无关，∴点M的坐标为（-1，2）．3．D【解析】∵，b＝40.3＞40＝1，c＝log43＜log44＝1，且c＝log43＞log41＝0，所以b＞c＞a．4．B【解析】∵，∴．5．C【解析】∵Sn＝2an-1，∴a1＝1，Sn＋1＝2an＋1-1①，Sn＝2an-1②，由①和②得an＋1＝2an，∴数列{an}是以1为首项，以2为公比的等比数列，∴an＝2n-1，∴bn＝n-1，∴b1＋b2＋b3＋b4＋b5＝0＋1＋2＋3＋4＝10．6．B【解析】命题“若a2＞1，则a＞1”的逆命题为“若a＞1，则a2＞1”，为真命题；否命题为“若a2≤1，则a≤1”，为真命题；逆否命题“若a≤1，则a2≤1”，为假命题，所以假命题的个数为1．7．A【解析】∵，∴（k∈Z），∴（k∈Z），当k＝0时，．8．D【解析】由三视图可知，该几何体是正方体中的正四棱锥P—ABCD．∴．9．D【解析】由已知，得，当且仅当2x＝y时取等号．设，∴，∴，即，即xy≥2，∴2x＋y＝3xy-2≥4，当且仅当2x＝y＝2时取等号．∴2x＋y的最小值为4．10．C【解析】∵定义在R上的函数y＝f（x＋3）为奇函数，∴f（3）＝0，又∵f（x＋3）-f（x）＝2f（3）对x∈R恒成立，∴f（x＋3）＝f（x），∴f（x）的周期为3，∴f（2019）＝f（3）＝0．11．D【解析】如图，在正方体中取M、N、P分别为棱B1C1、AA1、CD的中点，则易知六边形ENFPGM为正六边形，在正方体中易证BD1⊥平面ENFPGM，∴对角线BD1与平面EFG所成角的大小为．12．A【解析】由可得3（f（x）-1）＋f′（x）＜0，设g（x）＝e3x（f（x）-1），则g′（x）＝e3x[3（f（x）-1）＋f′（x）]，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（0，＋∞）上为减函数．又由f（x）-e3-3x＞1，可得e3x（f（x）-1）＞e3＝e3（f（1）-1）＝g（1），∴0＜x＜1．13．1【解析】∵，∴，∵，不共线，∴λ＝1．14．【解析】由已知，得（k∈Z），∴（k∈Z），∴．15．【解析】由，得到如图所示的可行域，∴|PA|的最大值为．16．3【解析】如图，延长AD到点P，使AD＝DP．∵D是线段BC的中点，∴四边形ABPC是平行四边形，∴∠ACP＝120°，在△ABC中，BC2＝12＝AB2＋AC2-2×AB×AC×cos60°，∴BC2＝12＝AB2＋AC2-AB×AC≥AB×AC，在△ACP中，AP2＝AC2＋AB2-2×AC×AB×cos120°＝AC2＋AB2＋AC×AB，∴AP2＝12＋2×AC×AB≤36，∴2AD≤6，∴AD≤3．17．【解析】（1）∵f′（x）＝ex（a-x）-ex＝（a-1-x）ex，又∵f（x）在x＝2处取得最大值，∴f′（2）＝（a-3）e2＝0，∴a＝3，又∵当a＝3时，f′（x）＝（2-x）ex，∴x∈（-∞，2）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；x∈（2，＋∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．∴f（x）在x＝2处取得最大值，∴a＝3．（2）∵f（x）-mx-1＝ex（3-x）-mx≥0对x∈[1，2]恒成立，∴对x∈[1，2]恒成立，设，x∈[1，2]，∴m≤g（x）min，∵，∴g（x）在[1，2]上为减函数，∴，∴实数m的取值范围是．18．【解析】（1）∵|2x-3|≤x一1，∴，或，解得，∴不等式f（x）≤g（x）的解集为．（2）设h（x）＝f（x）-g（x）＝|2x-a|-x＋1，∴当，即a≥4时，h（x）min＝h（2）＝-5＋a≥0，解得a≥5；当，即2＜a＜4时，，无解；当，即a≤2时，h（x）min＝h（1）＝2-a≥0，解得a≤2．∴实数a的取值范围是（-∞，2]∪[5，＋∞）．19．【解析】（1）∵，且A＋B＋C＝π，∴，∴，∵0＜C＜π，且0＜A＜π，∴sinC＞0，∴，∴．（2）由，得bc＝8．又∵a2＝b2＋c2-bc，∴a2≥bc＝8，（当且仅当b＝c时取等号）∴（b＋c）2＝a2＋24，∴（），∴，∴△ABC周长的最小值为．20．【解析】（1）“数列{bn}为等比数列，且bn，an，bn＋1成等差数列．∴bn＋bn＋1＝2an＝2n，设数列{bn}的公比为q，∴，∴，解得，∴（n∈N*）．（2）∵（n∈N*）．∴，∴，∴，∴（n∈N*）．21．【解析】解法一：（1）∵AD＝1，，∠ADC＝90°，∴AC＝2，∴△ABC为正三角形，过点P向AC做垂线，垂足为E，连接BE，∵平面APC⊥平面ABC，AC为交线，∴PE⊥平面ABC，∴BE为PB在平面ABC内射影，∴∠PBE就是直线PB与平面ABC所成角，在直角三角形PAC中，PA＝1，，AC＝2，∴，∴，设O为AC中点，连接BO，易知BO⊥AC，且E为AO中点，在直角三角形BOE中，，，∴，又∵PE⊥平面ABC，且BE平面ABC，∴PE⊥BE，∴，∴直线PB与平面ABC所成角的正切值为．（2）∵平面APC⊥平面ABC，AC为交线，且BO⊥AC，∴BO⊥平面APC，过点O做OF⊥PA，垂足为F，连接BF，∵PA⊥OF，PA⊥BO，∴PA⊥平面BOF，∴PA⊥BF，∴∠BFO就是二面角B—AP—C的平面角，在直角三角形BOF中，，，∴，∴二面角B—AP—C的正切值为2．解法二：∵AD＝1，，∠ADC＝90°，∴AC＝2，∴△ABC为正三角形，设O为AC中点，则OB⊥AC，在平面ACP内，过点O作垂直于AC的直线l．∵平面APC⊥平面ABC，以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，直线l为z轴，建立如图所示空间直角坐标系．由平面几何知识，易得A（0，-1，0），，C（0，1，0），．（1）∵，又∵z轴⊥平面ABC，∴可取为平面ABC的法向量．设直线PB与平面ABC所成角为θ，则．∴∴．∴直线PB与平面ABC所成角的正切值为．（2）设平面ABP的法向量为．∵，，∴，即，令x＝1，得，又∵平面APC的法向量为，∴，∴，∴，∴二面角B—AP—C的正切值为2．22．【解析】（1）∵f（x）＝ex＋1-mx（m∈R），∴f′（x）＝ex＋1-m，当m≤0时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增；当m＞0时，由f′（x）＝ex＋1-m＝0，得x＝lnm-1．①当0＜m≤e时，x＝lnm-1≤0，∴x∈（0，＋∞）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增；②当m＞e时，x＝lnm-1＞0，∴x∈（0，lnm-1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，x∈（lnm-1，＋∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；综上可知，当m∈（-∞，e]时，函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增；当m∈（e，＋∞）时，函数f（x）在（0，lnm-1）上单调递减，在（lnm-1，＋∞）上单调递增．（2）当m＜0时，由n≤f（x），得ex＋1≥mx＋n对恒成立．因为函数y＝mx＋n在R上单调递减，不能使ex＋1≥mx＋n对x∈R恒成立；当m＝0时，mn＝0；当m＞0时，由n≤ex＋1-mx，得mn≤