线性代数（经管类）综合试题一

线性代数（经管类）综合试题一

（课程代码4184）

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每

小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码

填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设

D二二MWO,则D1==

(B).

A.-2MB.2MC.-6MD.6M

2.设A.B.C为同阶方阵，若由AB=AC必能推出B=C.则

A应满足(D).

A.AW0B.A=0C.|A|=0D.|A|W0

3.设A,B均为n阶方阵，则

(A).

A.|A+AB|=0,则|A|=0或|E+B|=0B.(A+B)2=A2+2AB+B2

C.当AB=0时;有A=0或B=0D.(AB)-1=B-1A-1

(B).

5.设两个向量组及，则下列说法正确的是（B）.

A.若两向量组等价，则s-t.

B.若两向量组等价，则=()=r()

。若$=t,则两向量组等价.

立若=()=r(),则两向量组等价.

6.向量组线性相关的充分必要条件是(C).

A.中至少有一个零向量

B.中至少有两个向量对应分量成比例

C.中至少有一个向量可由其余向量线性表示

D.可由线性表示

7.设向量组有两个极大无关组及，则下列成立的是

(C).

A.r及s未必相等B.r+s=m

C.r=sD.r+s>m

8.对方程组Ax=b及其导出组Ax=o,下列命题正确的是

(D).

A.Ax二o有解时，Ax=b必有解.

B.Ax=。有无穷多解时，Ax=b有无穷多解.

C.Ax=b无解时，Ax=o也无解.

D.Ax=b有惟一解时，Ax=o只有零解.

9.设方程组有非零解，则k=(D).

A.2B.3C.-lD.1

lO.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是(D).

A.|A|>0B.存在n阶方阵C使A=CTC

C.负惯性指标为零D.各阶顺序主子式均为正数

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每

小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.四阶行列式D中第3列元素依次为-1,2,0,1,它们的余子

式的值依次为5,3,-7,4,则D=-15.

12.若方阵A满足A2=A,且AWE,则|A|二0.

13.若A为3阶方阵，且，则|2A|=4.

14.设矩阵的秩为2,则t=-3.

15.设向量=(6,8,0),二(4,-3,5),则(，)=

0

16.设n元齐次线性方程组Ax=o,r(A)=r<n,则基础解系含

有解向量的个数为n-r个.

17.设=(1,1,0),=(0,1,1),二(0,0,1)是R3的基，

则二(1,2,3)在比基下的坐标为(1,1,2)

18.设A为三阶方阵，其特征值为1,-1,2,则A2的特征值为

1,1,4

19.二次型/(/心"=&^一片-4玉Xj+lx内的矩阵

4二

20.若矩阵A及B=相似，则A的特征值为1,2,3

三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)

1+xI11

11-x11

111+y1

2i.求行列式iiii-y的值.

解：=

=x2y2.

22.解矩阵方程：.

解：令A=，B二.

(110()、

因为(4E);-211010-03-1210

111001J1002-1

,所以.

由AX=B,得：X=A-1B二.

23.求向量组二(1,1,2,3),=(-1,-1,1,1),=(1,

3,3,5),=(4,-2,5,6)的秩和一个极大线性无关组，并将其

余向量用该极大无关组线性表示.

解：将已知向量按列构成矩阵，并对其进行行变换:

rl-114、(\-\14、

1-13-2002-6

->

2135031-3

,3156,1°42-6;

勺-114、(\-114、

002-6011-3

f

011-3

0-26；100001

所以，极大无关组为

24.a取何值时，方程组有解？并求其通解（要求用它的一个

特解和导出组的基础解系表不）.

解：对方程组的增广矩阵施以初等行变换：

"2-111

A=12-14

J7-411

若方程组有解,则，故a=5.

当a=5时，继续施以初等行变换得：

,原方程组的同解方程组为：

为自由未知量，令x3=x4=0,得原方程组的一个特解：.

及导出组同解的方程组为：为自由未知量，令分别取，得到导

出组的基础解系：

,所以，方程组的全部解为:

，其中,cl,c2为任意常数.

25.已知，求A的特征值及特征向量，并判断A能否对角化，若

能，求可逆矩阵P,使P-1AP（对角形矩阵）.

解：矩阵A的特征多项式为：

所以,A的特征值为：.

对于，求齐次线性方程组的基础解系，

,得基础解系：，从而矩阵A的对应于特征值的全部特征向量为:

g1、

C}1+02。。］,。2不全为零

对于，求齐次线性方程组的基础解系，

，得基础解系：，从而矩阵A的对应于特征值的全部特征向最为：.

因为三阶矩阵A有三个线性无关的特征向量，，，所以，A

相似于对角矩阵，且.

26.用配方法将下列二次型化为标准形:

/(X]巧㈤=+2^Y+4xfy-4x4-4/

解：

2

=[x；+4%,(尢2—七)+4(*2—X3)]-4(x2―天)2+2%2—X；-4X2X3

2

=&+2X2-2X3)-+4X2X3-5x；

=(X)+2%—2%3)~—2(x；—2%2刍+工；)—3石

=(%+2x,-2x^)~—2(.

令，即，

得二次型的标准形为：.

四、证明题（本大题共6分）

27.设向量，证明向量组是R3空间中的一个基.

证：因为,所以线性无关（方法多样），所以向量组是R3

空间中的一个基.

线性代数（经管类）综合试题二

（课程代码4184）

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将

其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.若三阶行列式=0,则人（C）.

A.1B.OC.-1D.-2

2.设A.B为n阶方阵，则成立的充要条件是（D）.

A.A可逆B.B可逆C.|A|=|B|D.AB=BA

3.设4是n阶可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵，则

(A).

A.B.

C.D.

4.矩阵的秩为2,则入=(B).

A.2B.1C.OD.

5.设3X4矩阵A的秩r(A)=l,是齐次线性方程组Ax=o的三个

线性无关的解向量，则方程组的基础解系为(D).

A.B.

C.D.

6,向量/=Q4=(42,21%=(3,0,t)线性相关，则

(C).

A.k=-4B.k=4C.k=-3D.k=3

7.设川,〃2是非齐次线性方程组的两个解，若。4-C丹是其

导出组Ax=。的解，则有(B).

A.cl+c2=1B.cl=c2C.cl+c2=0D.cl=2c2

8.设A为n(n22)阶方阵，且A2=E,则必有

(B).

A.A的行列式等于1B.A的秩等于n

C.A的逆矩阵等于ED.A的特征值均为1

9.设三阶矩阵A的特征值为2,1,1,则A-1的特征值为

(D).

A.1,2B.2,1,1C.,1D.,1,1

io.二次型彳是(A).

A.正定的B.半正定的C.负定的D.不定的

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小

题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.=5

12.设A为三阶方阵，且|A|=4,则12Al=_32.

13.设人=,8=,则ATB=.

14.设A=,则A-l=

15.向量户=GL2,9表示为向量组0,0%叼=（O,L0）,

的线性组合式为.

16.如果方程组有非零解，则k=_-1.

17.设向量及正交，则@=2

18.已知实对称矩阵a,写出矩阵A对应的二次型

19.已知矩阵A及对角矩阵A=相似，则A2=E

20.设实二次型的矩阵A是满秩矩阵，且二次型的正惯性指数

为3,则其规范形为

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21.计算行列式的值.

解：原式二

1yy

0工一丁oo

=(x+3y)=(x+3y)(x—»

0o工一》o

0o0

22.设矩阵A=，B=,求矩阵A-IB.

解:

0-10100]fl00-4-31、

7011110-010-5-31

0164-V1°0164—1,

得：

所以,

23.设矩阵，求k的值，使A的秩r(A)分别等于1,2,3.

解：对矩阵A施行初等变换:

U-23k

f02k-23k-3

、02k-23-3k2

fl-23k)(1-23k、

->02k—23k—3t0k-\k-\

06-3k-3k2)(00伏+2)(1),

当k=l时,A,矩阵A的秩r(A)=l；

当k=-2时,A,矩阵A的秩r(A)=2；

当k21且kW・2时,A,矩阵A的秩r(A)=3.

24.求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该

极大线性无关组线性表示.

解：将所给列向量构成矩阵A,然后实施初等行变换:

所以，向量组的秩，向量组的一个极大无关组为：，且有•

25.求线性方程组的基础解系，并用基础解系表示其通解.

解：对方程组的系数矩阵（或增广矩阵）作初等行变换：

2-23、(\231f12-23、

A=23-12-0-1-4->01-34

3-57)110000>

’104-5、

―01-34

000,

及原方程组同解的方程组为:，其中x3,x4为自由未知量.

令分别取得基础解系：.

方程组的通解为：,（cl,c2为任意常数）

26.已知矩阵，求正交矩阵P和对角矩阵A,使PTAP二A.

解：矩阵A的特征多项式为：

得矩阵A的所有特征值为：.

对于，求方程组的基础解系.

,得基础解系为，

将此线性无关的特征向量正交化，得：

.再标准化，得：

对于4=3解方程组(3E-A)x=o.

，方程组的基础解系为，将其单位化，得：.

令P=,A=,

则P是正交矩阵，且P-1AP二A.

四、证明题(本大题共6分)

27.设向量组口线性无关，证明：向量组

+,+…+%也线性无关.

证：令

整理得：

*[+&+…+kja、+(k2+%+...+ks)a2+...+(J+&)%+ksas=o

因为线性无关，所以

,解得:，

故线性无关.

线性代数(经管类)综合试题三

(课程代码4184)

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请

将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1•当（D）成立时，阶行列式的值为零.

A.行列式主对角线上的元素全为零

B.行列式中有个元素等于零

C.行列式至少有一个阶子式为零

D.行列式所有5-1）阶子式全为零

2.已知均为n阶矩阵，E为单位矩阵，且满足ABC=E,则下列

结论必然成立的是（B）.

A.ACB=EB.BCA=EC.CBA=ED.BAC=E

3,设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是

(D).

A.(AB)-1=A-1B-1B.（A+B）-1=A-1+B-1

C.(AB)T=ATBTD.

4.下列矩阵不是初等矩阵的是

(B).

A.B.C.D.

5.设是4维向量组，则(D).

A.线性无关

B.至少有两个向量成比例

C.只有一个向量能由其余向量线性表示

D.至少有两个向量可由其余向量线性表示

6.设A为mXn矩阵，且水n,则齐次线性方程组Ax=。必(C).

A.无解B.只有唯一零解C.有非零解D.不能确定

7.已知4元线性方程组Ax二b的系数矩阵A的秩为3,又

%==(23<，9'是A^b的两个解，则Ax-b的通解是

(D).

A,&2133y♦*(2,33,5/B(2,3,4,57"(L2A4y

c.awf+她乩4yD.+tcuwf

8.如果矩阵A及B满足(D),则矩阵A及B相似.

A.有相同的行列式

B.有相同的特征多项式

C.有相同的秩

D.有相同的特征值,且这些特征值各不相同

9.设A是n阶实对称矩阵，则A是正定矩阵的充要条件是

(D).

A.|A|>0B.A的每一个元素都大于零

C.D.A的正惯性指数为n

10.设A,B为同阶方阵，且r(A)=r(B),则

(C).

A.A及B相似巳人及8合同

C.A及B等价D.|A|=|B|

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小

题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1234

-1034

-1-204

11.行列式T-2-3024.

12.设A为三阶矩阵，|A|二-2,将矩阵A按列分块为，其中

是A的第j列，，则|B|=6.

13.已知矩阵方程AX=B,其中A二,B二，则

14.已知向量组的秩为2,则k=-2

15.向量anaN—u）的长度1同二巫.

16.向量在基下的坐标为（3,-4,3）

17.设是4元齐次线性方程组Ax二o的基础解系，则矩阵A的秩

r（A）=1.

18.设是三阶矩阵A的特征值，则a=1

19.若是正定二次型，则满足.

20.设三阶矩阵A的特征值为1,2,3,矩阵B=A2+2A,则|B|二

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21.设三阶矩阵A=，E为三阶单位矩阵.

求：⑴矩阵A・2E及|A-2E|；（2）.

解：⑴A-2E=

IA-2E|=-1；

(100100、<100100、

⑵「1-10010^0-10-110

[-12

1001J102110b

00100、

-^0101-10

,001-12

(100、

.­.(A-2E)-1=1-10

2b

22.已知向量组4HLNZX/nG4O/XLO,SXqnQa-Z)

求:(1)向量组的秩；

(2)向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性

无关组线性表示.

解：(1)将所给向量按列构成矩阵A,然后实施初等行变换:

210、20、(\202、

2404-004-001-2

343一2,<00-2J10000?

所以，向量组的秩；

(2)向量组的一个极大无关组为:

且有a2=2a],a4=2al-2a3.

23.讨论a为何值时，线性方程组有解？当方程组有解时，求出

方程组的通解.

解：对方程组的增广矩阵实施初等行变换：

」2-222、(\2-2221

_01-1-1101-1-11

A=->

11-13〃0-111a--2

J-115-17-333-3?

2-222)(10040)

01-1-1101-1-11

―0000〃-1-0000a-\

,00000J^00000,

若方程组有解，