线性代数-专升本-练习题(含答案)

线性代数试卷A答案（专升本）

一、判断题

1.设X是方阵A的一个非零特征值对应的特征向量，则X是A的列向量的线性组合。（V）

2.设%氏小分别为n阶方阵A,B,（A+B）的特征值，则有等式£匕4与,瓦=（V）

3.若方阵A的特征值全为零，则A为零矩阵。（x）

4.若A是一个实对称阵，方程组AX=O有非零解，则A不是正定矩阵。（J）

5.若n阶方阵的行、列向量组不等价，则|A|=0。（V）

6.若齐次线性方程组中方程的个数大于未知量的个数，则该方程只有零解。（x）

7.相似的矩阵有相同的特征值，从而有相同的特征向量。（X）

8.设A为正交阵，若2是A的特征值，则犬也是A的特征值。（J）

9.设A,B是n阶方阵,若AB+B=I,则BA+B=I0（V）

10.若向量X、X2,X3线性无关，则X1+X2+X3#。。（V）

11.设加4片广，则A至少有一个r-l阶子式不为零。（”）

12.若ai,a?,...,am线性无关，则ai+2a2+3a_3+...+5a”*0。（4）

13.可逆的上三角阵的逆矩陇仍是上三角阵.（4）

T

14.若a=（ai,a2，…，an）^0,则acJ的秩必为I。（V）

15.设A,B.C为n阶方阵，若ABC=L则C=B"A/。（＜）

16.设A为mxn矩阵，r（A）=m,则非齐次线性方程组AX=b一定有解。（力

17.若A,B为〃阶正定阵，则A」+B」也为正定阵。（V）

18.若A的特征值为1或0,则A=A0（X）

19.若n阶方阵A中每列元素之和为0,则|A|=00N）

20.若A可逆，则（A*）/=（A」）*,其中A"是A的伴随矩阵。（7）

二、填空题（本题共5小题，每小题6分，共30分）

21

3-1

12

50

2.设A=g2A

52,则|(A/2)"-3A*|=-32

23/

3.设A=(10)“*=2,则a=3/2。

\0

4.设A为n阶方阵，A2+3A-I=O,则(A-A=-(A+4I)/3。

5.若二次型/'(%1，工2，》3)=*+2后+(1-a)%!+2txi乃+2/％3正定，则a满足。

4-35

6.2-76=79

52-1

7.设n阶方阵A的各行元素之和为零，且r(A尸n-1,则齐次线性方程组AX=O的通解为

依1」…」)To

01\/20b\

8.设矩阵A,B为3阶方阵，旦AB+I=A2+B,若A=(O

20,则B=030,

01/\-102/

其中b-1

1

9.设3阶方阵A的伴随阵为A",且|A|二l/2,则|(3A)*-2A*1=-16/27o

(1T1\/200\

10.设矩阵A=24-2B=l020)相'以，则a=£,b=6_。

\-3-3a/\00b)

20\

三、1、解矩阵方程3T

2-2/

(120、

解：设A=23-1则|A|二

\-12-2/

An=-4,A2i=4,A3i=-2；A12=5,A22=-2,A32=l；Al3=7,A23=-4,A33=-1

-44-2W2Ir-18-6、-6-2、

1

X=A'B=-5-2-1015652

6q62

7-4-u1J56><52,

12-3-220J

01212

2、设A=-3，且(2/-8一")。丁=8-1,求C。

001201

0001\o00

解：由(2/—8M)CT=Bi,有(28-A)CT=/C(2B-A)T=I,C=((28-/l)r)1

/I234\/1000\

2BA

-=oJi以故有c=7100)

-210/

\o001/\01-2V

四、(1)设9,(X2,…，am是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，0是非齐次线性方程组Ax

=b(b#0)的一个特解，证明向量组ai,a2,…，an邛线性无关。

证：令kiai+k2a2+…+kn】am+km+iB=0,

两边乘A即得km+iA0=O,

km+lb=0,—>km+l=o,又由ai,0(2,…,am线性无关，

ki=k2=...=km=0,即得ai,ot2,…，am,0线性无关。

(2)设ai=(l,4,0,2)T,ai=(2,7,1,3)T,a3=(0,l,-l,a)T,p=(3,10,b,4)T,

l.a,b为何值时，P不能由ou,a2,a3线性表示；

2ab为何值时，0可由ai,ct2,a3惟一线性表示；

3ab为何值时，。可由ai,。2,a3线性表示,但表示方法不惟一，并求表示式。

解令夕=X]%+X2at+XJOTJ,即得

I.当。#2时,/?不能由％,..%线性表示：

2.当b=2,a,l时,A可由%,4,%惟线性衣示:

3.当b=2,a=l时，夕可由4,%，/线性表示，

且表示方法不惟此时有

P—(―1-2A)a.+(2+k)a.+ka.

%1+%2+%3+%4=0

五、（1）求线性方程组小+2%+2%4=1的通解。（要求用它的一个特解和导出组的

4+2X2+3孙+3X4=1

基础解系表示）

解：方程组的增广矩阵

勺11101p0-1-15-n

A=01221T0122^1

”(o

233000:0^

可知r（.4）=rU）=2<4,方程组有无穷多解

演=-1+x+x

由司解方程组《34

巧二1一2电一2X4

求出方程组的一个特解炉=（TL0O，T

导出组的一个基础解系为媪=（L-2,*=Q「2,Q1）T

从而方程组的通解为=(-1X0,0)T+qQ「2,L0)i+J(L-2O1)T

（GG为任意常数）

%1++%3+北=1

2”复2+（。忑:个工1+3

3%1+5x+与+（Q+8）%=5

{24

a,b为何值时，有无穷多解，并求之。

解：

111111

01-12-12

B=|

23a+24a0

351Q+8-2Q+1

当a=-l,b=0时，方程组有无穷多组解。

11111\/I02

01-1211101-1

此时B-I

00000000

00000/\000

Xi=+x

-2X34

X=%3-2%4+1

同解方程组为2

X3=X3

.%4=%4

方程组的通解为x=k心+k20+n（ki,k?为任意常数）

六、（1）已知矩阶A=600\

21的一个特征值为1,求数/并求正交矩陶和江角矩阵4

\01a）

使得Q"Q=4

解：为N的一个特征值

-100

二由特征多项式忸-旬=0-1—1=2-4=0=4=2

0-1\-a

2-200

由|花-幺|=02-2-1=(2一1)(2一2)(尤-3)=0,得

0-1A-2

•4的特征值为4=1,4=2,&=3

当2=1时，解方程组(E-N)x=0得特征向里％=(0-U)T

T

当2=2时，解方程组(2E-N)x=0得特征向里的=(L050)

当2=3时，解方程组(3E-/)x=0得特征向里e=(0,1,17

由于N为实对称矩阱，则其特征向里旃两相交，故只需将其单位化：

力=高哇。-5"黄9才'方=裔=/叫)’

010

0

令Q=嘘+