复合函数考题解析及答案

复合函数考题解析及答案考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高二（1）班

复合函数考题解析及答案

一、选择题

1.函数f(x)=2x+1，g(x)=x^2-3，则复合函数g(f(x))的解析式为

A.2x^2+4x-2

B.x^2+4x+1

C.4x^2-8x+3

D.x^2-4x-2

2.若函数f(x)=3x-2，g(x)=2x+3，则f(g(x))的值为

A.6x+5

B.6x-5

C.9x-4

D.9x+4

3.函数f(x)=x+1，g(x)=1/x，则f(g(x))的定义域为

A.x≠0

B.x>0

C.x<0

D.x≠1

4.函数f(x)=√(x-1)，g(x)=x^2，则复合函数g(f(x))的值域为

A.[1,+∞)

B.[0,+∞)

C.[1,4]

D.[0,4]

5.若函数f(x)=x^3，g(x)=x+1，则f(g(x))在x=1处的导数为

A.3

B.6

C.9

D.12

6.函数f(x)=sin(x)，g(x)=x^2，则复合函数g(f(x))在x=0处的导数为

A.0

B.1

C.sin(0)

D.cos(0)

7.函数f(x)=log(x)，g(x)=2x-1，则复合函数f(g(x))的反函数为

A.2^x-1

B.2^(x+1)

C.2^(x-1)

D.2^(1-x)

8.函数f(x)=e^x，g(x)=x-1，则复合函数f(g(x))的积分结果为

A.e^x+C

B.e^(x-1)+C

C.(x-1)e^x+C

D.xe^x+C

9.函数f(x)=tan(x)，g(x)=x/2，则复合函数f(g(x))的周期为

A.π

B.2π

C.π/2

D.π/4

10.函数f(x)=arcsin(x)，g(x)=1-x^2，则复合函数f(g(x))的值域为

A.[-π/2,π/2]

B.[-1,1]

C.[-π/4,π/4]

D.[0,π/2]

二、填空题

1.函数f(x)=x^2，g(x)=x+1，则复合函数g(f(x))的解析式为__________。

2.若函数f(x)=2x+3，g(x)=x-1，则f(g(2))的值为__________。

3.函数f(x)=1/x，g(x)=x^2+1，则复合函数g(f(x))的定义域为__________。

4.函数f(x)=√(x+2)，g(x)=x^3，则复合函数g(f(x))的值域为__________。

5.若函数f(x)=x^2，g(x)=sin(x)，则复合函数f(g(x))在x=0处的导数为__________。

6.函数f(x)=log(2x)，g(x)=x-1，则复合函数f(g(x))的反函数为__________。

7.函数f(x)=e^x，g(x)=x+2，则复合函数f(g(x))的积分结果为__________。

8.函数f(x)=cos(x)，g(x)=x/3，则复合函数f(g(x))的周期为__________。

9.函数f(x)=arctan(x)，g(x)=x^2，则复合函数f(g(x))的导数为__________。

10.函数f(x)=1/(x+1)，g(x)=x^2-1，则复合函数f(g(x))的解析式为__________。

三、多选题

1.函数f(x)=x^2，g(x)=x+1，下列关于复合函数g(f(x))的说法正确的有

A.定义域为全体实数

B.值域为[0,+∞)

C.在x=0处取得最小值

D.是增函数

2.若函数f(x)=2x-1，g(x)=x^2+1，则复合函数f(g(x))的下列说法正确的有

A.定义域为全体实数

B.值域为[1,+∞)

C.在x=0处取得最小值

D.是偶函数

3.函数f(x)=sin(x)，g(x)=x^2，则复合函数g(f(x))的下列说法正确的有

A.定义域为全体实数

B.值域为[0,1]

C.在x=0处取得最大值

D.是周期函数

4.函数f(x)=log(x)，g(x)=x-1，则复合函数f(g(x))的下列说法正确的有

A.定义域为(1,+∞)

B.值域为全体实数

C.在x=1处取得极限

D.是单调递增函数

5.函数f(x)=e^x，g(x)=x^2，则复合函数f(g(x))的下列说法正确的有

A.定义域为全体实数

B.值域为(1,+∞)

C.在x=0处取得最小值

D.是单调递增函数

四、判断题

1.函数f(x)=x+1，g(x)=x-1，则复合函数g(f(x))=x-2。

2.函数f(x)=√x，g(x)=x^2，则复合函数g(f(x))的定义域为[0,+∞)。

3.若函数f(x)=2x，g(x)=x^3，则复合函数f(g(x))在x=0处的导数为0。

4.函数f(x)=sin(x)，g(x)=x^2，则复合函数g(f(x))的值域为[0,1]。

5.函数f(x)=log(x)，g(x)=x+1，则复合函数f(g(x))的反函数为10^(x+1)。

6.函数f(x)=e^x，g(x)=x-1，则复合函数f(g(x))的积分结果为e^(x-1)+C。

7.函数f(x)=tan(x)，g(x)=x/2，则复合函数f(g(x))的周期为π。

8.函数f(x)=arcsin(x)，g(x)=1-x^2，则复合函数f(g(x))的值域为[-π/2,π/2]。

9.函数f(x)=1/(x+1)，g(x)=x^2-1，则复合函数f(g(x))在x=0处的值为-1/2。

10.函数f(x)=x^2，g(x)=x+1，则复合函数g(f(x))在x=1处的导数为6。

五、问答题

1.求函数f(x)=sin(x)，g(x)=x^2的复合函数g(f(x))的导数。

2.求函数f(x)=log(x)，g(x)=x-1的复合函数f(g(x))的反函数。

3.求函数f(x)=e^x，g(x)=x^2的复合函数f(g(x))的积分。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.A

解析：g(f(x))=g(2x+1)=(2x+1)^2-3=4x^2+4x+1-3=4x^2+4x-2

2.A

解析：f(g(x))=f(2x+3)=3(2x+3)-2=6x+9-2=6x+5

3.A

解析：g(x)=1/x，f(g(x))=f(1/x)=1/x+1，要求f(g(x))有意义，需1/x+1有意义，即x≠0

4.A

解析：f(x)=√(x-1)，g(x)=x^2，g(f(x))=g(√(x-1))=(√(x-1))^2=x-1，定义域为x≥1，值域为[1,+∞)

5.B

解析：f(g(x))=g(x)^3=(x+1)^3，f'(x)=3x^2，g'(x)=1，g'(x)≠0，f'(g(x))=3(x+1)^2，f'(g(x))*g'(x)=3(x+1)^2*1=3(x+1)^2，在x=1处，f'(g(1))*g'(1)=3(1+1)^2*1=3*4=12

6.A

解析：g(f(x))=g(sin(x))=sin^2(x)，g'(x)=cos(x)，f'(x)=cos(x)，g'(f(x))=cos(sin(x))，f'(g(x))*g'(x)=cos(sin(x))*cos(x)，在x=0处，sin(0)=0，cos(0)=1，cos(sin(0))=cos(0)=1，1*1=0

7.C

解析：f(g(x))=f(2x-1)=log(2x-1)，令y=log(2x-1)，则2x-1=10^y，x-1/2=(1/2)10^y，x=(1/2)10^y+1/2，反函数为y=(1/2)10^x+1/2=2^(x-1)

8.B

解析：f(g(x))=f(x-1)=e^(x-1)，∫e^(x-1)dx=∫e^udu(令u=x-1)=e^u+C=e^(x-1)+C

9.C

解析：f(g(x))=f(x/2)=tan(x/2)，tan(x/2)的周期为π/(1/2)=2π/2=π

10.C

解析：g(f(x))=g(√x)=1-(√x)^2=1-x，定义域为x≥0，值域为[0,1]，arcsin(1-x)的值域为[arcsin(1),arcsin(0)]=[π/2,0]=[-π/4,π/4]

二、填空题答案及解析

1.x^2+2x

解析：g(f(x))=g(x^2)=x^2+1

2.7

解析：g(2)=2-1=1，f(g(2))=f(1)=2*1+3=5

3.(-∞,-1)∪(1,+∞)

解析：f(x)=1/x，定义域为x≠0，g(f(x))=g(1/x)=1/x^2+1，要求g(f(x))有意义，需1/x≠0且1/x^2+1有意义，即x≠0，x^2≠0，即x≠0且x≠1，定义域为x≠0且x≠1

4.[1,+∞)

解析：f(x)=√(x+2)，定义域为x+2≥0，即x≥-2，g(f(x))=g(√(x+2))=(√(x+2))^3=(x+2)^(3/2)，值域为[(-2)^(3/2),+∞)=[1,+∞)

5.1

解析：f(g(x))=f(sin(x))=sin^2(x)，f'(x)=2x，g'(x)=cos(x)，f'(g(x))=2sin(x)，f'(g(x))*g'(x)=2sin(x)*cos(x)=sin(2x)，在x=0处，sin(2*0)=sin(0)=0

6.10^(x+1)

解析：f(g(x))=f(x-1)=log(x-1)，令y=log(x-1)，则x-1=10^y，x=10^y+1，反函数为y=10^x+1=10^(x+1)

7.e^(x+2)+C

解析：f(g(x))=f(x+2)=e^(x+2)，∫e^(x+2)dx=∫e^udu(令u=x+2)=e^u+C=e^(x+2)+C

8.3π

解析：f(g(x))=f(x/3)=cos(x/3)，cos(x/3)的周期为2π/(1/3)=6π/3=2π

9.(x^2)sec^2(x^2)/(1+x^4)

解析：f(g(x))=f(x^2)=arctan(x^2)，f'(x)=1/(1+x^2)，g'(x)=2x，f'(g(x))=1/(1+(x^2)^2)=1/(1+x^4)，f'(g(x))*g'(x)=(1/(1+x^4))*2x=2x/(1+x^4)

10.1/(x^2-1)

解析：f(g(x))=f(x^2-1)=1/(x^2-1)

四、判断题答案及解析

1.正确

解析：g(f(x))=g(x+1)=(x+1)-1=x

2.正确

解析：f(x)=√x，定义域为x≥0，g(x)=x^2，定义域为全体实数，g(x)的值域为[0,+∞)，f(g(x))=f(x^2)=√(x^2)=|x|，定义域为x^2≥0，即x≥0，定义域为[0,+∞)

3.正确

解析：f(g(x))=f(x^3)=2(x^3)，f'(x)=2x，g'(x)=3x^2，f'(g(x))=2(g(x))=2(x^3)，f'(g(x))*g'(x)=2x^3*3x^2=6x^5，在x=0处，6*0^5=0

4.错误

解析：g(f(x))=g(sin(x))=sin^2(x)，值域为[0,1]

5.正确

解析：f(g(x))=f(x+1)=log(x+1)，令y=log(x+1)，则x+1=10^y，x=10^y-1，反函数为y=10^x-1=10^(x+1)-10

6.错误

解析：f(g(x))=f(x-1)=e^(x-1)，∫e^(x-1)dx=∫e^udu(令u=x-1)=e^u+C=e^(x-1)+C，但原答案少了e^u的常数C，正确结果应为e^(x-1)+C

7.错误

解析：f(g(x))=f(x/2)=tan(x/2)，tan(x/2)的周期为π/(1/2)=2π/2=π

8.错误

解析：g(f(x))=g(1-x^2)=arcsin(1-x^2)，定义域为-1≤1-x^2≤1，即0≤x^2≤2，即-√2≤x≤√2，值域为[-π/2,π/2]

9.正确

解析：f(g(x)