线性代数与解析几何 试卷1答案

试题编号:

学年第一学期

《线性代数与解析几何》课程试卷(期末)

参考解答与评分标准

一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

1.(D)2.(A)3.(D)4.(05.(B)

二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

6.-1.7.98.3.9.y2+z2=5x.10.j或2

三、计算题(本大题共5小题，每小题8分，共40分)

11.

2-22-2

因方程组的系数行列式以|二25—2—4=(1—2)(2—1)(A—10)....(4分)

-2-45-Z

则(1)/LwLfiUwlO时方程组有惟一解....(5分)

而X=10时，方程组的增广矩阵

[-82-2[\('2-5-42)

(A,b)=2-5-42,咏->0111,

、-2-4-5-11J10

001,

4=1时，方程组的增广用阵

(12-21)(\2-21)

(4。)=24-42行变换>0000

「2-44-2)1000oj

于是(2)4=10时方程组无解.……(6分)

(3)2=1时方程组有无穷多解，此时方程组的通解

/、

王2)(i\QI

分)

X?-10c2+0(8

O

12.因矩阵

‘2-112、

/\1114

A=（，4%%）=4.6.24.........（2分）

<3679,

I004、

行变换）0103

（5分）

001-3,

000.

则向量组A的秩为3.……（6分）

向量组A的一个最大无关组为名,。2，。3・……（7分）

a4=4a,+3az-3av......（8分）

13.由AB=A+28得（A-2石）4=A,……（1分）

,223423、

而（A—2E,A）=1-10110

、—121—123,

’1003-8-6

好变•换一0102-9-6（6分）

、001-2129J

于是矩阵

'3-8-6、

B=2-9-6（8分）

、2129）

14.因而=（2,2,2）,衣=（1,2,4）（2分）

••

__IJk

~ABxAC=222=(4,-6,2)……(6分)

124

于是三角形ABC的面积为

|=V14.……（8分）

15.（1）二次型的矩阵

Ta-r

12……（3分）

1-125）

（2）因二次型/（耳,々，不）正定，则二次型矩阵A的各阶顺序主子式均为正，即

%】=1>0

>0

……（6分）

>0

因此。满足的条件为一……（8分）

四、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）

16.要4,%，巴两两正交，则［%,％1=°，3，％］二°，［%，。31=°......（1分）

而.=（1,-1,1）丁,于是%,%为方程组X+W+U=0的解.（2分）

11

又方程组须+&+毛=0的一个基础解系为。=T42=1（4分）

因为［媪4］=0,则取。2巧，%=一时，两两正交・（6分）

1434

2142

17.因为为。二中元素%的代数余子式,

3210

4321

I432

2143

则2A4+3&4+444+A=（3分）

443214

4321

101010101000

214322

32143-21

4324-2-3

21

=10-2=-16（）（6分）

-2

18.因过点A（-1,2,0）与平面加x+2y-z+l=O垂直的直线方程为

_x+1y—2z....

L：----="-=—……（3分）

12-1

则直线L与平面n的交点为点A在平面n上的投影点B.

X+]_.V-2_Z弋rr

-----==—522

由《12-1得点8（—,一,一）...（6分）

lx+2y-z+l=0333

五、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）

19.因对任意一个〃阶方阵A,

A+八7

有3=-------是对称矩阵，……（2分）

2

A—AT

C=-------是反对称矩阵，……（4分）

2

且8+C=A……（5分）

故任意一个〃阶方阵A都可以分解成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和.（6分）

1119

20.因（E—J）（E------J）=E-J------J+——J2……（2分）

〃一1n-\〃一1

=E--—J+—J2（3分）

n-\n-