重庆南开中学2020级高三第四次教学质量检测考试数学理科试卷+解析

绝密★启用前重庆南开中学2020级高三第四次教学质量检测考试理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.已知复数满足，其中为虚数单位，则复数的模（） A. B. C. D.2.抛物线的焦点到准线的距离为（） A. B. C. D.3.已知全集，集合，，图中阴影部分所表示的集合为

（）A. B. C. D.4.已知均为实数，则下列说法一定成立的是（）A.若，，则B.若，则

C.若，则 D.若，则5.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（）A. B. C. D.6.已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切，则圆的方程为

（）A. B. C. D.7.诗歌是一种抒情言志的文学载体，用高度凝练的语言、形象表达作者丰富的情感，诗歌也可以反映数量关系的内在联系和规律，人们常常把数学问题和算法理论编成朗朗上口的诗歌词赋，是抽象理性的数学问题诗词化，比如诗歌：“十里长街闹盈盈，庆祝祖国万象新；佳节礼花破长空，长街灯笼胜繁星；七七数时余两个，八个一数恰为零；三数之时剩两盏，灯笼几盏放光明”，则此诗歌中长街灯笼最少几盏（）A. B. C. D.8.若等边的边长为，点满足，则（）A. B. C. D.9．已知为不等式组表示的平面区域内任意一点，当该区域的面积为时，函数的最大值是（）A.B.C.D.10.如图，内角所对的边分别为，且，延长至，是是以为底边的等腰三角形，，当时，边

（）A.B.C.D.11.已知曲线与曲线有公共点，且在该点处的切线相同，则当变化时，实数的取值范围是（）A.B.C.D.12.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知，则__________.14.已知椭圆的上顶点为，右焦点为，，且满足，则椭圆的标准方程为__________.15.已知实数，且满足，则的最小值为__________.16.在学习导数和微积分是，应用到了“极限”的概念，极限分为函数极限和数列极限，其中数列极限的概念为：对数列，若存在常数，对于任意，总存在正整数，使得当时，成立，那么称是数列的极限，已知数列满足：，，，由以上信息可得的极限__________，且时，的最小值为__________.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且成等差数列，令.

（1）求数列，的通项公式；

（2）令，求数列的前项和18．（本小题满分12分）已知向量，，且函数

（1）若，且，求的值；

（2）若将函数的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得图像向左平移个单位，得到的图像，求函数在的值域。19．（本小题满分12分）某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“3+1+2”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下:从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为A,B,C,D,E五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%，2%,等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到[86,100]、[71,85]、[56,70]、[41,55]、[30,40]五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表：等级ABCDE比例15%35%35%13%2%赋分区间[86,100][71,85][56,70][41,55][30,40]而等比例转换法是通过公式计算:.其中、分别表示原始分区间的最低分和最高分，、分别表示等级分区间的最低分和最高分，表示原始分，表示转换分，当原始分为、时，等级分分别为、假设小南的化学考试成绩信息如下表：考生科目考试成绩成绩等级原始分区间等级分区间化学75分B等级[69,84][71,85]设小南转换后的等级成绩为，根据公式得：，所以(四舍五入取整)，小南最终化学成绩为分.已知某年级学生有100人选了化学，以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成绩获得等级的学生原始成绩统计如下表：成绩95939190888785人数1232322（1）从化学成绩获得等级的学生中任取名,求恰好有名同学的等级成绩不小于分的概率；（2）从化学成绩获得等级的学生中任取名，设名学生中等级成绩不小于分人数为，求的分布列和期望. 20.（本小题满分12分）已知函数（1）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；（2）证明：21.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，为抛物线上异于原点的任意一点，以为直径作圆，当直线的斜率为时，

（1）求抛物线的标准方程；

（2）过焦点作的垂线与圆的一个交点为，交抛物线与（点在之间），记的面积为，求的最小值。

请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题。如果多做，则按所做的第一题计分。22.（本小题满分10分）【选修4-5：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（为实数）。

（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）当时，设分别为曲线和曲线上的动点，求的最小值。23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数的最大值是，其中

（1）求的值；

（2）若实数满足，且，求证：绝密★启用前重庆南开中学2020级高三第四次教学质量检测考试理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.已知复数满足，其中为虚数单位，则复数的模（） A. B. C. D.【答案】B.【解析】，，故选B．【点评】本题考查了复数的运算，复数的模。属于简单题.2.抛物线的焦点到准线的距离为（） A. B. C. D.【答案】C.【解析】由可知焦点为，准线为，焦点到准线的距离，故选C．【点评】本题考查了抛物线焦点坐标和准线方程。属于简单题.3.已知全集，集合，，图中阴影部分所表示的集合为

（）A. B. C. D.【答案】C.【解析】由，，而阴影部分表示的为，故选C【点评】本题考查了Venn图集合的简单表示。属于基础题.4.已知均为实数，则下列说法一定成立的是（）A.若，，则B.若，则

C.若，则 D.若，则【答案】D.【解析】若，满足A，B，C，条件，则，，，故A，B，C错误。对于D，当时，，当时，，故选D．【点评】本题直接取满足条件的反例证明结论错误，在选择题中经常用到。属于简单题.5.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（）A. B. C. D.【答案】B.【解析】：由为奇函数，则，，故选B.【点评】此题考查函数的基本性质。属于简单题。6.已知圆的半径为，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切，则圆的方程为

（）A. B. C. D.【答案】D.【解析】：由题意设圆心C为，则圆的方程为，故选D.【点评】此题考查圆的相关知识，其关键点为直线与圆相切即圆心到直线的距离等于半径即可求解，属于简单题。7.诗歌是一种抒情言志的文学载体，用高度凝练的语言、形象表达作者丰富的情感，诗歌也可以反映数量关系的内在联系和规律，人们常常把数学问题和算法理论编成朗朗上口的诗歌词赋，是抽象理性的数学问题诗词化，比如诗歌：“十里长街闹盈盈，庆祝祖国万象新；佳节礼花破长空，长街灯笼胜繁星；七七数时余两个，八个一数恰为零；三数之时剩两盏，灯笼几盏放光明”，则此诗歌中长街灯笼最少几盏（）A. B. C. D.【答案】B.【解析】：根据题意和选项发现满足题意，即选B选项.8.若等边的边长为，点满足，则（）A. B. C. D.【答案】D.【解析】：，故选D.9．已知为不等式组表示的平面区域内任意一点，当该区域的面积为时，函数的最大值是（）A.B.C.D.【答案】A.【解析】：由题意得，根据已知不等式组，可以画出可行域，并且面积是2，，所以求出，从图像可以看出，在点取最大值，.10.如图，内角所对的边分别为，且，延长至，是是以为底边的等腰三角形，，当时，边

（）A.B.C.D.【答案】A.【解析】：已知且，则由余弦定理代入，化简得：，又由，所以∠，∠，∠，根据等腰三角形的性质，设，所以有整理得故，故选A.11.已知曲线与曲线有公共点，且在该点处的切线相同，则当变化时，实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A.【解析】：由，，得，，设与曲线的公共点为，则，，两曲线在切点处的切线方程分别为与，即与．则，整理得．由①且，得或，如右图，当时，两曲线无公共切线，则．由②得，．令，则，函数在上为单调减函数，（2），又当时，，实数的取值范围是．故选。【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求最值，是中档题．12.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C.【解析】：设双曲线的左、右焦点分别为，，设双曲线的一条渐近线方程为，可得直线的方程为，联立双曲线，可得，设，，由三角形的面积的等积法可得，化简可得①，由双曲线的定义可得②在三角形中，为直线的倾斜角），由，，可得，可得，③由①②③化简可得，即为，可得，则．故选：．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查三角形的等积法，以及化简变形能力和运算能力，属于难题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知，则__________.【答案】【解析】：方法一：则方法二：上下同除有14.已知椭圆的上顶点为，右焦点为，，且满足，则椭圆的标准方程为__________.【答案】【解析】依题意可设点为，则，由=1\*GB3①，又=2\*GB3②，联立=1\*GB3①=2\*GB3②解得的标准方程为：15.已知实数，且满足，则的最小值为__________.【答案】【解析】则，当且仅当取最小值.16.在学习导数和微积分是，应用到了“极限”的概念，极限分为函数极限和数列极限，其中数列极限的概念为：对数列，若存在常数，对于任意，总存在正整数，使得当时，成立，那么称是数列的极限，已知数列满足：，，，由以上信息可得的极限__________，且时，的最小值为__________.【答案】66【解析】由所以时，.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且，，成等差数列，令.

（1）求数列，的通项公式；

（2）令，求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】（1），，成等差数列，当时，，两式相减得：当时，，是以为首项，为公比的等比数列，则（2）由，，两式相减得：18．（本小题满分12分）已知向量，，且函数

（1）若，且，求的值；

（2）若将函数的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得图像向左平移个单位，得到的图像，求函数在的值域。【答案】（1）（2）【解析】：（1），，（2）由题意当时，19．（本小题满分12分）某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“3+1+2”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下:从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为A,B,C,D,E五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%，2%,等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到[86,100]、[71,85]、[56,70]、[41,55]、[30,40]五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表：等级ABCDE比例15%35%35%13%2%赋分区间[86,100][71,85][56,70][41,55][30,40]而等比例转换法是通过公式计算:.其中、分别表示原始分区间的最低分和最高分，、分别表示等级分区间的最低分和最高分，表示原始分，表示转换分，当原始分为、时，等级分分别为、假设小南的化学考试成绩信息如下表：考生科目考试成绩成绩等级原始分区间等级分区间化学75分B等级[69,84][71,85]设小南转换后的等级成绩为，根据公式得：，所以(四舍五入取整)，小南最终化学成绩为分.已知某年级学生有100人选了化学，以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成绩获得等级的学生原始成绩统计如下表：成绩95939190888785人数1232322（1）从化学成绩获得等级的学生中任取名,求恰好有名同学的等级成绩不小于分的概率；（2）从化学成绩获得等级的学生中任取名，设名学生中等级成绩不小于分人数为，求的分布列和期望.【答案】：（1）；（2）见解析【解析】（1）设化学成绩获得等级的学生原始成绩为，等级成绩为,由转换公式得：，即：根据成绩统计表显示满足的同学只有人，获得等级的考生有人故恰好有名同学的等级成绩不小于的概率为（2）由题意等级成绩不小于分人数为人，获得等级的考生有人，则分布列为0123P则期望为：【点评】本题以目前大家关注的新高考选科为背景，考查了概率与分布列问题。体现了数学的生活化和实践性。20.（本小题满分12分）已知函数（1）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；（2）证明：【答案】：（1）（2）见解析【解析】：（1）当时，=1\*GB3①当，即时，在时递增，由，不等式成立，=2\*GB3②当，即时，，单调递减，由，与题意矛盾（2）由（1）有：时，对任意恒成立，取得不等式：方法一：令，得，由（1）知：取等条件不成立，即成立.当时，，相加的：方法二：数学归纳法=1\*GB3①当时，不等式左边，右边，左边右边，成立=2\*GB3②设时，不等式成立，即当时，左