2025-2026学年上海市徐汇区上海第八中学高一（上）期中数学试卷（含答案）

2025-2026学年上海八中高一（上）期中数学试卷一、填空题1．设全集，2，3，，集合，，则．2．已知等式恒成立，则．3．已知，，则．4．若幂函数的图像经过点，则其表达式为．5．“”是“、是方程的两根”的条件．6．当时，求的最小值为．7．若代数式有意义，则其中实数的取值范围是．8．满足条件，，，，，的集合的个数是．9．已知集合，，若集合有3个真子集，则实数的取值范围为．10．若不等式的解集为，则实数的取值范围是．11．若集合有且仅有两个子集，则实数的取值集合为．12．由无理数论引发的数字危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机，所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是．①没有最大元素，有一个最小元素；②没有最大元素，也没有最小元素；③有一个最大元素，有一个最小元素；④有一个最大元素，没有最小元素．二、选择题13．下列命题中错误的是A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则14．对于集合和，令，，，若，，，，则A．整数集 B． C． D．，15．下列运算中正确的是A． B． C． D．16．假设在某次交通事故中，测得肇事汽车的刹车距离大于，肇事汽车在该路段的限速为．根据经验，在该路段的刹车距离（单位：与刹车前的速度（单位：之间的关系为，下面的表格记录了三次实验的数据：（单位：51020（单位：1.20252.7256.73对于以下两个结论：①若该肇事汽车刹车前的速度为，则的最小正整数的值为；②可以断定，该肇事汽车在刹车前是超速行驶．其中正确的是A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立三、解答题17．（8分）已知集合，，全集为．（1）求集合和；（2）求阴影部分表示的集合．18．（8分）已知幂函数在上为严格减函数．（1）求实数的值；（2）若，求实数的取值范围．19．（10分）迎进博会，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左、中、右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为，四周空白的宽度为，栏与栏之间的中缝空白的宽度为．（1）试用栏目高与宽表示整个矩形广告面积；（2）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值．20．（10分）已知函数．（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；（2）当，时，恒成立，求实数的取值范围．21．（16分）设是实数集的非空子集且至少有两个元素，称集合，且为集合的生成集．（1）当，3，时，写出集合的生成集；（2）若是由5个正实数构成的集合，求其生成集中元素个数的最小值；（3）用反证法证明：不存在4个正实数构成的集合，使其生成集，3，5，6，10，．

参考答案一、填空题1．，．2．6．3．72．4．．5．必要且不充分．6．10．7．，，．8．7．9．．10．．11．，．12．①②④．二、选择题13．．14．．15．．16．．三、解答题17．解：（1）由，得，解得，所以，由，得，解得，所以；（2）由图可知阴影部分表示的集合为，因为，所以，所以阴影部分表示的集合为．18．解：（1）．（2）实数的取值范围是．19．解：（1）设矩形栏目的高为，宽为，则，广告的高为，宽为（其中，，广告的面积；（2），当且仅当，即时，取等号，此时．故当广告矩形栏目的高为，宽为时，可使广告的面积最小．20．解：（1），即，要使时，恒成立，则有△，即，解得，即的取值范围是，．（2）当，时，设，分以下三种情况讨论：①当，即时，在，上单调递增，在，上的最小值为，因此无解；②当，即时，在，上单调递减，在，上的最小值为（2），因此解得；③当，即时，在，上的最小值为，因此解得．综上所述，，即实数的取值范围是，．21．解：（1），3，，，，，由生成集的定义可得，10，．（2）设，，，，，不妨设．，集合中元素个数大于等于7，若，2，4，8，时，集合，4，8，16，32，64，，且中元素个数为7，生成集中元素个数的最小值为7．（3）证明：假设存在4个正实数构成的集合，，，，使其生成集，3，5，6，10，，不妨