北京市西城区2026届高三5月模拟测试试卷数学

北京市西城区2026届高三5月模拟测试试卷数学1．已知集合A=nn=4k+1,k∈ZA．B⊆A B．B⊆∁ZA C．A∩B=B2．已知复数z满足iz=3−2i，则z=（）A．−2−3i B．2+3i C．2−3i D．−2+3i3．双曲线x2A．1 B．2 C．32 D．4．在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，P−1,2为α终边上一点，则tanA．43 B．−43 C．45．已知函数fx在R上单调递增，设gx=fA．奇函数，且在R上单调递增 B．偶函数，且在R上单调递增C．奇函数，且在R上单调递减 D．偶函数，且在R上单调递减6．在长方形ABCD中，AD=4，AB=1，E是边BC上一点，则EA+A．1 B．2 C．3 D．47．设函数fx=x−alnx+bA．a+b>1 B．a+b<0 C．a2+b8．已知正方体W和平面α，则“正方体W的8个顶点中存在6个到平面α的距离相等”是“平面α将正方体W分成体积相等的两部分”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．某工厂2023年的年产值为a，这一年工厂制定10年规划，欲通过技术革新、管理优化等手段，促使工厂产值的年平均增长率为x%，以期2033年的年产值达到2023年的4倍.实践中，由于市场环境逐步向好，工厂产值的年增长率超过预期.已知2025年的工厂年产值恰好达到规划中2026年的既定目标，如果从2026年起未来8年（含2026年）的年平均增长率与前2年实际年平均增长率相同，那么2033年工厂的年产值为（）A．6a B．8a C．9a D．12a10．已知无穷数列an的各项均为正数，且对任意的正整数i，总存在正整数s，t（s≠t），满足aA．an可能为常数列 B．aC．an不可能为等比数列 D．a11．在△ABC中，若a=5，b=6，c=8，则最大内角的余弦值为.12．在x3−213．已知向量a=−1,3，单位向量e=1,0，向量b满足b14．设函数fx=log2x−1,0<x≤4x−6,x>4，集合M=x15．在物理实验中，当相互垂直的两个简谐振动的频率比为简单整数比时，示波器上会显示出一条“利萨如曲线”.曲线C：x2①若Px,y为曲线C上一点，则x≤1，②曲线C上两点间距离的最大值为6；③曲线C所围成的区域的面积小于3；④过原点的直线与曲线C最多有3个公共点.其中，所有正确结论的序号是.16．如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB=1，BC=2，直线PC与底面ABC所成角的大小为π（1）求证：BC⊥平面PAB；（2）求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值.17．已知函数fx=sin（1）求函数fx（2）从条件①、条件②、条件③中选择一个条件作为已知，使得函数fx存在且唯一确定，当x∈0,π条件①：fπ条件②：函数fx在π条件③：函数fx+注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18．随着人们生活水平的提高，参观文博馆成为人们外出旅游的一项重要活动.某市2015年到2025年的文博馆接待的成年人和未成年人的参观次数（单位：万人次）统计图如下：假设各年的参观情况互不影响.（1）在2016年到2025年这10年中任选一年，求这一年与其前一年相比，该市未成年人参观文博馆次数出现增长的概率；（2）从2015年至2020年这6年中任选1年.再从2021年至2025年这5年中任选2年，记选出的3年中该市年参观文博馆总人次超过120万的年数为X，求X的分布列和数学期望；（3）记2015年至2025年该市未成年人和成年人年参观文博馆次数的方差为s12和s22、年参观文博馆总人次的方差为s32，给出19．已知椭圆C:x2a2+y2（1）求椭圆C的方程；（2）过点N−3,0的直线与C交于A，B两点，过点A作AP垂直直线MF于点P，记△BPN和△BPF的面积分别为S△BPN和S△BPF20．已知函数fx=1+（1）当a=1时，求曲线y=fx在点1,f（2）对于x∈0,+∞，讨论fx（3）当0<a<1时，证明：方程fx=1存在两个根x1，x21．给定正整数n（n≥3），记集合Sn={x1,x2,⋯,xnxi=0（1）在S3（2）证明：在S5（3）在S2026

答案解析部分1．【答案】D2．【答案】A3．【答案】C4．【答案】A5．【答案】C6．【答案】B7．【答案】C8．【答案】D9．【答案】B10．【答案】D11．【答案】−12．【答案】−3213．【答案】0（答案不唯一，取值范围为−2,0）14．【答案】1,2​​​​​​​；14015．【答案】①③④16．【答案】（1）证明：因为PA⊥平面ABC，所以∠PCA即为直线PC与底面ABC所成的角，即∠PCA=π在Rt△PAC中，PA=1，所以PC=1sinπ又AB=1，BC=2，所以AB2又PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，因为AB∩PA=A，AB,PA⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB；（2）解：以B为原点，BA,BC为x，y轴正方向，作Bz垂直于平面ABC为z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：则A(1,0,0),B(0,0,0),C(0,2所以PA=(0,0,−1),设平面PAC的法向量n=(x1所以−z1=0−x1+设平面PBC的法向量m=(x2所以x2+z2=02y则cos<m,n>=17．【答案】（1）解：函数fx则函数fx的最小正周期为2π（2）解：选条件①：由fπ12=f所以π6+φ=π即φ=π6+kπ,k∈Z，又φ∈−π当x∈0,π2时，2x+即函数fx的最大值为1，最小值为−选条件②：当x∈π3,π因为函数fx在π3,π上单调递减，所以π2+2kπ≤选条件③：由fx+因为fx+π6则φ=π6+kπ,k∈Z，又φ∈−π当x∈0,π2时，2x+π6∈π18．【答案】（1）解：2016年到2025年共10年，依次与前一年比较未成年人参观次数，其中增长的年份共8年，

则所求概率为P=8（2）解：2015-2020年共6年，总人次超过120万的年份有2个，不超过的有4个；2021-2025年共5年，总人次超过120万的年份有2个，不超过的有3个，X的可能取值为0，1，2，3，分别计算概率：PX=0=CPX=2=C故X的分布列为：X0123P1141EX（3）解：未成年人数据：波动较小（22，25，26，29，30，32，14，20，16，32，35），波动范围在14–35；成年人数据：波动大（62，68，75，86，92，102，48，65，48，108，120），

波动范围在48–120，且有明显下降回升，总人次：波动更大（84，93，...，155），因为两个序列叠加且趋势类似，由此从数据波动幅度可看出：总人次波动最大，其次是成年人，最后是未成年人，故s119．【答案】（1）解：因为点M−1,233又因为椭圆的左焦点为F−1,0，所以c=1，则c2=a2−则椭圆C的方程为x2（2）解：由题意，直线AB的斜率显然存在且不为0，设直线AB的方程为x=ty−3t≠0，Ax1联立x=ty−3x23则Δ=144t2−42且y1+y而S=1S=12⋅20．【答案】（1）解：当a=1时，函数fx=1+lnxx的定义域为0,+∞则曲线y=fx在点1,f1处的切线方程（2）解：函数fx=1+lnx可得fx因为x∈0,+∞，且a>0，则令gx=1−则g'令hx=2lnx+1令h'x>0，解得x>1；令h可知hx在0,1内单调递减，在1,+∞内单调递增，则即g'x≥0，可知gx在当0<x<1时，则gx<0，可得fx当x=1时，则gx=0，可得fx当x>1时，则gx>0，可得fx综上所述：当0<x<1时，fx<f1x；当x=1时，fx（3）解：fx=1+lnxax的定义域为令f'x>0，解得0<x<1；令f可知fx在0,1内单调递增，在1,+∞内单调递减，则且当x趋近于0时，fx趋近于−∞；当x趋近于+∞则y=fx与y=1有2个交点，所以方程fx=1存在两个根x不妨设x1<x2，则由（2）可知：当0<x<1时，fx则fx1<f又因为x2>1，1x1>1则x2>121．【答案】（1）解：由题意，Sn={x1,即S3则满足性质T的三元子集不唯一，如{(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)}；（2）证明：由题意，S5中共有25−1=31将S5第一个数字称为第一个分量，以此类推），知其和等于24同理，所有第二个分量、第三个分量、⋯⋯的和均等于16，假设能选出10个符合题意的三元子集，由题意，这10个三元子集覆盖了S5且每个三元子集的所有元素的每一个分量数字之和均为偶数，故S5中余下的一个元素的每一个分量都是偶数，即只能为(0,0,0,0,0)这与(0,0,0,0,0)∉S所以在S5的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质T（3）解：22026记tn=2n−13，其中当n=2时，S2的三元子集只有一个{(0,1),(1,0),(1,1)}，且具有性质T所以在S2中最多能选出t2=1记S2中具有性质T的三元子集为a当n=4时，S4中有24−1因为S4的子集0,1,1,1,a{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(1,1,0,0)}为两两交集为空集，且