2025-2026学年上海市长宁区延安中学高一（上）期中数学试卷（含答案）

-2026学年上海市长宁区延安中学高一（上）期中数学试卷一、填空题（共有12题，满分42分，第1至6题每题3分，第7至12题每题4分）.1．用符号或填空：2．已知集合，0，2，，若，，则．3．若实数，且，，则．4．某班有50名同学，参加数学竞赛的有36人，参加化学竞赛的有20人，两种竞赛都不参加的有8人，则两种竞赛都参加的有人．5．已知关于的不等式的解集为，则．6．已知，，且，则的最大值为．7．已知集合，，则．8．若实数，满足，则不等式的解集为．9．若不等式对一切都成立，则实数的取值范围是．10．已知，若存在，，使得不等式成立，则的取值范围是．11．已知集合有整数解，非空集合满足条件：①，②若，则，则所有这样的集合的个数为．12．已知实数，满足且，则的最大值是．二、选择题（共4题，满分12分，每题3分）.13．下列命题中正确的是（）A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则14．用反证法证明命题：“，，若可被5整除，那么，中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应该是（）A．，不都能被5整除 B．，都能被5整除 C．，都不能被5整除 D．能被5整除15．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大数据传输速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．根据香农公式，若当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则（）A．1 B．2 C．3 D．416．对三个正实数、、，下列说法正确的是（）A．存在，，的一组值，使得、、均小于2 B．存在，，的一组值，使得、、中恰有两个小于2 C．对，，的任意值，、、都不小于2 D．对，，的任意值，、、中至多有两个不小于2三、解答题（共5题，满分46分）.17．已知，．（1）求的值；（2）用，表示．

18．设集合，集合．（1）若，求；（2）设命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．

19．已知幂函数在上单调递增．（1）求实数的值；（2）若，求实数的取值范围．

20．小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元，在年产量不足8万件时，（万元）．在年产量不小于8万件时，（万元）．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

21．问题：正实数，满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题：（1）若正实数，满足，求的最小值；（2）若实数，，正实数，满足，求证：；（3）求代数式的最小值，并求出使得取最小值的的值．

参考答案一、填空题1．．2．，．3．．4．14．5．．6．．7．，．8．，，．9．，．10．，．11．3112．．二、选择题13．．14．．15．．16．．三、解答题17．解：（1）因为，，即，，则；（2）．18．解：（1），当时，集合，因此；（2），，因为是成立的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集，因此有，解得，19．解：（1）因为是幂函数，所以，解得，或，又因为在上单调递增．所以，即，所以．（2）由于在区间，上都是减函数，且．分三种情况讨论：①当，即时，原不等式成立；②当，且时，有，即，解集为空集．③当，且时，有，解得．综上所述：的取值范围是，，．20．解：（1）由题意知每件商品售价为5元，故得到万件商品销售收入为万元，所以当时，，且当时，，故；（2）①当时，，易知当时，取得最大值（2）万元，②当时，，当且仅当时，取得最大值15万元，因为，故年产量为10万件时，所获利润最大，最大利润为15万元．21．解：（1）因为，，，所以，当且仅当，即，时，取得