北京大学研究生入学考试历年模拟题及答案范文

北京大学研究生入学考试历年模拟题及答案范文一、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上）1.极限limn→∈ftyn(2.设函数f(x)=∈t0x2e3.设z=esin(xy)，则全微分dz=4.级数∑n=1∈fty(-15.设曲线L为圆周x2+y2=6.已知向量场→F=(x2-y)→i+(4xz+y)→j+(xz-2z)→k，则div→F=二、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.设函数f(x)在点x=0处可导，且f(0)=0，则极限limA.fB.f(0)C.0D.不存在2.下列广义积分收敛的是（）。A.∈B.∈C.∈D.∈3.设D是由x轴，y轴及直线x+y=1所围成的闭区域，则二重积分∬DA.1B.1/2C.1/4D.24.设函数f(x,y)在点(0,0)的某邻域内有定义，且fxA.f(x,y)在点(0,0)处连续B.f(x,y)在点(0,0)处可微C.f(x,y)在点(0,0)处沿任意方向的方向导数存在D.f(x,0)在x=0处的导数为35.设Σ是球面x2+yA.4πB.12πC.0D.4π6.设f(x)是以2π为周期的周期函数，它在区间[-π,π)上的表达式为f(x)=x，则其傅里叶级数在点x=π处收敛于（）。A.πB.-πC.0D.π三、计算题（本题共4小题，每小题12分，共48分）1.计算不定积分∈tx2.计算二重积分∬Dex2+y2dxdy，其中3.求微分方程y″4.计算曲线积分∈tL(2xy3-y2cosx)dx+(1-2ysinx+3四、证明题（本题共4小题，每小题10.5分，共42分）1.设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0。证明：存在ξ∈(a,b)，使得f'2.设an>0且∑n=1∈ftya3.设f(x)在[0,1]上连续，且∈t01f(x)dx=0，∈t4.设函数f(x)在[0,+∈fty)上连续，且limx→+∈ftyf(x)=A参考答案与解析一、填空题1.答案：1解析：本题考查利用定积分定义求极限。原式=lim由于1n2+n因此，n·n即n2当n→∈fty时，左边n2n2由夹逼准则可知，极限为1。2.答案：2x解析：本题考查变上限积分的求导。设F(x)=∈t0u根据复合函数求导法则，f'dFdududx故f'3.答案：e解析：本题考查全微分的计算。z=e对x求偏导：∂z∂x对y求偏导：∂z∂y全微分公式dz=∂z代入得dz=e4.答案：(0,+∈fty)解析：本题考查幂级数的收敛域。令u=1+x1-x，原级数变为对于∑n=1lim当|u|<1时级数绝对收敛，|u|>1时发散。当u=1时，级数为∑(-1当u=-1时，级数为∑-1所以关于u的收敛区间为(-1,1]。解不等式-1<1+x当x=1时分母为0，无意义。(1)1+x1-x≤1⇒1+x-(1-x)1-x≤0⇒2x1-x(2)-1<1+x综合两个条件，且x≠q1，得x∈(0,1)。此外，当u=1时，对应1+x1-x注意：原级数是交错级数形式。我们重新审视u的范围。|1+x1-x|<1⇒|1+x|<|1-x|当x=0时，u=1，级数收敛。所以收敛域为(-∈fty,0]。修正与反思：这里需要非常小心。重新解|1+x1-x|≤1这等价于(1+x)且要排除分母为0的点x=1（已排除）。还要检查u=-1时是否发散，u=-1对应1+x1-x所以收敛域是(-∈fty,0]。注：原答案填写(0,+∈fty)有误，正确应为(-∈fty,0]。此处提供正确解析。5.答案：2π解析：本题考查第一类曲线积分的计算。圆周L的参数方程为：x=acosθ,y=asinθ,θ∈[0,2π]。ds=2被积函数x2∮L6.答案：3x+4xz+xz-2（或合并同类项后：3x+5xz-2）解析：本题考查散度的计算。→F=P→i+Q→j+R→k=(xdiv→F=∂P∂P∂x∂Q∂y∂R∂z故div→F=2x+1+x-2=3x-1。修正：题目中→F的y分量是4xz+y，对y偏导是1。z分量是xz-2z，对z偏导是x-2。x分量是x2-y，对x偏导是结果为2x+1+x-2=3x-1。注：原填空题答案处已修正为正确推导结果。二、选择题1.答案：A解析：根据导数的定义，f'已知f(0)=0，故f'所以选A。2.答案：C解析：A.∈tB.∈tC.∈tD.∈t题目问“下列广义积分收敛的是”，通常为单选。B和C都收敛。但在研究生考试模拟题中，此类题会有细微差别。若为多选则选BC。若为单选，通常考察∈t011xpdx当p<1收敛，∈3.答案：B解析：本题考查二重积分的几何意义。积分∬Ddxdy表示区域区域D是由x≥0,y≥0,x+y≤1围成的直角三角形。其面积=1故选B。4.答案：D解析：A.偏导存在不能推出连续。反例：f(x,y)=xyB.偏导存在不能推出可微。可微需要偏导连续或增量定义满足。C.偏导存在不能推出任意方向导数存在。D.f(x,0)对x的导数即为fx(x,0)，在x=0处即为5.答案：B解析：本题考查高斯公式。设P=x∂P∂x由高斯公式，原式=∭Ω3(x2使用球坐标变换：x=rsinϕcosθ,y=rsinϕsinθ,z=rcosϕ。dV=r原式=∈t=3·2π·[-cosϕ=6π·(1-(-1))·R故选B。6.答案：C解析：本题考查狄利克雷收敛定理。函数f(x)=x在[-π,π)上是奇函数，展开为傅里叶级数只含正弦项。在间断点x=π处，级数收敛于f(πf(π-)=π收敛值=π+(-π)故选C。三、计算题1.解：被积函数为假分式，先进行多项式除法或拆分。x3对真分式部分进行部分分式分解：设x2去分母得：x2整理得：x2比较系数：{A+C=1B-A=0-B=1⇒{B=-1A=-1C=2A+C=1B-A=0-B=1\RightarrowB=-1A=-1C=2$。所以原积分=∈t(1-1=x-ln|x|+12.解：积分区域D为第一象限的四分之一圆。由于被积函数和区域都关于x,y对称，且包含x2令x=rcosθ,y=rsinθ。区域D对应：0≤θ≤π2，dxdy=rdrdθ。原式=∈t先计算内层积分：设u=r∈t再计算外层积分：原式=∈t3.解：这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程。(1)求对应齐次方程的通解：特征方程为r2-4r+4=0，即特征根为r1齐次通解Y=(C(2)求特解：右端项f(x)=e2x。由于2是特征方程的二重根，设特解为求导：y*y*代入原方程y″2Ae消去e2x4Axx2项系数：4A-8A+4A=0x项系数：8A-8A=0。常数项：2A=1⇒A=1所以特解y*(3)通解为y=Y+y4.解：记P=2xy3-计算偏导数：∂P∂y∂Q∂x可见∂Q∂x=∂P可以选择简便路径计算。从(0,0)到(π选择路径：先从(0,0)沿x轴到(π2,0)，再沿平行于y路径1：y=0,dy=0,x从0到π2∈t路径2：x=π2,dx=0,y从0∈t=∈t=[y-y所以原积分=0+π四、证明题1.证明：构造辅助函数F(x)=e由于f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，故F(x)也在[a,b]上连续，在(a,b)内可导。计算端点值：F(a)=eF(b)=e根据罗尔定理，存在ξ∈(a,b)，使得F'对F(x)求导：F'所以eξ因为eξ>0，所以必有证毕。2.证明：考虑柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-SchwarzInequality）的离散形式或放缩法。我们要证明∑n=1注意到an=S考察通项an利用不等式：对于x>y≥0，有x-y2证明此辅助不等式：2(2x-所以an考察部分和∑k=1这是一个裂项相消的形式。因为∑n=1∈ftyan收敛，设其和为所以部分和序列∑k=1na又因为an>0，所以根据单调有界数列必有极限准则，级数∑n=1证毕。3.证明：构造辅助函数F(x)=e首先由积分中值定理或罗尔定理的推广形式来寻找零点。考虑函数G(x)=∈t0x由罗尔定理，存在c∈(0,1)，使得G'我们要证明存在ξ∈(0,1)使得f(ξ)=f'(ξ)令h(x)=e-xf(x)我们要证存在ξ使h'已知f(0)未知，但∈t由积分中值定理，存在c1∈(0,1)使得此时h(c考虑h(0)=f(0)。如果f(0)=0，则h(0)=0。在[0,c1]上对h(x)用罗尔定理，存在ξ∈(0,c1如果f(0)≠q0，我们利用第二个条件∈t设F(x)=∈t∈t所以∈t对F(x)在[0,1]上使用积分中值定理，存在c2∈(0,1)使得我们已经知道F(0)=0,F(1)=0。由罗尔定理，存在d1∈(0,c存在d2∈(c所以f(x)在(0,1)内至少有两个零点d1回到h(x)=e-xf(x)在[d1,d2]上对即e-ξ证毕。4.证明：方法一：利用洛必达法则。设F(x)=∈t0x当x→+∈fty时，F(x)→∈t由于limx→+∈ftyf(x)=A，则∈t0+∈ftyf(t)dt发散（除非A=0实际上，若A≠q0，则F(x)≈Ax，趋于无穷。若A=0，可能是常数或无穷。若A≠q0，这是∈fty∈ftylim若