2024-2025学年北京八一学校高二(下)期中数学试卷含答案

2024-2025学年北京市海淀区八一学校高二（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（5分）下列函数中求导错误的是（）A．（ex）′＝ex B．(1C．（cosx）′＝﹣sinx D．（sinx）′＝cosx2．（5分）在等比数列{an}中，若a32=8a2且aA．32 B．16 C．8 D．43．（5分）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则{an}是（）A．公差为2的等差数列 B．公差为3的等差数列 C．公比为2的等比数列 D．公比为3的等比数列4．（5分）如图，曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线l过点（2，0），且f'（1）＝﹣2，则f（1）的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．35．（5分）已知a1＝1，nan+1＝（n+1）an，则数列{an}的通项公式a6＝（）A．3 B．4 C．5 D．66．（5分）设函数f（x）＝lnx﹣2x，则（）A．x=12为f（xB．x=12为f（xC．x＝2为f（x）的极大值点 D．x＝2为f（x）的极小值点7．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，an＝2n﹣17，则Sn取得最小值时，n的值为（）A．8 B．7 C．6 D．58．（5分）函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0 C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜09．（5分）一个小球作简谐振动，其运动方程为x(t)=10sin(πt−π3)，其中x（t）（单位：cm）是小球相对于平衡点的位移，t（单位：s）为运动时间，则小球在tA．5π B．﹣5π C．53π 10．（5分）从数字1，2，3，4中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为（）A．7 B．9 C．10 D．1311．（5分）在无穷等差数列{an}中，公差为d，则“存在m∈N*，使得a1+a2+a3＝am”是“a1＝kd（k∈N*）”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件12．（5分）若函数f（x）在区间A上，对∀a，b，c∈A，f（a），f（b），f（c）为一个三角形的三边长，则称函数f（x）为“三角形函数”．已知函数f（x）＝xlnx+m在区间[1e2，e]上是“三角形函数”，则实数A．(1e，eC．(1e，+∞)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。13．（5分）A63=14．（5分）若数列{an}满足a1=18，且an＝2an﹣1（n≥2），则数列a15．（5分）曲线f(x)=x在点（1，f（1））处的切线的斜率为16．（5分）从4名男生和3名女生中选出3人参加座谈会，至少有一个男生的选法有种．17．（5分）已知数列{an}是首项为16，公比为12的等比数列，{bn}是公差为2的等差数列．若集合A＝{n∈N*|an＞bn}中恰有3个元素，则符合题意的b1的一个取值为18．（5分）已知函数f(x)=ex−kx，x≥0，kx2−x+1，x＜0.若k＝0，则不等式f（x）＜2的解集为；若f三、解答题：本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。19．（10分）已知数列{an}满足a1+a3＝3，a2+a4＝9．（Ⅰ）若数列{an}是等差数列，求{an}的通项公式以及前n项和Sn；（Ⅱ）若数列{an}是等比数列，求{an}的通项公式．20．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣2ax2+a2x，a∈R．（Ⅰ）若x＝1为f（x）的极小值点，求实数a的值；（Ⅱ）当a＝3时，求f（x）在[0，4]上的最大值和最小值．21．（11分）设函数f（x）＝x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）过坐标原点O作曲线y＝f（x）的切线，求证：切点的横坐标为1．22．（15分）函数f（x）＝aex﹣sinx+2x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）当a≥0时，求函数f（x）在[0，1]上的最小值；（Ⅲ）直接写出a的一个值，使f（x）≤a恒成立，并证明．23．（12分）已知无穷数列{an}，给出以下定义：对于任意的n∈N*，都有an+an+2≥2an+1，则称数列{an}为“T数列”；特别地，对于任意的n∈N*，都有an+an+2＞2an+1，则称数列{an}为“严格T数列”．（Ⅰ）已知数列{an}，{bn}的通项公式为an＝2n﹣1，bn=−2n−1，试判断数列{an}，数列{b（Ⅱ）证明：数列{an}为“T数列”的充要条件是“对于任意的k，m，n∈N*，当k＜m＜n时，有（n﹣m）ak+（m﹣k）an≥（n﹣k）am”；（Ⅲ）已知数列{bn}为“严格T数列”，且对任意的n∈N*，bn∈Z，b1＝﹣9，b123＝﹣9，求数列{bn}的最小项的最大值．

2024-2025学年北京市海淀区八一学校高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）题号1234567891011答案BCACDAAABCB题号12答案D一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（5分）下列函数中求导错误的是（）A．（ex）′＝ex B．(1C．（cosx）′＝﹣sinx D．（sinx）′＝cosx【分析】根据已知条件，结合导数的运算法则，即可求解．【解答】解：（ex）′＝ex，A对；（1x）′=−1x（cosx）′＝﹣sinx，C对；（sinx）′＝cosx，D对．故选：B．【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题．2．（5分）在等比数列{an}中，若a32=8a2且aA．32 B．16 C．8 D．4【分析】设等比数列{an}的公比为q，利用a32=8a2可得（a1q2）2＝8a1q，进一步求出q值即可利用等比数列通项公式求出【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，由a32=8a2，得（a1q2）2＝8a又a1＝1，得q4＝8q，即q3＝8，解得q＝2，所以a4＝a1q3＝23＝8．故选：C．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于基础题．3．（5分）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则{an}是（）A．公差为2的等差数列 B．公差为3的等差数列 C．公比为2的等比数列 D．公比为3的等比数列【分析】利用an＝Sn﹣Sn﹣1可求得an＝2n﹣1，从而发现an+1﹣an＝2是一个常数，即{an}以2为公差的等差数列．【解答】解：由Sn＝n2，得Sn﹣1＝（n﹣1）2＝n2﹣2n+1（n≥2），所以an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1（n≥2），又当n＝1时a1＝S1＝1，满足上式，所以an＝2n﹣1（n∈N*），所以an+1﹣an＝2（n+1）﹣1﹣（2n﹣1）＝2，所以{an}以2为公差的等差数列，故选：A．【点评】本题考查数列前n项和作差法求数列的通项公式，涉及等差数列的定义，考查学生逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．4．（5分）如图，曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线l过点（2，0），且f'（1）＝﹣2，则f（1）的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【分析】利用已知条件求出切线方程，然后利用求解f（1）即可．【解答】解：曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线l过点（2，0），且f'（1）＝﹣2，可得切线方程：y＝﹣2（x﹣2），因为切点在曲线上也在切线上，所以f（1）＝﹣2（1﹣2）＝2．故选：C．【点评】本题考查曲线的切线方程的求法与应用，是基本知识的考查．5．（5分）已知a1＝1，nan+1＝（n+1）an，则数列{an}的通项公式a6＝（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由nan+1＝（n+1）an可得an+1an=n+1n，即a【解答】解：由nan+1＝（n+1）an，得an+1an=n+1所以a6=a6a5×a5a4故选：D．【点评】本题考查累加法，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于中档题．6．（5分）设函数f（x）＝lnx﹣2x，则（）A．x=12为f（xB．x=12为f（xC．x＝2为f（x）的极大值点 D．x＝2为f（x）的极小值点【分析】求一阶导数，找到导数为零的点（临界点）．求二阶导数，判断临界点处的二阶导数符号，若二阶导数小于零，则该点为极大值点，若二阶导数大于零，则该点为极小值点．【解答】解：函数f（x）＝lnx﹣2x的定义域为x＞0．一阶导数为：f′(x)=1令f'（x）＝0，解得：1x−2=0⇒x=1二阶导数为：f″(x)=−1x2在临界点x=根据极值的第二充分条件，x=12是极大值点．选项A：x=12为选项B：x=1选项C、D：x＝2不是临界点（f′(2)=1故选：A．【点评】本题考查利用导数求解函数的极值，属于中档题．7．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，an＝2n﹣17，则Sn取得最小值时，n的值为（）A．8 B．7 C．6 D．5【分析】根据题意，由等差数列的通项公式分析可得当1≤n≤8时，an＜0，当n≥9时，an＞0，进而分析可得答案．【解答】解：根据题意，等差数列{an}的通项公式为an＝2n﹣17，当1≤n≤8时，an＜0，当n≥9时，an＞0，故Sn取得最小值时，n的值为8．故选：A．【点评】本题考查等差数列的性质和应用，涉及等差数列的前n项和，属于基础题．8．（5分）函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0 C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0【分析】根据函数的图象和性质，利用排除法进行判断即可．【解答】解：f（0）＝d＞0，排除D，当x→+∞时，y→+∞，∴a＞0，排除C，函数的导数f′（x）＝3ax2+2bx+c，则f′（x）＝0有两个不同的正实根，则x1+x2=−2b3a＞0且x1x2=∴b＜0，c＞0，方法2：f′（x）＝3ax2+2bx+c，由图象知当x＜x1时函数递增，当x1＜x＜x2时函数递减，则f′（x）对应的图象开口向上，则a＞0，且x1+x2=−2b3a＞0且x1x2=∴b＜0，c＞0，方法3：f（0）＝d＞0，排除D，函数的导数f′（x）＝3ax2+2bx+c，则f′（0）＝c＞0，排除B，C，故选：A．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合函数的极值及f（0）的符号是解决本题的关键．9．（5分）一个小球作简谐振动，其运动方程为x(t)=10sin(πt−π3)，其中x（t）（单位：cm）是小球相对于平衡点的位移，t（单位：s）为运动时间，则小球在tA．5π B．﹣5π C．53π 【分析】代入t＝1到解析式求解即可．【解答】解：根据运动方程为x(t)=10sin(πt−πx′（t）＝10πcos（πt−π当t＝1时，x′（1）＝10πcos（π−π3）＝10πcos2π3故选：B．【点评】本题考查三角函数的求解，属于简单题．10．（5分）从数字1，2，3，4中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为（）A．7 B．9 C．10 D．13【分析】分情况讨论其中各位数字之和等于6的三位数，计算其可能的情况数目即可求出结论．【解答】解：从1，2，3，4中，随机抽取3个数字（允许重复），其中各位数字之和等于6的三位数可分为以下情形：①由1，1，4三个数字组成的三位数：114，141，411共3个；②由1，2，3三个数字组成的三位数：123，132，213，231，312，321共6个；③由2，2，2三个数字可以组成1个三位数，即222．∴共有3+6+1＝10个，故选：C．【点评】本题考查排列、组合的综合应用，涉及古典概型的计算，解题时需分类讨论，注意要按一定的顺序，做到不重不漏．11．（5分）在无穷等差数列{an}中，公差为d，则“存在m∈N*，使得a1+a2+a3＝am”是“a1＝kd（k∈N*）”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据a1+a2+a3＝am可得a1=m−42d，从而可检验充分性；若a1＝kd，令a1+a2+a3＝am，得3d（k+1）＝（k+m﹣1）d，则2k＝【解答】解：先检验充分性：由a1+a2+a3＝am，得3a1+3d＝a1+（m﹣1）d，即a1=m−42又a1＝kd，m∈N*，故存在m＝5、k=1再检验必要性：若a1＝kd，则a1+a2+a3＝3a1+3d＝3d（k+1），am＝a1+（m﹣1）d＝kd+（m﹣1）d＝（k+m﹣1）d，令a1+a2+a3＝am，得3d（k+1）＝（k+m﹣1）d，则2k＝m﹣4，易知取k＝1，m＝6满足题意，必要性成立，故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式，涉及充分、必要条件，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．12．（5分）若函数f（x）在区间A上，对∀a，b，c∈A，f（a），f（b），f（c）为一个三角形的三边长，则称函数f（x）为“三角形函数”．已知函数f（x）＝xlnx+m在区间[1e2，e]上是“三角形函数”，则实数A．(1e，eC．(1e，+∞)【分析】若f（x）为“三角形函数”．则在区间D上，函数的最大值M和最小值m应满足：M＜2m，利用导数法求出函数的最值，可得实数m的取值范围．【解答】解：若f（x）为“区域D上的三角形函数”．则在区间D上，函数的最大值M和最小值m应满足：M＜2m，∵函数f（x）＝xlnx+m在区间[1e2，f′（x）＝lnx+1，当x∈[1e2，1e）时，f′（x）＜0，函数f当x∈（1e，e]时，f′（x）＞0，函数f（x故当x=1e时，函数f（x）取最小值−又由f（e）＝e+m，f（1e2）=−故当x＝e时，函数f（x）取最大值e+m，∴0＜e+m＜2（−1e解得：m∈(e故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的最值，能正确理解f（x）为“三角形函数”的概念，是解答的关键．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。13．（5分）A63=【分析】根据排列数公式求解．【解答】解：A6故答案为：120．【点评】本题主要考查了排列数的计算，属于基础题．14．（5分）若数列{an}满足a1=18，且an＝2an﹣1（n≥2），则数列a【分析】根据题意可得{an}是以q＝2为公比的等比数列，从而利用a4＝a1q3进行求解即可．【解答】解：由an＝2an﹣1，得{an}是以q＝2为公比的等比数列，所以a4＝a1q3=18×故答案为：1．【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，考查学生基本的数学运算能力，属于基础题．15．（5分）曲线f(x)=x在点（1，f（1））处的切线的斜率为x﹣2y+1＝0【分析】先求出k＝f′（1）的值，得到切线的斜率，再求出切点坐标，最后根据点斜式求出直线方程即可．【解答】解：∵f(x)=x=x12，可得f∴k＝f′（1）=1而f（1）＝1，则切点为（1，1），∴切线方程为y﹣1=12（x﹣1），即x﹣2故答案为：x﹣2y+1＝0．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及导数的几何意义，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．16．（5分）从4名男生和3名女生中选出3人参加座谈会，至少有一个男生的选法有34种．【分析】由排列、组合及简单计数问题可得：至少有一个男生的选法有C7【解答】解：从4名男生和3名女生中选出3人参加座谈会，至少有一个男生的选法有C7故答案为：34．【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，属基础题．17．（5分）已知数列{an}是首项为16，公比为12的等比数列，{bn}是公差为2的等差数列．若集合A＝{n∈N*|an＞bn}中恰有3个元素，则符合题意的b1的一个取值为﹣1（答案不唯一）【分析】易得数列{an}逐项递减，可先确定集合A＝{n∈N*|an＞bn}中的3项再列式求b1的范围即可．【解答】解：易得数列{an}逐项递减，{bn}逐项递增，故可考虑a1此时只需a3即16×(12)故符合题意的b1的一个取值为﹣1（答案不唯一），故答案为：﹣1（答案不唯一）．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的综合，属于中档题．18．（5分）已知函数f(x)=ex−kx，x≥0，kx2−x+1，x＜0.若k＝0，则不等式f（x）＜2的解集为（﹣1，ln2）；若f（x【分析】由分段函数的解析式，解不等式求并集可得所求解集；对k讨论，结合二次方程和函数的导数，判断单调性和最值，可得所求取值范围．【解答】解：k＝0时，f（x）=ef（x）＜2等价为x≥0ex＜2解得0≤x＜ln2或﹣1＜x＜0，所以﹣1＜x＜ln2；由f（x）恰有两个零点等价为ex＝kx（x≥0）和kx2﹣x+1＝0（x＜0）的实根的个数的和为2．当k＝0时，ex＝kx（x≥0）的解的个数为0，kx2﹣x+1＝0（x＜0）的实根的个数为0，不符题意；当k＜0时，ex＝kx（x≥0）无解，kx2﹣x+1＝0（x＜0）的实根的个数为1，不符合题意；当k＞0时，kx2﹣x+1＝0（x＜0）没有实数解，则ex＝kx（x≥0）有两解，设g（x）=exx（x＞0），g′（x可得g（x）在（1，+∞）递增，在（0，1）递减，可得g（x）的最小值为g（1）＝e，当k＞e时，y＝g（x）与y＝k有两个交点．故答案为：（﹣1，ln2）；（e，+∞）．【点评】本题考查分段函数的运用：求不等式的解集和参数的范围，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。19．（10分）已知数列{an}满足a1+a3＝3，a2+a4＝9．（Ⅰ）若数列{an}是等差数列，求{an}的通项公式以及前n项和Sn；（Ⅱ）若数列{an}是等比数列，求{an}的通项公式．【分析】（I）结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解；（II）结合等比数列的通项公式即可求解．【解答】解：数列{an}满足a1+a3＝3，a2+a4＝9，（Ⅰ）若数列{an}是等差数列，则a1+a3＝2a1+2d＝3，a2+a4＝2a1+4d＝9，则d＝3，a1=−3所以an=−32+3（n﹣1）＝3n−92（Ⅱ）若数列{an}是等比数列，则a1解得，q＝3，a1=3所以an=3【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式，等差数列的求和公式的应用，属于基础题．20．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣2ax2+a2x，a∈R．（Ⅰ）若x＝1为f（x）的极小值点，求实数a的值；（Ⅱ）当a＝3时，求f（x）在[0，4]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）对f（x）求导，由f'（1）＝0，可得a的值，验证即可得结论；（Ⅱ）求出f（x）在[0，4]上的单调性，求出极值与端点值，比较即可求得最值．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）＝3x2﹣4ax+a2，因为x＝1为f（x）的极小值点，所以f'（1）＝0，即3﹣4a+a2＝0，即（a﹣1）（a﹣3）＝0，解得a＝1或a＝3，当a＝1时，f'（x）＝3x2﹣4x+1＝（3x﹣1）（x﹣1），令f′（x）＝0，解得x=13或当x∈(−∞，13)时，f'（x）＞0，f当x∈(13，1)时，f'（x）＜0，f当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以x＝1是极小值点，a＝1符合题意；当a＝3时，f'（x）＝3x2﹣12x+9＝3（x﹣1）（x﹣3），令f′（x）＝0，解得x＝1或x＝3，当x∈（﹣∞，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（1，3）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（3，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，此时x＝1是极大值点，不符合题意，舍去．综上，实数a的值为1．（Ⅱ）当a＝3时，f（x）＝x3﹣6x2+9x，由（Ⅰ）可知当x∈[0，1）时，f（x）单调递增；当x∈（1，3）时，f（x）单调递减；当x∈（3，4]时，f（x）单调递增，所以f（x）的极大值为f（1）＝4，极小值为f（3）＝0，又f（0）＝0，f（4）＝4，所以f（x）在[0，4]上的最大值为4，最小值为0．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，考查运算求解能力，属于中档题．21．（11分）设函数f（x）＝x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）过坐标原点O作曲线y＝f（x）的切线，求证：切点的横坐标为1．【分析】（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，即f′（x）≤0对任意x∈（0，1]恒成立，利用分离参数法可得最后结果；（Ⅱ）设切点为M（t，f（t）），对函数进行求导，根据导数的几何意义得k=2t+a−1t，根据切线过原点，可得斜率为k=f(t)t，两者相等化简可得t【解答】解：（Ⅰ）f′(x)=2x+a−1x，因为f（所以f′（x）≤0对任意x∈（0，1]恒成立，即a≤1x−2x对任意令g（x）=1x−2x，则a≤g（x）min，易知g所以g（x）min＝f（1）＝﹣1，所以a∈（﹣∞，﹣1]．（Ⅱ）证明：设切点为M（t，f（t）），f′(x)=2x+a−1x，所以切线的斜率又切线过原点，k=f(t)t，所以f(t)t=2t+a−1t，即t2+at﹣lnt所以t2﹣1+lnt＝0，存在性，t＝1满足方程t2﹣1+lnt＝0，所以t＝1是方程t2﹣1+lnt＝0的根唯一性，设φ（t）＝t2﹣1+lnt，则φ′(t)−2t+1所以q（t）在（0，+∞）上单调递增，且φ（1）＝0，所以方程t2﹣1+lnt＝0有唯一解t＝1．综上所述，过坐标原点O作曲线y＝f（x）的切线，则切点的横坐标为1．【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题．22．（15分）函数f（x）＝aex﹣sinx+2x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）当a≥0时，求函数f（x）在[0，1]上的最小值；（Ⅲ）直接写出a的一个值，使f（x）≤a恒成立，并证明．【分析】（Ⅰ）求出f（0）及f（x）的导函数，从而可得f′（0），利用点斜式方程求解即可；（Ⅱ）利用导数求出f（x）的单调性，即可求解最小值；（Ⅲ）取a＝﹣1，证明f（x）＝﹣ex﹣sinx+2x≤﹣1恒成立，令g（x）＝ex+sinx﹣2x﹣1，利用导数分别证得当x∈（0，+∞）和x∈（0，+∞）时，g（x）≥0即可．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）＝aex﹣sinx+2x，所以f（0）＝a且f′（x）＝aex﹣cosx+2，所以f′（0）＝a﹣1+2＝a+l，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程y﹣a＝（a+l）（x﹣0），即y＝（a+1）x+a．（Ⅱ）当a≥0，x∈[0，1]时，因为f′（x）＝aex﹣cosx+2≥0+2﹣cosx＞0，所以f（x）在[0，1]上单调递增，所以f（x）在[0，1]上的最小值为f（0）＝a．（Ⅲ）取a＝﹣1，以下证明f（x）＝﹣ex﹣sinx+2x≤﹣1恒成立，令g（x）＝ex+sinx﹣2x﹣1，即证g（x）≥0恒成立，（1）当x∈（﹣∞，0]时，有ex≤1，cosx∈[﹣1，1]，所以g′（x）＝ex+cosx﹣2≤0，所以g（x）在（﹣∞，0]上单调递减，所以g（x）≥g（0）＝0在（﹣∞，0]上恒成立；（2）当x∈（0，+∞）时，令G（x）＝g′（x）＝ex+cosx﹣2，因为ex＞1，sinx∈[﹣1，1]，所以G′（x）＝ex﹣sinx＞0，所以G（x）＝g′（x）＝ex+cosx﹣2在（0，+∞）上单调递增，所以g′（x）＞g′（0）＝0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以g（x）＞g（0）＝0在（0，+∞）上恒成立．综上，g（x）≥0恒成立，所以f（x）≤a恒成立．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查不等式恒成立的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题23．（12分）已知无穷数列{an}，给出以下定义：对于任意的n∈N*，都有an+an+2≥2an+1，则称数列{an}为“T数列”；特别地，对于任意的n∈N*，都有an+an+2＞2an+1，则称数列{an}为“严格T数列”．（Ⅰ）已知数列{an}，{bn}的通项公式为an＝2n﹣1，bn=−2n−1，试判断数列{an}，数列{b（Ⅱ）证明：数列{an}为“T数列”的充要条件是“对于任意的k，m，n∈N*，当k＜m＜n时，有（n﹣m）ak+（m﹣k）an≥（n﹣k）am”；（Ⅲ）已知数列{bn}为“严格T数列”，且对任意的n∈N*，bn∈Z，b1＝﹣9，b123＝﹣9，求数列{bn}的最小项的最大值．【分析】（I）根据数列an＝2n﹣1，bn（II）利用累加法，结合放缩法可得an﹣am≥（n﹣m）（am+1﹣am）am﹣ak≤（m﹣k）（am﹣am﹣1），即可求证必要性，取m＝k+1，n＝k+2即可求证充分性；（III）根据定义可