第2讲：常用数学思想方法

常用数学思想方法1.函数与方程的思想方法:在数学解题中,有时需要把一个变量看作是另一个或另几个变量的函数,从而把题目转化为对函数的研究;有时题目中已经直接或间接地给出了某个函数,这时我们就可以充分挖掘和利用这个函数的性质使它为解题服务;有时我们可以依据条件去构造函数,通过对这个新的函数的研究去达到解题的目的.这些解题的思路都是在函数和变量的思想指导下启发出来,这种解题方法即为函数的思想方法.有大量的数学问题都可以转化为方程问题,也有许多数学问题从表面上看,与方程没有多少直接联系,但是从分析这些问题的数量关系入手,往往又可以把这些数学关系放到一个或几个方程中去解决,因此在解题中主动进行这种由未知向已知的转化,有意识地通过方程解决问题就成为解题中的一个常用的指导思想,这就是方程思想.方程(或不等式)与函数是互相联系的,在一定条件下,它们可以互相转化,如解方程就是求函数的零点;解不等式,就是由两个函数值的大小关系确定自变量的取值范围,这种形成了它们之间的内在规律.例1.设对所有实数不等式恒成立,求实数的取值范围.分析及解:首先从化简的角度,应将不等式化简,令则有(*)由题设上式对任意恒成立,当且仅当∴即解出此题还可以这样求解:由(*)式分离主元得即从而有(**)上式对任意均成立,只要小于右端的最小值,即亦即解出此解法是利用函数思想求解的,(**)式中为的函数,其定义域,不妨设≥0,(**)式的实质是,需小于的任一函数值,因此只需小于的最小值即可.故.例2.证明:对于一切大于1的自然数恒有分析及解:原不等式等价于:我们可视不等式的左边为变量为自然数的函数,利用其单调性求解.令≥2且则有≥2且≥2且∴即是单调增函数,(≥2且又∴当时,恒有故≥2且注:利用函数的单调性来证明不等式.例3.(1)证明下面的命题:一次函数若,则对于任意的都有(2)试用上面的结论证明下面的命题:若均为实数,且,则分析及解:本题是由一次函数的图象编拟的,要求用函数思想给出证明,我们不妨从函数的单调性入手.当时,在上是增函数,当时,则有f(m)<f(x)<f(n).∵∴当时,在[m,n]上是减函数,当时,有f(m)>f(x)>f(n).∵f(n)>0,∴综上所述,当k0时,对于任意,都有(2)题目要求用第(1)小题的结论证明该命题,所以首先需要构造一次函数.注意到欲证不等式等价于(b+c)a+bc+1>0,因此可构造函数f(x)=(b+c)x+bc+1,当时,f(a)=bc+1=即ab+bc+ca>-1.当时,f(x)=(b+c)x+bc+1为一次函数.∵f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)>0,f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)>0,∴由第(1)小题的结论,对于任意,都有f(a)>0.即ab+bc+ca+1>0.综上所述,恒有ab+bc+ca>-1.例4.某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量与月份数的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数（其中为常数），已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，请说明理由。分析及解：首先利用待定系数法确定两种函数的解析式，再判别时哪个函数值更接近1.37.设则解得∴再设则解得∴经比较可知，用作为模拟函数较好.例5.已知二次函数y=f(x)在处取得最小值(Ⅰ)求y=f(x)的表达式;(Ⅱ)若任意实数都满足等式(g(x)为多项式,,试用表示(Ⅲ)设圆cn方程为圆cn与圆cn+1外切,{是各项都是正数的等比数列,若为前个圆的面积之和,求分析及解:(Ⅰ)由题意可设二次函数为顶点式,然后利用待定系数法求出的表达式.设∵f(1)=0,∴得∴(Ⅱ)从中,求出an与bn,要使用待定系数法,取的特殊值,得到两个关于an,bn的方程,由于g(x)是任意多项式,所取值必须使.是一元二次方程,其两根为x1=1,x2=t+1,所以将x=1与x=t+1代入得到关于an,bn的两个方程,以求an,bn.将代入已知等式得将分别代入上式，得解此关于an,bn的方程组。由，可解得（Ⅲ）圆与圆外切,则∵又∵∴(或∵∴圆的圆心在直线x+y=1上,于是)又∵∴(1)为了求得,还需再找出一个关于的等式,通过解方程组,求出设{}的公比为q,则由(1)式可得(2)(3)(3)(2)得将(1)式代入上式得∴注:本题为1995年全国高考上海理科第25题.主要考查二次函数的知识,多项式的知识,直线与圆相切的条件,考查等比数列的概念,等比数列的求和,以及综合运用数学思想方法和数学知识解决问题的能力.例6.设椭圆的方程曲线的方程为,且c1与c2在第一象限内只有一个公共点P.(1)试用a表示点P的坐标;(2)设A,B是椭圆c1的两个焦点,当α变化时,求ABP的面积函数S(a)的值域;(3)记min{y1,y2,…,yn}为y1,y2,…,yn中最小的一个,设g(a)是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积,试求函数f(a)=min{g(a),S(a)}的表达式.分析及解:(1)将代入椭圆方程,得化简得由条件,有∴ab=2代入椭圆方程中得(舍去)故P点的坐标为((2)如图,在ABP中,高为∴∵a>b>0,∴即于是故即ABP的面积函数S(a)的值域为(3)先求出g(a)的表达式,然后将g(a)与S(a)比较大小即可.g(a)解不等式g(a)≥S(a),即≥整理得≥0,即≥0,解得a≤(舍去)或a≥故≤)注:此题是1999年上海高考题.本题是解析几何与函数的综合性问题,主要考查曲线交点的求法,函数解析式的求法,函数的值域等问题.函数问题中定义域先行的原则是处理函数问题的基本原则,应牢牢掌握.能力训练题:(1)方程的解属于区间()(A)(0,1)(B)(1,2)(C)(2,3)(D)(3,(2)若f(x)是奇函数,且在内是增函数,又=0,则等于()(A)或(B)或(C)或(D)或(3)设,如果恒成立,那么()(A)a≥1(B)a1(C)≤1(D)a1(4)已知关于x的方程有实数解,则实数的取值范围是()(A)k≥(B)≤k<1(C)≤k≤1(D)<k<1(5)设,则=,=.(6)若为非零的常数)存在两个不等的虚数,使f(x1)=f(x2)=cR,则与零的大小关系是.(7)设其中,n是任意自然数,且n≥2,若f(x)当时可有意义,求的取值范围.(8)已知,且求证:≥(9)已知求的值.(10)某公司今年一月份推出新产品A,其成本价为492元/件,经试销调查,销售量与销售价的关系如下表:销售价(元/件)650662720800销售量(y件)350333281200由此可知,销售量y与销售价可近似地看作一次函数y=kx+b的关系(通常取表中相距较远的两组数据所得的一次函数较为精确).试问:销售价定为多少时,一月份利润最大?并求最大利润和此时的销售量.(11)已知a,b,R,a,b同号且a>b,求证:≤≤(12)设对任意实数,不等式总成立,求实数的取值范围.(13)若方程有唯一的实数解,求的取值范围.(14)已知锐角满足求证:(15)已知且f(1)=0,当时,恒有(ⅰ)求f(x)的解析式；(ⅱ)若方程f(x)=lg(m+x)的解集是空集,求实数m的取值范围.(16)如图,过点B作椭圆的弦BM,求这些弦长的最大值.思路点拨:(1)C设,作出两个函数图象观察其交点可得.(2)D∵f(x)为奇函数,f(-3)=0,∴f(3)=0,又f(x)在,∴f(x)在∴可得f(x)在(-3,0)(3,+上f(x)>0,在故选D.(3)D只需求的最小值即可.∵≥10,∴≥1,∴(4)C∴≤k≤1.(5)-255,3025;令x=1则①令x=0则∴令x=-1则②①+②得∴(6)由题意知方程有两个虚根.(7)由已知在≥2时,时,∴设函数∵在上都是减函数，∴g(x)在上是增函数，∴函数g(x)在上的最大值为：故a的取值范围是(8)令取0<x1<x2<1,则∴f(x)在(0,1)上为减函数,又abc≤∴f(abc)≥故≥(9)设在已知式中令得①在已知式中令得②由①②可得(10)依据题意得:解得:∴,(为非负整数,0≤≤1000).设一月份的利润为S元,由题意得∴当元/件时,一月份的利润最大为64516元,此时的销售量为件.(11)①当或时,原不等式成立;②当时,令∴为增函数,有≤≤,故结论得证.(12)设的解集为A,则对函数的图象定位,(如图),则(13)将方程变形令由得将代入，则将代入≤0，则≥∴≤(14)将已知等式视为关于的一元二次方程,变形得①∵∴①式可变形为:分解因式得∵∴∴故有即∵∴即(15)(i)当时,由得∴∴∴又∵即∴∴∴(ii)方程(*)方程的解集为空集有两种情况:①方程(*)无实根,即∴②方程(*)虽有实数根,但二根均在区间[-1,0]内,令得≥0≥0≤或≥≥0