现代统计分析方法与应用习题答案 第四章

第四章

4.2.解:

仿照(4.13)(4.14)在凡=0情况下，离差平方和为:

Q（0J=S（S（yfx了

A=argminZ（V-%了

r=l

根据微积分中求极值的原理，预应满足下列方程:

cQ=_2工（丫_/内凡=0

明

仅=8\/=,

求解该方程得R的OLSE为:

6=母一

i=l

4.3.证明:

.=S（x-x）=Zo；-Bo-6尚）

i=l1=1i=\

=£（y—5+方旨-而）=Xy一回+-L3科

/=1/=1/=1

=fiy-iiy+nft^x-n^x=0

.〃ft

Zx©=Zx，（£一Z）=ZXQ「BO-B\X>

J=1Z=1r=l

二£七（为一尸+6亍—6巧）

1=1

〃〃

“Zwy-，而D2%丫一〃耳

=XX，』一两十'沅2号------------£Xi三------

/=12斗2-应2，=1-府2

r=l/=1

〃〃

=E七另一两一Zx/+'而二°

*=i»=i

4.4.证明：

即证，E1Bo）=00,

E（BO）=E（9一院）因为工非随机变量，所以

=E（y）-E（^）x根据蒋那J定义以及£的无偏性，有

力（,-广闻

_7=1____________

n

-Bo

45证明:

var（4））=var（y-^lx）

<1%-x

二var（2—y.-.--------->；）

/=,n/=,X（^-^）2

r=l

=var这“%7）K）

/=，〃Z（Z一工）2

»=l

因为当iw/时，丹和力是独立的，所以，上式可以整理为

:“%X—)2var(x)

gu-^)2

2*T+空二五)va3

J>jn至(%-司24-元A

(+1VF(七一均2、(\

=(2,--0+2,——1-----------)var(y,.)

n

970(七-丁)2

f=l

2

rlX12

=H+---------------匕一

〃

1=1

46证明:

SST=SSR+SSE的定义式为：

Z（x-J）2-y）2+Z（x-x）2

J=11=1J=1

证明过程如下：

E（£-a-15-刃2-'（y,-x）2

；=1/=1r=l

=E（z-y+x-衿2--（力-y）2—力（》—X）2

i=l1=1/=1

=128一了）（州一力）

J=1

注意到，R=A+6%=》+£（%—元），代入上式，得：

E(X-力2-£(t-7)2-£(K-隽)2

/=!/=1；=1

=("6(―)-y)(X--7-B\(占-5))

*=i

=2幺汽(x.-xXy]-y-fi(答一x))

;=|

=2分(ta-^)(y,-y)-t(工一方A)

r=l/=1

=2%/%y“)4)=o

其中，根据了(4.22)B\=LJLY

4.7.验证：

因为，yi-yi=yi-y-P^xi-x)

所以，

大(Y-X)2=9f-2a(另一刃(为一幻+P^x-x)2]

i=li=l

=%-2«4+^q=

因此，

『「AL：\L>y卜.自vLyy"一

22

S(X-V)X(y+A(xz-j)-y)

p=w1=L।=，=i

SSE/(n-2)(-\2//(-\20、

\(Y-y)/S-2)\(y-V)/(n-2)

i=\//=1/

八A

6

48验证:

var(e.)=var(>;->；)=var(>;)+var(y.)-2cov(y,R)

A

=var(x)+var(>;)-2cov(y,9+4(为一方)

.

i(一寸nvZum

=a~+[-+[JJo-2-2cov(y,+(玉-x)------------)

"K-〃X5一无产

1=1

因为，当i。/时，,和力是独立的，所以，上式可以整理为

21(X-X)2___,1(X-J)2.

crr——]cr2-28V[升,(一+———))，』

nL〃L

n4

4.9.证明：

因为，

£■[(>；-*)2]=var(>;.->;.)+[£()；--y,)]2

/-Xn1(-v,-x)2、

=var(>;-»)=[1-------、----\<J-

〃L*

所以，

〃-2寸〃-2汽nLxx

2

=-^-r(n-2)=cr2

n-2

得证。

4・11.解：

（i）

散点图

(2)x与y大致呈线性关系。

(3)

x=-Y^.=-(2+2+.--+11)=5.9583

〃i=i〃

y=-y=-(30+354----I-120)=67.5833

4=力(%-元)(y一》)

»=i

=(2-5.9583)(30-67.5833)+…+(11-5.9583)(120-67.5833)

=1020.7916

-幻2

1=1

=(2—5.9583尸+…+(ii-5.9583尸

=104.7292

A=LJLxx=1020.7916/104.7292=9.7469

氐二》一分上=67.5833-9.7469x5.9583=9.5076

所以，y=£)+£%=9.5076+9.7469X

(4)由，「=/)+£%=9.5076+9.7469%,得：

y,=29.0014,%=29.0014,…，y12=116.7235；

于是，

r(30-29.0014)2+...+(120-116.7235)21=4.7042

（5）前面已经计算出了风，片的点估计值，现在计算它们的标准差估计值:

6认=H/—=V4.704227104.7292=0.4597

因为用的是标准差的估计值，所以，查自由度为10的t分布表，自，0的区间估计分别是:

[9.5076-/(10)0975*3.0570,9.5076+；(10)0975*3.0570]

=[9.5076-2.228*3.0570,9.5076+2.228*3.0570]

=[2.6965,16.3188]

[9.7469-/(10)0975*0.4596,9.7469+WO)。975*0.4596]

=[9.7469-2.228*0.4596,9.7469+2.228*0.4596]

=[8.7228,10.7711]

(6)

2

r2^SSR=V_1020.7916

SSTLxxLyy104.7292x10170.9166

(7)

SSR=

/*I

=(29.0014-67.5833)2+…+(116.7235-67.5833)?

=9949.4865

SSE这d)2

r=l

=(30-29.0014)2+...+(120-116.7235)?

=221.2946

ssT^y-y)2

f=l

=(30-67.5833y+…+(120—67.5833)2

=10170.9166

方差来源自由度平方和均方F值P值

回归19949.48659949.4865

残差10221.294622.1295449.60350.000

总和1110170.9166

(8)前面已经计算出了4的点估计值和标准差估计值，t检验如下:

小：1=0H、:夕尸0

原假设成立下，有t统“星

及9.7469

"7-04597=21.2040

P\

相应的P值为0.000,所以拒绝原假设。

(9)

r=V7=Jo.9782=0.9890

故，可认为相关显著。

(10)

残差图

大致可认为残差围绕e=0遁机波动，从而模型的基本假发是满足的。

(11)将工=4.2代人尸方)+/尸=9.5076+9.7469七得,y=50.4449

参考(4.58)(4.64)

2

\_(x0-x)_1(4.2—5.9583)2

~n--一日十~104.7292=0.1128

[九一0.975(10)XJl+%)X3,竟+，0.975(1°)X+%X

=[50.4449-2.228x、/1+0.1128x4.7042,50.4449+2.228xJl+0.1128x4.7042

=[39.3884,61.5015]

4.12,解:

在spss中输入数据,如下图,

HU]Untitled-SPSSDataEditor

FileEditYiewDataTransfer*AnalyzeGraphsUtilitiesWindowHelp

诩昌|吗|22kd匐切Ml强圄ElilHl嗣@

11：

IvarvarvarV.I

1825.003.50

2215.00100

31070.00400

4550.002.00

5480.001.00

6920.003.00

71350.004.50

8325.001.50

9670.003.00

101215.005.00

11I

(1)点击Graphs—Scatter/Dot...—Define,然后左侧是变量名，选中y,点右侧YAxis框

条旁的箭头按钮，y即进入此框条。同样的方法把x选入XAxis框条中，结果如下图,

S

u■SiapleScatterplot

□Jr5fl

.——,IAxis

I_I

--------SetMarkersby

L(Jl

,L---Z----J>lLabelCasesby

Panelby

Rows:

□I

rNestvariaHes(nosmpty

CoLmns:

□r

「Nestvanaties(noempty

Terrplate

r-UeechaH*❷cific&kmfrocn:

点OK,结果如下,

(2)由上图可得x与y大致呈线性关系。

(3-9)点击AnalyzeRegressionLinear,然后把y和x分别选入Dependent和Independent

框条中，如下图，

[Jntitled-SPSSDataEditor

点击Statistics,选中

2

然后，点击Continue再点击OK,结果如下,

ModelSmiMnaiy

ChangeStatstcs

AdjustedStdErrorofRSquare

ModelRRSquaretheEstimateChanaeFChangedf1df2Siq.FChange

1949J■EB.888480029007239618.000

aPredictors:(Constant)7y-

决定系数标准设弟

ANOVAb

Sumo'

Modol(JfFSia

1Regression16.68211668272.396000J

Residual1.8438.230

Total18.5269方差分析

EreVictors:(constant),x

bDependentVariables

显著性检验

/

/

C^0.118+0.004x>Coenicleiitsa)beta的区间估计

\Unstandardized

Standardized/

//

\CoefficientsCoefficients95%ConfidenceIntervalforB

Model\-----B------Std.Error/tSig./

BetaLower1sound—UpperSoutul-

1(Constant).116.355.333.748-.701937

x.004.000.9498.509.000.003.005

a.DependentVariables

(10)点击Analyze—Regression—Linear,然后把y和x分别选入Dependent和Independent

框条中，再点击Save框条进入Save对话框，点选Residuals下的Unstandardized选项，如下

图，

DfttftTrozizfornAnftlyz«Graphs

・LinearRegressionX

LinearKcercssion:Savek

PredictedValuesResiduah|Contir-e

U，I三心嫉2dVU口zSndardzR

Cared：et

「Stand^tfeed厂Stj^dardzed

FAcju伏ed「Stwderteed

「SEofmean0cdictonsr-Qeteted

「Studerteeddgteled

Distances

VMabdanobsInlhenceStMcsbcs

rcook,$D眼et*)

VLeveragevahesrStandardzedDfBeUU)

Dffit

PredcbonIrtervakr

rStandardzedDfAj

rMean厂［ndHidjJ

Covariancerabo

Cor6denceIrterval|力

SavetoNev?Fie

「Cfielfcienl$tob$tic4：

点击Continue,再点击OK。运行后主页面出现新数据RES_1,如下图,

然后，仿造第（1）题，画散点图，结果如下,

0

O.

C

O4

1

和的

t下

ns

e

0,de

0.nul

0图

0ea

2下ypV

1■de,

pad

如lerD图

eet

，Hrsi

a入ci下

w|vd

空or选如

0dnoe

0.isr

留版eP，

0W1c别

0o

0值sr选项

1登P分

ei|r

ytaS

ivSx点选

应li庵Pl

tS和，a

相U❿u

,4785956034y框d

0s107940789i

0.0h圜4159868695v

0Xp2149315172把话i

00a

80g1..0-.-.-.-.后对nI

隆Se

1ezE然

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