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2025-2026学年上海市静安区彭浦中学高一（上）期中数学试卷一、填空题1．已知常数且，假设无论为何值，函数的图象恒经过一个定点，则这个点的坐标为．2．如果不等式的解集为，那么的取值范围是．3．设全集，1，2，4，6，，集合，4，，，1，，则．4．化简：．5．已知，，且是的充分非必要条件，则实数的取值范围是．6．已知，，则用，表示．7．已知，函数的大致图像如图所示，则．8．已知关于的不等式解集为，则实数的取值范围是．9．已知，，都是实数，一元二次方程有两个非零实根，，且，则．10．关于的不等式的解集中恰有4个正整数，实数的取值范围为．11．已知，均为正数，，则的最小值是．12．课内我们已经学习了一元二次方程的韦达定理．实际上，一元三次方程也有对应的韦达定理：一元三次方程的三根为，，满足：．已知，，满足：和，其中互不相等，则．二、选择题13．已知、、都是实数，则下列命题中，真命题是（）A．若，则． B．若，则． C．若，则． D．若，则．14．若，，，，下列运算正确的是（）A． B． C． D．15．已知集合，，，，，，，则集合的子集个数为（）A．3 B．4 C．8 D．716．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明《增广贤文》是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是．一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过天“进步者”是“退步者”的2倍．（参考数据：，，A．33 B．35 C．37 D．39三、解答题17．已知集合，，集合．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．

18．（1）已知，比较和的大小并说明理由；（2）设，用反证法证明：若，则或．

19．如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．（1）现有可围长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？（2）若使每间虎笼面积为，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？

20．（18分）（1）当时，解关于的方程；（2）当时，要使对数有意义，求实数的取值范围；（3）若关于的方程有且仅有一个解，求实数的取值范围．

21．（18分）对于直角坐标平面上的两个点，、，，记．（1）若点，，求满足的的集合；（2）若点在函数图像上，点的坐标为，求满足的的集合；（3）若、，点是直角坐标平面上的任意一点，求，，的最小值并指出取得最小值时的点的集合．

参考答案一、填空题1．．2．．3．．4．．5．，．6．．7．．8．，．9．．10．，．11．4．12．．二、选择题13．．14．．15．．16．．三、解答题17．解：（1）．（2）的取值范围是，．18．解：（1）；（2）证明：假设且，则，与已知条件矛盾，所以假设不成立，即或．19．解：（1）每间虎笼长，宽时，虎笼面积最大．（2）每间虎笼长，宽4米时，钢筋

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