函数及其表示-初升高数学教材衔接

数学初高教材衔接——函数及其表示初中阶段要求高中阶段要求衔接要点1.函数概念：依托变量视角识记函数定义：一个变量随另一个变量变化，识别自变量、因变量。2.函数表示：掌握解析式、表格、图象三种基础表示方法；会读取一次、反比例、二次函数基础图象信息。3.基础应用：会求整式型简单自变量取值范围，代入数值求函数值，结合图象解决生活情境类简单最值、增减问题。1.函数概念深化：依托集合对应视角定义函数，辨析定义域、值域、对应关系三要素，区分函数与非函数对应关系。2.函数表示进阶：新增分段函数、复合函数；掌握描点作图、图象变换法作图；辨析解析式法、列表法、图象法优劣适配场景。3.限定与运算：分类求解分式、根式、复合型自变量定义域；求解抽象函数值域；掌握函数解析式待定系数法、换元法求解。1.认知升级：从“变量动态变化”具象认知，进阶为“集合一对一/多对一对应”抽象定义，剥离生活情境纯数学建模。2.思维转变：从单一整段函数认知，转向分段、复合拆分式逻辑思维，突破初中单一解析式固化思维。3.逻辑构建：整合定义—三要素—表示方法—题型解法闭环体系，打通初中初等函数与高中函数体系底层逻辑。回顾初中一般来说，在某个变化过程中有两个变量和，如果对于在某一个范围内的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应，那么就称是的函数，其中叫做自变量，叫做因变量.衔接高中一、集合1.集合的定义一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.集合通常用大写的拉丁字母表示，集合中的元素用小写的拉丁字母表示.如果是集合中的元素，就说属于集合，记作；如果不是集合中的元素，就说不属于集合，记作.2.常用数集全体自然数（包括0）的集合简称自然数集，记作；全体整数的集合简称整数集，记作；全体正整数的集合简称正整数集，记作或；全体有理数的集合简称有理数集，记作；全体实数的集合简称实数集，记作3.集合的表示（一）列举法把集合中的元素一一列举出来并用大括号“{}”括起来.如方程的根组成的集合用表示.（二）描述法用集合元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，具体表示为{元素代表|共同特征}，如表示方程的解集.二、函数设是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：是从集合到集合的一个函数，记作，.其中，叫作自变量，的取值范围叫作函数的定义域；与值相对应的值叫作函数值，函数值的集合叫作函数的值域.函数的三要素为定义域、对应关系和值域.由于值域是定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那我们就称这两个函数相等.函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法三、区间设是两个实数，而且.我们规定：（1）满足不等式的实数的集合叫作闭区间，表示为；（2）满足不等式的实数的集合叫作开区间，表示为；（3）满足不等式或的实数的集合叫作半开半闭区间，分别表示为，.四、增函数、减函数和单调函数的定义（1）①增函数：设函数的定义域为，如果对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数，区间称为的单调递增区间.②减函数：如果对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数，区间称为的单调递减区间.（2）如果函数在某个区间是增函数或减函数，那么我们说函数在这一区间上具有（严格的）单调性，称函数为单调函数.1.下列关系中正确的是()A. B. C. D.2.下列各组对象中，能构成集合的是()A.2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题B.重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生C.人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题D.美丽的小鸟3.不小于2的所有整数构成的集合可表示为()A. B. C. D.4.函数的定义域为()A. B. C. D.5.集合用列举法表示是()A. B. C. D.6.下列叙述正确的是()A.用区间可表示为B.用区间可表示为C.用集合可表示为D.用集合可表示为7.已知，，下列图象能表示以A为定义域，B为值域的函数的是()A. B.C. D.8.已知定义在R上的函数为增函数，则关于m的不等式的解集是()A. B. C. D.9.下列函数中，在区间上单调递增的是()A. B. C. D.10.如图是函数的图象，则下列说法正确的是()A.在和上单调递减B.在区间上的最大值为3，最小值为-2C.在上有最大值2，有最小值D.当直线与函数，图象有交点时11.函数的定义域是______________．12.如图，在平面直角坐标系中矩形OABC及其内部的点构成的集合可表示为___________.13.用列举法表示集合的结果为__________.14.函数的值域为_____________.15.已知一次函数m满足且(1)求解析式；(2)当时，求的值域；(3)若方程没有实数根，求实数m的取值范围.

答案以及解析1.答案：C解析：选项A:R表示实数集，所以，说法错误；选项B:Q表示有理数集，所以，说法错误；选项C:Z表示整数集，所以，说法正确；选项D:N表示自然数集，所以，说法错误；故选:C2.答案：C解析：对于A，“难题”是不确定的概念，所以“2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题”不能构成集合，故A不符合；对于B，“身高较高”不确定的概念，所以“重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合，故B不符合；对于C，“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个整体能够构成集合，故C符合；对于D，“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合.故选:C.3.答案：D解析：不小于2的所有整数构成的集合可表示为.4.答案：C解析：且，解得且.所以的定义域为.故选：C.5.答案：D解析：.故选D.6.答案：D解析：用区间表示应该为；用区间表示应该为；用集合表示应该为.显然D正确.7.答案：B解析：A是函数的图象，值域为，与题干函数的值域为不符，故A错误；B是函数的图象，定义域为，值域为，故B正确；C是函数的图象，值域为，与题干函数的值域为不符，故C错误；D是函数的图象，值域为，与题干函数的值域为不符，故D错误.故选B.8.答案：A解析：因为函数为定义在R上的增函数，且，所以，解得．故选A．9.答案：D解析：为反比例函数，在上单调递减；为一次函数，在上单调递减；为开口向下的二次函数，在上单调递减；当时，在上单调递增.故选D10.答案：A解析：A选项，由函数图象可得，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故A正确；B选项，由图象可得，函数在区间上的最大值为3，无最小值，故B错；C选项，由图象可得，函数在上有最大值3，有最小值，故C错；D选项，由图象可得，为使直线与函数的图象有交点，只需，故D错.故选：A.11.答案：解析：依题意有，解得且．12.答案：解析：由题图可知，，故平面直角坐标系中矩形OABC及其内部的点构成的集合可表示为.13.答案：解析：由可知为6的约数，所以.又，所以，此时，因此集