2024-2025学年北京通州区高二(下)期末数学试卷含答案

2024-2025学年北京市通州区高二（下）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）已知集合M＝{a|a2＜4}，N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则M∩N＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{﹣1，0，1} C．[﹣2，2] D．（﹣2，2）2．（4分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．f（x）＝lgx B．f（x）＝﹣x2+2x C．f(x)=(12)x D．f（3．（4分）随机变量X服从正态分布N（3，σ2），P（0＜X＜6）＝0.6，则P（X＜0）＝（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.44．（4分）已知8名学生中有5名男生，从中选出4名代表，记选出的代表中男生人数为X，则P（X＝3）＝（）A．17 B．37 C．55．（4分）某校男女生人数之比为9：11，其中男生近视率为0.4，女生近视率为0.6，则该校学生的近视率为（）A．5155 B．625 C．491006．（4分）设离散型随机变量X的分布列为X﹣1012Pm0.3n0.3则P（|X|＝1）与E（2|X|+1）的值分别是（）A．0.4；3 B．0.4；2 C．0.4；1 D．0.2；57．（4分）已知0＜k＜1，且2aA．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a8．（4分）已知a＞0，b＞0，则“a+b≤1”是“a+A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．（4分）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数．人体的血氧饱和度正常范围是95%～100%，某患者治疗过程中，血氧饱和度S（t）随给氧时间t（单位：时）的变化规律满足指数模型：S(t)=S0eKt，其中S（精确到0.1，参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）A．1.5 B．1.6 C．0.5 D．0.610．（4分）设集合A＝{1，2，3，4，5，6}，集合B＝{（x1，x2，x3）|xi∈A，i＝1，2，3}，那么集合B中满足|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+|x3﹣x1|＝6的元素的个数为（）A．72 B．54 C．24 D．12二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）函数f(x)=lnxx+1的定义域是12．（5分）已知(x−1x)n的展开式的二项式系数和为128，则n＝13．（5分）已知函数f(x)=−x2+2x，x≤2ln(x−1)，x＞2，若关于x的方程f（x）＝a14．（5分）一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球5个，其余为黑球，每次随机摸1球．若不放回地摸球，第一次摸到白球，则第二次又摸到白球的概率为；某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中有放回地随机摸取10次，若其中恰有n次摸到白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大，该同学应该设置摸到白球的次数为n＝．15．（5分）Sigmoid函数σ（x）是神经网络中最常用的激活函数之一，其解析式为：σ(x)=11+e①若|a|＜|b|，则σ（a）＜σ（b）；②k=02025③导函数y＝σ′（x）的最大值是14④∀a＞0，∃x∈R，σ（x+1）﹣σ（x）＜a．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（14分）已知函数f（x）＝x2+ax﹣2ln|x|为偶函数．（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）的单调区间和极值．17．（14分）某县开展“振兴乡村•助农直播”活动，某日不同时段的直播开始时间及带货时长如下表（均按计划完成）：上午场（09：00至11：59开播，生鲜农产品）下午场（14：00至17：59开播，手工艺品）﹣09：00直播间A（特色水果）：带货时长2小时20分﹣09：45直播间B（生态大米）：带货时长1小时50分﹣10：30直播间C（散养土鸡）：带货时长2小时30分﹣11：15直播间D（手工腐竹）：带货时长1小时30分﹣14：00直播间E（竹编器具）：带货时长1小时30分﹣15：30直播间F（刺绣饰品）：带货时长2小时40分﹣16：45直播间G（藤编家具）：带货时长1小时10分（1）某主播从上述直播间中随机选取一场参与，求该场直播的带货时长超过2小时的概率；（2）甲、乙、丙3位主播依次从上述直播间中随机选取一场参与（每直播间仅一位主播），求甲、乙、丙中至少有2人带货时长超过2小时的概率；（3）若甲、乙、丙随机选取一场参与，其中甲必须选上午场直播，乙必须选下午场直播，丙的选择无时段限制，且甲、乙、丙3人的选择互不影响．记甲、乙、丙的带货时长的方差分别为s12，s22，s32，写出18．（14分）某区开展“文明先锋”志愿服务活动，为表彰优秀志愿者，用分层抽样的方法按青少年组与成年组分别抽取若干名志愿者调查其服务情况，并依据服务时长评选出一星、二星、三星优秀志愿者，数据如表：组别人数获奖人数一星二星三星青少年10051520成年200151520假设所有志愿者的获奖情况相互独立，用频率估计概率．（1）试估计本社区一星志愿者的获奖概率；（2）从本社区青少年组志愿者中随机抽取1名，成年组志愿者中随机抽取2名，以X表示这3名志愿者中获奖的人数，求X的分布列与期望；（3）若从该社区志愿者中随机抽取1名，记抽到的志愿者获奖的概率为p0；为支援某大型活动，从其他社区调入c（c＞0）名一星志愿者，再随机抽取1名，记抽到的志愿者获奖的概率为p1，试估计p0与p1的大小．（结论不要求证明）19．（14分）已知函数f（x）＝ln（ax）﹣x2（a∈R且a≠0）．（1）当a＝1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当a＝﹣1时，求证：f（x）≤x．（3）设ℎ(x)=f(x)x+x，求函数h20．（14分）已知函数f(x)=x+aex，g（x（1）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与y＝g（x）平行，求实数a的值；（2）当a＝1时，记函数h（x）＝f（x）﹣g（x），求h（x）的零点个数及所有零点之和的值．21．（15分）定义n元点集Mn＝{Pi（xi，yi）|（x1，y1），（x2，y2），⋯，（xn，yn）}（n≥3）满足xi≥0，yi≥0，xi+yi≤2（i＝1，2，⋯，n）．若非空集合N⊆Mn，满足N中所有点的横坐标之和X（N）≤6，则称N满足性质P；若N中所有点的纵坐标之和Y（N）≤6，则称N满足性质Q．若集合Mn存在两个其非空子集A，B满足A∩B＝∅，A∪B＝Mn，且A，B之一满足性质P，另一个满足性质Q，则称Mn为一个n元均衡点集．（1）请写出一个3元均衡点集M3，并写出一组使得X（A）+Y（B）＝3时对应的子集A和B；（2）求证：对于任意一个3元均衡点集M3，都满足X（A）+Y（B）≤3；（3）求最大的正整数n，使得任意一个Mn都是n元均衡点集．

2024-2025学年北京市通州区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BCBBDACADB一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）已知集合M＝{a|a2＜4}，N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则M∩N＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{﹣1，0，1} C．[﹣2，2] D．（﹣2，2）【分析】先求出集合M中不等式的解集，然后根据交集的概念求出结果．【解答】解：因为集合N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，M＝{a|a2＜4}＝（﹣2，2），所以M∩N＝{﹣1，0，1}．故选：B．【点评】本题主要考查交集的运算，属于基础题．2．（4分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．f（x）＝lgx B．f（x）＝﹣x2+2x C．f(x)=(12)x D．f（【分析】根据对数函数、指数函数、二次函数的性质对选项逐一判断即可．【解答】解：对于A，由对数函数的性质，f（x）＝lgx在（0，+∞）上单调递增；对于B，f（x）＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，由二次函数的性质知，该函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；对于C，由指数函数的性质，f（x）=(对于D，当x＞1时，f（x）＝2x﹣1在（1，+∞）上单调递增；当x＜1时，f（x）＝21﹣x=(综上，选项C符合题意．故选：C．【点评】本题考查了基本初等函数的单调性判断问题，是基础题．3．（4分）随机变量X服从正态分布N（3，σ2），P（0＜X＜6）＝0.6，则P（X＜0）＝（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【分析】根据正态分布对称性得出【解答】解：根据题意可知，P(X＜0)=P(X＞6)=1−P(0＜X＜6)故选：B．【点评】本题考查了正态分布对称性，属于基础题．4．（4分）已知8名学生中有5名男生，从中选出4名代表，记选出的代表中男生人数为X，则P（X＝3）＝（）A．17 B．37 C．5【分析】根据超几何分布的概率公式计算即可．【解答】X＝3表示选出的4个代表中有3个男生1个女生，则P(X=3)=C故选：B．【点评】本题考查古典概型的概率公式的应用，属基础题．5．（4分）某校男女生人数之比为9：11，其中男生近视率为0.4，女生近视率为0.6，则该校学生的近视率为（）A．5155 B．625 C．49100【分析】根据全概率的公式进行求解即可．【解答】解：根据题意可知，某校男女生人数之比为9：11，其中男生近视率为0.4，女生近视率为0.6，设该校总学生人数为x，则根据题意得P=9故选：D．【点评】本题考查了了全概率的公式，属于基础题．6．（4分）设离散型随机变量X的分布列为X﹣1012Pm0.3n0.3则P（|X|＝1）与E（2|X|+1）的值分别是（）A．0.4；3 B．0.4；2 C．0.4；1 D．0.2；5【分析】根据已知分布列得出对应概率，再应用数学期望公式计算结合数学期望性质求解即可．【解答】解：P（|X|＝1）＝P（X＝1）+P（X＝﹣1）＝0.4；E（|X|）＝0×0.3+1×0.4+2×0.3＝1，E（2|X|+1）＝2E（|X|）+1＝3．故选：A．【点评】本题考查离散型随机变量的均值（数学期望），属于中档题．7．（4分）已知0＜k＜1，且2aA．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a【分析】首先根据已知条件将a，b，c用k表示出来，然后根据对数函数、指数函数、二次函数的单调性判断a，b，c的范围即可进行比较．【解答】解：由题意可求得，a=log因为0＜k＜1，所以a＝log2k＜log21＝0，1＜b＝2k＜21＝2，0＜c＝k2＜1，所以a＜c＜b．故选：C．【点评】本题主要考查对数值比较大小，属于基础题．8．（4分）已知a＞0，b＞0，则“a+b≤1”是“a+A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】当a＞0，b＞0且a+b≤1时，a+【解答】解：当a＞0，b＞0且a+b≤1时，a+当且仅当a＝b时取等号，所以充分性成立，当a＝1，b=116时，a+b=1.25≤2故“a+b≤1”是“a+故选：A．【点评】本题考查了充分，必要条件的定义，涉及到基本不等式的应用，属于基础题．9．（4分）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数．人体的血氧饱和度正常范围是95%～100%，某患者治疗过程中，血氧饱和度S（t）随给氧时间t（单位：时）的变化规律满足指数模型：S(t)=S0eKt，其中S（精确到0.1，参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）A．1.5 B．1.6 C．0.5 D．0.6【分析】根据题意可求得S0=0.8，eK=【解答】解：由已知得，S(0)=S0=0.8所以S(t)=S令S(t)=0.8(解得t=log且t﹣1≈0.549，所以至少还需要给氧时间（单位：时）约为0.6．故选：D．【点评】本题主要考查对数运算，属于中档题．10．（4分）设集合A＝{1，2，3，4，5，6}，集合B＝{（x1，x2，x3）|xi∈A，i＝1，2，3}，那么集合B中满足|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+|x3﹣x1|＝6的元素的个数为（）A．72 B．54 C．24 D．12【分析】根据已知分类讨论，再结合排列数计算及分步计数原理求解即可．【解答】解：第一种情况|x1﹣x2|，|x2﹣x3|，|x3﹣x1|可以分别是1，2，3，所以x1，x2，x3分别是1，4，2或1，4，3或2，5，3或2，5，4或3，4，6或3，5，6，第二种情况|x1﹣x2|，|x2﹣x3|，|x3﹣x1|可以分别是0，3，3，所以x1，x2，x3分别是1，4，4或1，4，1或2，5，5或2，5，2或3，3，6或3，6，6，集合B中满足|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+|x3﹣x1|＝6的元素的个数为6A故选：B．【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）函数f(x)=lnxx+1的定义域是【分析】根据对数函数的定义域及根式有意义列式得出定义域即可．【解答】函数f(x)=lnx则x＞0x+1＞0，解得x函数f(x)=lnx故答案为：（0，+∞）．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．12．（5分）已知(x−1x)n的展开式的二项式系数和为128，则n＝7【分析】根据二项式系数和的性质求出n的值，再根据二项展开式的通项公式求出含x2项的系数．【解答】解：根据题意可得2n＝128，则n＝7．(x−1要求含有x2项的系数，令7−r2−r=2，解得所以含有x2项的系数为C7故答案为：①7；②﹣7．【点评】本题考查二项式定理相关知识，属于中档题．13．（5分）已知函数f(x)=−x2+2x，x≤2ln(x−1)，x＞2，若关于x的方程f（x）＝a【分析】原题意等价于y＝f（x）与y＝a的图象有3个不同的交点，作出y＝f（x）的图象，结合图象即可得结果．【解答】解：关于x的方程f（x）＝a有三个相异的实数根，等价于函数y＝f（x）图象与直线y＝a的图象有3个不同的交点，在同一坐标系中，作出y＝f（x）及y＝a的图象，如图所示：由图可得，当0＜a＜1时，函数y＝f（x）的图象与直线y＝a有3个不同的交点，所以实数a的取值范围是（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】本题考查了函数与方程思想、转化思想及数形结合思想，属于基础题．14．（5分）一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球5个，其余为黑球，每次随机摸1球．若不放回地摸球，第一次摸到白球，则第二次又摸到白球的概率为419；某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中有放回地随机摸取10次，若其中恰有n次摸到白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大，该同学应该设置摸到白球的次数为n＝2【分析】对于①，根据条件概率公式进行求解即可；对于②，先将参与者获奖的概率的表达式列出来，然后求出最大值即可．【解答】解：盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球5个，其余为黑球，每次随机摸1球，根据题意，设事件A为“第一次摸到白球”，事件B为“第二次摸到白球”，则P(A)=520=∴不放回地摸球，第一次摸到白球，则第二次又摸到白球的概率为：P(B|A)=P(AB)根据题意可知参与者获奖的可能性为：P(X=k)=C由于P(X=0)=CP(X=2)=C102P(X=4)=C104P(X=6)=C106P(X=8)=C108P(X=10)=C1010(1∴n＝2，∴要使参与者获奖的可能性最大，该同学应该设置摸到白球的次数为n＝2．故答案为：①419；②【点评】本题考查二项分布的性质和应用，涉及条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15．（5分）Sigmoid函数σ（x）是神经网络中最常用的激活函数之一，其解析式为：σ(x)=11+e−x．则下列正确结论的序号是①若|a|＜|b|，则σ（a）＜σ（b）；②k=02025③导函数y＝σ′（x）的最大值是14④∀a＞0，∃x∈R，σ（x+1）﹣σ（x）＜a．【分析】对于①，可举反例进行判断；对于②，先求出σ（k）+σ（﹣k），然后求和即可；对于③，对函数求导，令导数为新函数，再次求导判断单调性确定最大值；对于④，先求出σ（x+1）﹣σ（x）的表达式，然后构造新函数，求导判断单调性求出最大值和极大值点，即可证明．【解答】解：对于①：令a＝1，b＝﹣2，则e﹣1＜e﹣（﹣2），所以1+e﹣1＜1+e﹣（﹣2），所以11+e−1＞11+e对于②：因为σ(k)+σ(−k)=1所以k=02025[σ(k)+σ(−k)]=2026，故对于③：σ′(x)=e−x(1+f′(x)=−当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以σ′(x)max=f对于④：由题意σ(x+1)−σ(x)=1令g(x)=e则g′(x)==e=e令g′（x）＝0，得x=−1当x∈(−∞，−12)时，g′（x）＞0，g当x∈(−12，+∞)时，g′（x）＜0，g此时g(x)所以要使得不等式恒成立，则e−1(e+1)2＜a故答案为：②③④．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（14分）已知函数f（x）＝x2+ax﹣2ln|x|为偶函数．（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）的单调区间和极值．【分析】（1）根据偶函数的定义求出a的值．（2）对函数求导，分别讨论x＞0，x＜0情况下函数的单调性和极值．【解答】解：（1）依题意，得f（﹣x）＝f（x），即（﹣x）2﹣ax﹣2ln|﹣x|＝x2﹣ax﹣2ln|x|＝x2+ax﹣2ln|x|，化简为2ax＝0，由于x≠0，故a＝0；（2）由（1）知函数的解析式为f（x）＝x2﹣2ln|x|（x≠0），当x＞0时，f（x）＝x2﹣2lnx，f′(x)=2x−2令f′（x）＜0，0＜x＜1，令f′（x）＞0，x＞1；此时函数f（x），在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，令f′（x）＝0，因为x＞0，所以x＝1，根据单调性可知函数在x＝1处取极小值f（1）＝1；又f（﹣x）＝f（x），故f（x）为偶函数，所以，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增，所以函数在x＝﹣1处取极小值f（﹣1）＝1．【点评】本题考查导数和函数的单调性、极值的关系，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．17．（14分）某县开展“振兴乡村•助农直播”活动，某日不同时段的直播开始时间及带货时长如下表（均按计划完成）：上午场（09：00至11：59开播，生鲜农产品）下午场（14：00至17：59开播，手工艺品）﹣09：00直播间A（特色水果）：带货时长2小时20分﹣09：45直播间B（生态大米）：带货时长1小时50分﹣10：30直播间C（散养土鸡）：带货时长2小时30分﹣11：15直播间D（手工腐竹）：带货时长1小时30分﹣14：00直播间E（竹编器具）：带货时长1小时30分﹣15：30直播间F（刺绣饰品）：带货时长2小时40分﹣16：45直播间G（藤编家具）：带货时长1小时10分（1）某主播从上述直播间中随机选取一场参与，求该场直播的带货时长超过2小时的概率；（2）甲、乙、丙3位主播依次从上述直播间中随机选取一场参与（每直播间仅一位主播），求甲、乙、丙中至少有2人带货时长超过2小时的概率；（3）若甲、乙、丙随机选取一场参与，其中甲必须选上午场直播，乙必须选下午场直播，丙的选择无时段限制，且甲、乙、丙3人的选择互不影响．记甲、乙、丙的带货时长的方差分别为s12，s22，s32，写出【分析】（1）由古典概型，利用列举法，可得答案；（2）设出事件，利用古典概型以及概率加法，可得答案；（3）由平均数与方差的计算，可得答案．【解答】解：（1）由题意可知总共有7场直播，其中超过2小时的直播有3场，则概率为37（2）设事件A＝“甲乙丙中恰有2人带货时长超过2小时”，事件B＝“甲乙丙中恰有3人带货时长超过2小时”，则P(A)=C32所以甲、乙、丙中至少有2人带货时长超过2小时的概率为P(A)+P(B)=13（3）甲可选的直播时长为73，11所以方差s1乙可选的直播时长为32，8所以方差s2丙可选的直播时长为73则均值x3所以方差s3由67162＞251【点评】本题考查古典概型求概率公式、均值与方差计算公式，考查学生运算求解能力，属于中档题．18．（14分）某区开展“文明先锋”志愿服务活动，为表彰优秀志愿者，用分层抽样的方法按青少年组与成年组分别抽取若干名志愿者调查其服务情况，并依据服务时长评选出一星、二星、三星优秀志愿者，数据如表：组别人数获奖人数一星二星三星青少年10051520成年200151520假设所有志愿者的获奖情况相互独立，用频率估计概率．（1）试估计本社区一星志愿者的获奖概率；（2）从本社区青少年组志愿者中随机抽取1名，成年组志愿者中随机抽取2名，以X表示这3名志愿者中获奖的人数，求X的分布列与期望；（3）若从该社区志愿者中随机抽取1名，记抽到的志愿者获奖的概率为p0；为支援某大型活动，从其他社区调入c（c＞0）名一星志愿者，再随机抽取1名，记抽到的志愿者获奖的概率为p1，试估计p0与p1的大小．（结论不要求证明）【分析】（1）求出一星志愿者的获奖的频率即可．（2）求出X的可能值，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求得分布列并有求出期望．（3）求出p0，p1，作差比较大小即可．【解答】解：（1）抽取的300名志愿者中，一星志愿者有20名，因此估计本社区一星志愿者的获奖概率为20300（2）青少年组志愿者获奖的概率为5+15+20100成年组志愿者获奖的概率为15+15+20200X的所有可能值为0，1，2，3，P(X=0)=(1−2P(X=1)=2P(X=2)=2×2P(X=3)=2所以X的分布列为：X0123P2780920316140E(X)=0×27（3）抽取的300名志愿者中，获奖人数为90，则p调入c名一星志愿者后，获奖人数为90+c，志愿者总数为300+c，p1p1−p0=7c10(300+c)所以p1＞p0．【点评】本题考查离散型随机变量的均值（数学期望）及分布列，属于中档题．19．（14分）已知函数f（x）＝ln（ax）﹣x2（a∈R且a≠0）．（1）当a＝1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当a＝﹣1时，求证：f（x）≤x．（3）设ℎ(x)=f(x)x+x，求函数h【分析】（1）先求出导函数，再代入求出切线斜率，再点斜式得出切线方程；（2）应用已知条件构造函数，根据导函数正负得出单调性进而计算得出最值即可证明；（3）先根据导函数结合零点存在定理得出极值点，进而得出极值点，最后应用基本不等式得出导函数为负判断单调性即可．【解答】解：（1）由于a＝1，那么f（x）＝lnx﹣x2定义域为(0，+∞)，f′(x)=1因此y＝f（x）在点（1，﹣1）处的切线为：y+1＝﹣（x﹣1），即x+y＝0．（2）当a＝﹣1时，f（x）＝ln（﹣x）﹣x2定义域为（﹣∞，0），令函数g（x）＝f（x）﹣x＝ln（﹣x）﹣x2﹣x，那么导函数g′(x)=1x−2x−1所以x∈(−1，0)，g′(x)=1所以x∈(−∞，−1)，g′(x)=1因此g（x）max＝g（﹣1）＝ln1﹣1+1＝0，因此函数g（x）＝f（x）﹣x≤0，因此f（x）≤x；（3）由于函数ℎ(x)=f(x)导函数ℎ′(x)=aaxx−ln(ax)x2=1−ln(ax)当a＞0时，定义域为（0，+∞），函数t（x）＝1﹣ln（ax）单调递减，因此x∈(0，ea)，ℎ′(x)＞0，ℎ(x)因此函数h（x）无极小值，极大值为ℎ(e当a＜0时，定义域为（﹣∞，0），t（x）＝1﹣ln（ax）单调递增，所以x∈(ea，0)，ℎ′(x)＞0，ℎ(x)所以h（x）的极小值为ℎ(e综上，当a＞0时，h（x）的极大值为ℎ(e当a＜0时，h（x）的极小值为ℎ(e【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题．20．（14分）已知函数f(x)=x+aex，g（x（1）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与y＝g（x）平行，求实数a的值；（2）当a＝1时，记函数h（x）＝f（x）﹣g（x），求h（x）的零点个数及所有零点之和的值．【分析】（1）对函数f（x）求导，令其在x＝1处的导数值等于g（x）的斜率即可求出a的值．（2）先求出h（x）的解析式，然后求出其零点和所有零点之和．【解答】解：（1）对函数f（x）求导得f′(x)=e因为曲线f（x）在x＝1处的切线与g（x）＝x﹣1平行，所以f′(1)=1−1−a所以a＝﹣e；（2）当a＝1时，h（x）=x+1ex可得h（x）＝0，即ex=x+1x−1，设m（x）＝ex由题意可得只需考虑m（x）的零点，而m（0）＝2，即有零点不为0，设m（x）＝0，即ex=x+1由m（﹣x）＝e﹣x−1−x−1−x=e﹣可得﹣x也是零点，而x＞1时，m（x）＝ex﹣1−2x−1递增，在x＞1时，m（所以函数h（x）有两个零点，所有零点之和为0．【点评】本题考查导数的几何意义及函数的零点，属于中档题．21．（15分）定义n元点集Mn＝{Pi（xi，yi）|（x1，y1），（x2，y2），⋯，（xn，yn）}（n≥3）满足xi≥0，yi≥0，xi+yi≤2（i＝1，2，⋯，n）．若非空集合N⊆Mn，满足N中所有点的横坐标之和X（N）≤6，则称N满足性质P；若N中所有点的纵坐标之和Y（N）≤6，则称N满足性质Q．若集合Mn存在两个其非空子集A，B满足A∩B＝∅，A∪B＝Mn，且A，B之一满足性质P，另一个满足性质Q，则称Mn为一个n元均衡点集．（1）请写出一个3元均衡点集M3，并写出一组使得X（A）+Y（B）＝3时对应的子集A和B；（2）求证：对于任意一个3元均衡点集M3，都满足X（A）+Y（B）≤3；（3）求最大的正整数n，使得任意一个Mn都是n元均衡点集．【分析】（1）直接举例M3＝{（1，0），（0，0），（0，2）}，A＝{（1，0），（0，0）}，B＝{（0，2）}，再证明其符合各种性质即可；（2）分xi＝1，x1≤x2≤1，x3＞1，x1≤1，1＜x2≤x3和1＜x1≤x2≤x3讨论即可；（3）取12元点集，首先证明nmax≤11，再说明nmax≥11，其中第二类分x1+x2+⋯+x11≤6和x1+x2+⋯+x11＞6讨论即可．【解答】解：（1）M3＝{（1，0），（0，0），（0，2）}，得到的集合A与集合B分别为A＝{（1，0），（0，0）}，B＝{（0，2）}，∵1≥0，0≥0，2≥0均成立，∴满足xi≥0，yi≥0；∵1+0≤2，0+0≤2，0+2≤2，∴满足xi+yi≤2；∵A∩B＝∅，A∪B＝M3＝{（1，0），（0，0），（0，2）}，且1+0≤6，2≤6，∴得到一个满足条件的3元均衡点集可以为：M3＝{（1，0），（0，0），（0，2）}，使得X（A）+Y（B）＝3时对应的子集A和B分别为：A＝{（1，0），（0，0）}，B＝{（0，2）}．（2）证明：对于任意3元均衡点集M3＝{（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）}，设x1≤x2≤x3，且0≤xi，yi，xi+yi≤2（i＝1，2，3），下面分别取xi＝1