2024-2025学年北京大兴区高二(下)期中数学试卷含答案

2024-2025学年北京市大兴区高二（下）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）若limΔx→0f(1+Δx)−f(1)ΔxA．﹣1 B．0 C．1 D．22．（4分）已知等比数列{an}满足a1＝1，a5＝4，则a2a3a4＝（）A．﹣8 B．﹣16 C．8 D．163．（4分）已知数列{an}满足a1＝1，an＝an﹣1+n（n≥2），则a4＝（）A．5 B．10 C．11 D．124．（4分）若函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则f（x）的极小值点是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．25．（4分）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则{an}是（）A．公差为2的等差数列 B．公差为3的等差数列 C．公比为2的等比数列 D．公比为3的等比数列6．（4分）设{an}为等比数列，则“存在i＞j＞k，使得ai＞aj＞ak”是“{an}为递增数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．（4分）设f（x）＝x3﹣3x+a有唯一零点，则a的取值范围是（）A．（﹣2，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）8．（4分）若a1，a2，a3，a4，a5是等差数列，1和3为此等差数列中的两项，则a5的值不可能是（）A．4 B．0 C．﹣3 D．﹣69．（4分）设曲线f（x）＝x2﹣1（x＞0）在点（t，f（t））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S（t），则当S（t）取得最小值时，t的值为（）A．33 B．12 C．210．（4分）在下列不等式中，当k≥1时，关于x的不等式对任意的x∈（0，+∞）不能恒成立的是（）A．kx＞sinx B．kx＞x﹣x3 C．kx＞1﹣e﹣x D．kx＞x﹣1ln（ex）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．（5分）数列{an}满足an+2＝an+1+an，且a1＝a2＝1，则a5＝．12．（5分）将原油精炼为汽油、柴油等各种产品，需要对原油进行冷却和加热．已知在第xh时，原油的温度（单位：℃）为f（x）＝x2﹣7x+15（0≤x≤8），则第3h时，原油温度的瞬时变化率为℃/h，此原油温度瞬时变化率的意义是．13．（5分）已知a1，a2，a3是公比不为1的等比数列，将a1，a2，a3调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组a1，a2，a3的值依次为．14．（5分）已知函数f（x）=x−aex（a∈R）．当a＝0时，f′（x）＝；若曲线y＝f（x）有两条过坐标原点的切线，则a15．（5分）已知函数f（x）=x−1，0＜x≤1，x−1，x＞1.数列{an}满足a1＞0，当n≥2时，an＝f（①若a1=2，则a2＝a5②若a3＝2，则a1可能有4个不同的取值；③对于任意的a1＞2，不一定存在正整数m，使得∀n∈N*，an+m＝an；④对于任意的正整数m≥2，一定存在实数a1＞1，使得∀n∈N*，an+m＝an．其中所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（13分）已知函数f（x）＝x3+3x2．（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最值；（Ⅱ）在直角坐标系内，画出f（x）的大致图象；（Ⅲ）直接写出一个a值，使f（x）在区间（a，a+5）上存在最大值．17．（14分）已知等差数列{an}满足a2+a4＝10，a4﹣a3＝﹣2．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn的最大值；（Ⅲ）若等比数列{bn}满足b2＝a4，b3＝a6，问：{bn}是否存在最大值与最小值？说明理由．18．（14分）已知无穷数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an+1，令bn＝an+1．（Ⅰ）求b1，b2的值；（Ⅱ）证明：数列{bn}是等比数列，写出数列{bn}的通项公式；（Ⅲ）记数列{an}的前n项和为Sn，求Sn，并判断数列：S1，S2，S3，…，Sn，…的单调性．19．（14分）已知函数f（x）＝（x2﹣a）ex．（Ⅰ）若f′（0）＝1，求a的值；（Ⅱ）设a∈R，讨论函数f（x）的极值点个数；（Ⅲ）若f（x）在区间（1，2）上存在极值，求实数a的取值范围．20．（15分）已知函数f（x）＝lnx．（Ⅰ）设曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线为l．（i）求切线l的方程；（ii）证明：除切点外，曲线y＝f（x）在切线l的下方；（Ⅱ）设m＞0，令函数g（x）=f(x)−f(m)x−m，求函数g（21．（15分）给定项数为n（n≥3）的数列{xn}，若数列{xn}满足|xm+1﹣xm|≤|xm+1﹣xm+2|（m＝1，2，…，n﹣2），则称数列{xn}具有性质P，定义ak＝|xk+1﹣xk|（k＝1，2，…，n﹣1）．（Ⅰ）判断数列1，2，4，6是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）若数列{xn}具有性质P，求证：{xn}为等差数列的必要不充分条件是{an}为常数列；（Ⅲ）已知数列{xn}共有n项，各项互不相等，对于∀i≤n（i∈N*），xi∈{1，2，3，…，n}，若{xn}具有性质P，记Sn﹣1＝a1+a2+…+an﹣1，且Sn﹣1＝n+2，求n的所有取值．

2024-2025学年北京市大兴区高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DCBDABBDAD一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）若limΔx→0f(1+Δx)−f(1)ΔxA．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】利用导数的概念求解．【解答】解：因为limΔx→0f(1+Δx)−f(1)所以f′（1）＝2．故选：D．【点评】本题主要考查了导数的概念，属于基础题．2．（4分）已知等比数列{an}满足a1＝1，a5＝4，则a2a3a4＝（）A．﹣8 B．﹣16 C．8 D．16【分析】由已知结合等比数列的性质即可求解．【解答】解：等比数列{an}满足a1＝1，a5＝4，则q4＝4，即q2＝2，a2a3a4=a故选：C．【点评】本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于基础题．3．（4分）已知数列{an}满足a1＝1，an＝an﹣1+n（n≥2），则a4＝（）A．5 B．10 C．11 D．12【分析】直接代入求解即可．【解答】解：因为数列{an}满足a1＝1，an＝an﹣1+n（n≥2），则a2＝a1+2＝3，a3＝a2+3＝6，a4＝a3+4＝10．故选：B．【点评】本题主要考查数列递推关系式的应用，属于基础题．4．（4分）若函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则f（x）的极小值点是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】结合导函数图象判断即可．【解答】解：根据图象易知：当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以x＝2为f（x）的极小值点．故选：D．【点评】本题考查极小值点的性质，属于简单题．5．（4分）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则{an}是（）A．公差为2的等差数列 B．公差为3的等差数列 C．公比为2的等比数列 D．公比为3的等比数列【分析】利用an＝Sn﹣Sn﹣1可求得an＝2n﹣1，从而发现an+1﹣an＝2是一个常数，即{an}以2为公差的等差数列．【解答】解：由Sn＝n2，得Sn﹣1＝（n﹣1）2＝n2﹣2n+1（n≥2），所以an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1（n≥2），又当n＝1时a1＝S1＝1，满足上式，所以an＝2n﹣1（n∈N*），所以an+1﹣an＝2（n+1）﹣1﹣（2n﹣1）＝2，所以{an}以2为公差的等差数列，故选：A．【点评】本题考查数列前n项和作差法求数列的通项公式，涉及等差数列的定义，考查学生逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．6．（4分）设{an}为等比数列，则“存在i＞j＞k，使得ai＞aj＞ak”是“{an}为递增数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据等比数列的性质以及递增数列的定义可进行判断．【解答】解：若an＝（﹣2）n，则存在i＝6，j＝4，k＝2，满足“存在i＞j＞k，使得ai＞aj＞ak”，但{an}为摆动数列，不为递增数列，故充分性不成立；若{an}为递增数列，则由递增数列的定义可知，一定满足“存在i＞j＞k，使得ai＞aj＞ak”，所以必要性成立，所以“存在i＞j＞k，使得ai＞aj＞ak”是“{an}为递增数列”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查等比数列的性质以及充分必要条件的判断，属于基础题．7．（4分）设f（x）＝x3﹣3x+a有唯一零点，则a的取值范围是（）A．（﹣2，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）【分析】求导数，令导数为零，求出函数的极大值和极小值，要使函数f（x）有唯一的零点，只需函数的极大值与极小值同号即可，列出解不等式组可求得结果．【解答】解：由f′（x）＝3x2﹣3＝0，解得x＝1或x＝﹣1，当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣1，1）上单调递减；当x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，﹣1）、（1，+∞）上单调递增，故当x＝1时，f（x）取极小值﹣2+a，当x＝﹣1时，f（x）取极大值2+a，又f（x）＝x3﹣3x+a有唯一的零点，所以−2+a＞02+a＞0或−2+a＜0解得a＞2或a＜﹣2；所以实数a的取值范围是：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．故选：B．【点评】本题主要考查了函数零点的判定方法，以及利用导数研究函数的极值和单调性问题，是基础题目．8．（4分）若a1，a2，a3，a4，a5是等差数列，1和3为此等差数列中的两项，则a5的值不可能是（）A．4 B．0 C．﹣3 D．﹣6【分析】根据等差数列的定义考虑极端情况确定a5的范围，选出不可能的值．【解答】解：当a1＝3，a2＝1时，符合条件的等差数列公差最小，则此时a5＝﹣5，为a5能取到的最小值，故a5不可能为﹣6．故选：D．【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，属于中档题．9．（4分）设曲线f（x）＝x2﹣1（x＞0）在点（t，f（t））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S（t），则当S（t）取得最小值时，t的值为（）A．33 B．12 C．2【分析】根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，根据函数模型，利用导数即可求解．【解答】解：因为f（x）＝x2﹣1（x＞0），所以f′（x）＝2x，所以曲线f（x）＝x2﹣1（x＞0）在点（t，f（t））处的切线为：y﹣（t2﹣1）＝2t（x﹣t），即2tx﹣y﹣t2﹣1＝0，t＞0，令x＝0，可得y＝﹣t2﹣1；令y＝0，可得x=1所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为S（t）=12×(所以S（t）=14(所以S′（t）=(t2+1)(所以当t∈（0，33）时，S′（t）＜0，S（t当t∈（33，+∞）时，S′（t）＞0，S（t所以当t=33时，S（故选：A．【点评】本题考查函数的切线问题的求解，函数思想，属中档题．10．（4分）在下列不等式中，当k≥1时，关于x的不等式对任意的x∈（0，+∞）不能恒成立的是（）A．kx＞sinx B．kx＞x﹣x3 C．kx＞1﹣e﹣x D．kx＞x﹣1ln（ex）【分析】对各选项不等式进行移项构造函数，利用导数判断其单调性，从而得到是否符合题意．【解答】解：对于A，设f（x）＝kx﹣sinx，x∈（0，+∞），则f'（x）＝k﹣sinx，因为k≥1，所以f'（x）＝k﹣sinx≥0恒成立，则f（x）在x∈（0，+∞）上递增，所以f（x）＞f（0）＝0，故kx＞sinx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，排除A；对于B，当k＝1时，x﹣（x﹣x3）＝x3＞0对任意的x∈（0，+∞）恒成立，即x＞x﹣x3，所以当k≥1时，kx≥x＞x﹣x3对任意的x∈（0，+∞）恒成立，排除B；对于C，当k≥1时，设g（x）＝kx﹣1+e﹣x，x∈（0，+∞），g'（x）＝k﹣e﹣x在x∈（0，+∞）上递增，所以g'（x）＞g'（0）＝k﹣1≥0恒成立，则g（x）在x∈（0，+∞）上递增，所以g（x）＞g（0）＝0，即kx＞1﹣e﹣x对任意的x∈（0，+∞）恒成立，排除C；对于D，k＝1时，设h（x）＝x2﹣ln（ex）＝x2﹣lnx﹣1，x∈（0，+∞），h'（x）＝2x−1x=2当x∈（0，22）时，h'（x）＜0，h（x）递减，x∈（22，+∞）时，h'（x）＞0，h（h（22）=12−ln22−1=−12+12ln即x2＞ln（ex）任意的x∈（0，+∞）不恒成立，即x＞x﹣1ln（ex）对任意的x∈（0，+∞）不恒成立．故选：D．【点评】本题主要考查导数的综合应用和不等式恒成立问题，属于中档题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．（5分）数列{an}满足an+2＝an+1+an，且a1＝a2＝1，则a5＝5．【分析】直接代入求解即可．【解答】解：数列{an}满足an+2＝an+1+an，且a1＝a2＝1，则a3＝a2+a1＝2，a4＝a3+a2＝3，a5＝a4+a3＝5．故答案为：5．【点评】本题主要考查数列递推关系式的应用，属于基础题．12．（5分）将原油精炼为汽油、柴油等各种产品，需要对原油进行冷却和加热．已知在第xh时，原油的温度（单位：℃）为f（x）＝x2﹣7x+15（0≤x≤8），则第3h时，原油温度的瞬时变化率为﹣1℃/h，此原油温度瞬时变化率的意义是第3h附近，原油温度大约以1℃/h的速率下降．【分析】由已知结合瞬时变化率的定义即可求解．【解答】解：因为f（x）＝x2﹣7x+15，所以f′（x）＝2x﹣7，则f′（3）＝﹣1，即第3h附近，原油温度大约以1℃/h的速率下降．故答案为：﹣1；第3h附近，原油温度大约以1℃/h的速率下降．【点评】本题主要考查了瞬时变化率的求解，属于基础题．13．（5分）已知a1，a2，a3是公比不为1的等比数列，将a1，a2，a3调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组a1，a2，a3的值依次为1，﹣2，4（答案不唯一）．【分析】由已知结合等差数列与等比数列的性质即可求解．【解答】解：因为a1，a2，a3是公比不为1的等比数列，设这三个数分别为a，aq，aq2，将a1，a2，a3调整顺序后可构成一个等差数列，考虑其中一种情况，比如：aq，a，aq2成等差数列，则2a＝aq+aq2，因为q≠1，解得q＝﹣2，则符合题意的一组数据为1，﹣2，4（答案不唯一）．故答案为：1，﹣2，4（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列的综合应用，属于基础题．14．（5分）已知函数f（x）=x−aex（a∈R）．当a＝0时，f′（x）＝1−xex；若曲线y＝f（x【分析】根据导数的几何意义，一元二次方程有解建立不等式，即可求解．【解答】解：因为函数f（x）=x−aex（a所以f′（x）=a+1−x当a＝0时，f′（x）=1−x设过（0，0）的切线切曲线y＝f（x）于点（t，t−ae则切线方程为y−t−aet=a+1−t所以−t−aet所以t2﹣at﹣a＝0，又根据题意可知该方程有2解，所以Δ＝a2+4a＞0，解得a∈（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．故答案为：1−xe【点评】本题考查导数的几何意义的应用，函数的切线问题的求解，属中档题．15．（5分）已知函数f（x）=x−1，0＜x≤1，x−1，x＞1.数列{an}满足a1＞0，当n≥2时，an＝f（①若a1=2，则a2＝a5②若a3＝2，则a1可能有4个不同的取值；③对于任意的a1＞2，不一定存在正整数m，使得∀n∈N*，an+m＝an；④对于任意的正整数m≥2，一定存在实数a1＞1，使得∀n∈N*，an+m＝an．其中所有正确结论的序号是①③④．【分析】由已知得an+1=1an，0＜an≤1an若a1=2求得a2，a3，a4当a1＞2时，计算可判断③；a1=k+a，k∈N∗，0＜a≤1，进而可得a=【解答】解：①若a1=2，则a2=f(a1)=2−1，a3＝f（a2）=12−1所以a2＝a5，①正确；②f(x)=1x，0＜x≤1x−1，x＞1，所以a当a2＞l时，a2﹣1＝a3＝2，解得a2＝3．当a1＝m＞1时，则a1﹣1＝a2＝3，解得a1＝4，当a1＝m＜1时，则1a1=当a2＜l时，1a2=a3=2，解得a2=12当a1＝m＜1时，则1a1=a综上可得：m可以取3个不同的值：4，13，12．因此③当a1＝3时，a2＝a1﹣1＝2，a3＝a2﹣1＝1，a4=1所以不存在正整数m，an+m＝an（n∈N*），故③正确．④先考虑数列{an}的周期性，对于a1＝k+a，k∈N*，0＜a≤1，则a2＝a1﹣1＝k﹣1+a，a3＝a2﹣1＝k﹣2+a，…，ak+1＝a，ak+2要使{an}是周期数列，则有1a=k+a，解得a=从而存在a1＝k+a，使得数列{an}是周期数列，周期为k+1，从而要使周期为T，只需T＝k+1，即k＝T﹣1即可，对于任意的正整数m≥2，一定存在实数a1＞1，使得∀n∈N*，an+m＝an，故④正确．故答案为：①③④．【点评】本题考查数列与函数的综合应用，属于中档题．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（13分）已知函数f（x）＝x3+3x2．（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最值；（Ⅱ）在直角坐标系内，画出f（x）的大致图象；（Ⅲ）直接写出一个a值，使f（x）在区间（a，a+5）上存在最大值．【分析】（Ⅰ）先对函数求导，结合导数与单调性最值关系即可求解；（Ⅱ）结合函数的性质即可求解；（Ⅲ）结合函数最值存在条件即可求解．【解答】解：（I）f′（x）＝3x2+6x＝3x（x+2），因为﹣2≤x≤1，当﹣2≤x≤0时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故x＝0时，函数取得最小值f（0）＝0，因为f（﹣2）＝4，f（1）＝4，故函数的最大值为4，最小值为0；（Ⅱ）当x→+∞时，f（x）→+∞，当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，f（x）的大致图象如图所示：（Ⅲ）当a＜﹣2＜a+5，即﹣7＜a＜﹣2时，f（x）在区间（a，a+5）存在最大值，故符合题意的一个a为﹣5（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了导数与单调性及最值关系的应用，属于基础题．17．（14分）已知等差数列{an}满足a2+a4＝10，a4﹣a3＝﹣2．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn的最大值；（Ⅲ）若等比数列{bn}满足b2＝a4，b3＝a6，问：{bn}是否存在最大值与最小值？说明理由．【分析】（Ⅰ）由等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求；（Ⅱ）由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，可得所求；（Ⅲ）由等比数列的通项公式，解方程求得公比，可得bn；由数列的单调性，可判断是否存在最值．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{an}满足a2+a4＝10，a4﹣a3＝﹣2，设公差为d，则2a1+4d＝10，d＝﹣2，解得a1＝9，d＝﹣2，即有an＝9﹣2（n﹣1）＝11﹣2n；（Ⅱ）数列{an}的前n项和Sn=12n（9+11﹣2n）＝﹣n2+10n＝﹣（n﹣5）可得n＝5时，Sn取得最大值25；（Ⅲ）若等比数列{bn}满足b2＝a4，b3＝a6，设公比为q，可得b2＝3，b3＝﹣1，即有q=−1bn＝3×（−13）n﹣2＝27×（−1当n为奇数时，bn＜0，且bn＝﹣27×13n递增，可得当n为偶数时，bn＞0，且bn＝27×13n递减，可得则{bn}存在最大值3与最小值﹣9．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式与求和公式，以及数列的和的最值、数列的单调性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．18．（14分）已知无穷数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an+1，令bn＝an+1．（Ⅰ）求b1，b2的值；（Ⅱ）证明：数列{bn}是等比数列，写出数列{bn}的通项公式；（Ⅲ）记数列{an}的前n项和为Sn，求Sn，并判断数列：S1，S2，S3，…，Sn，…的单调性．【分析】（Ⅰ）由数列的递推式，可令n＝1，2，可得所求值；（Ⅱ）由等比数列的定义和通项公式，可得所求；（Ⅲ）由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，以及数列的单调性，计算可得结论．【解答】解：（Ⅰ）无穷数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an+1，令bn＝an+1，可得b1＝a1+1＝2，b2＝a2+1＝2+1+1＝4；（Ⅱ）证明：由an+1＝2an+1，可得an+1+1＝2（an+1），即bn+1＝2bn，则数列{bn}是首项和公比均为2的等比数列，则数列{bn}的通项公式为bn＝2n；（Ⅲ）记数列{an}的前n项和为Sn，即有Sn＝（2﹣1）+（4﹣1）+...+（2n﹣1）＝（2+4+...+2n）﹣n=2(1−2n)1−2−n由Sn+1﹣Sn＝2n+2﹣2﹣（n+1）﹣2n+1+2+n＝2n+1﹣1＞0，即Sn+1＞Sn，可得数列{Sn}为递增数列．【点评】本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式和求和公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．19．（14分）已知函数f（x）＝（x2﹣a）ex．（Ⅰ）若f′（0）＝1，求a的值；（Ⅱ）设a∈R，讨论函数f（x）的极值点个数；（Ⅲ）若f（x）在区间（1，2）上存在极值，求实数a的取值范围．【分析】（I）通过求导并代入x＝0，建立方程求解a的值；（Ⅱ）分析导数f'（x）＝0的解的个数，结合二次方程的判别式及根的分布，确定极值点的个数；（Ⅲ）将问题转化为方程x2+2x﹣a＝0在区间（1，2）内有解，通过求函数g（x）＝x2+2x在区间（1，2）的值域确定a的范围．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）＝（x2﹣a）ex，得f'（x）＝（x2+2x﹣a）ex.因为f'（0）＝1，所以a＝﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x）＝（x2+2x﹣a）ex，令f'（x）＝（x2+2x﹣a）ex＝0，由ex＞0，解得x2+2x﹣a＝0．①当a≤﹣1时，即Δ＝4+4a≤0，此时x2+2x﹣a≥0，则f'（x）≥0，所以f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，故没有极值点．②当a＞﹣1时，即Δ＝4+4a＞0，x2+2x﹣a＝0，有两个不等的实根x1所以在(−∞，−1+1+a)和(−1+1+a，+∞)上，f'（x）＞0，在(−1−1+a，﹣1+1+a)上，f'（x）＜0，f所以x1=−1−1+a是f（x）的极大值点，x2=−1+综上，当a＜﹣1时，f（x）没有极值点；当a≥﹣1时，f（x）有2个极值点．（Ⅲ）若f（x）在区间（1，2）上存在极值，由（Ⅱ）知，需满足1＜−1+1+a＜2，解得3＜a＜8，所以【点评】本题考查利用导数求解函数的极值，属于中档题．20．（15分）已知函数f（x）＝lnx．（Ⅰ）设曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线为l．（i）求切线l的方程；（ii）证明：除切点外，曲线y＝f（x）在切线l的下方；（Ⅱ）设m＞0，令函数g（x）=f(x)−f(m)x−m，求函数g（【分析】（Ⅰ）（i）对f（x）求导，求出f（1）和f'（1），再由点斜式方程写出切线方程；（ii）等价于要证lnx≤x﹣1在（0，+∞）上恒成立，当且仅当x＝1时取等号，设h（x）＝x﹣lnx﹣1，求导，分析单调性，可证得；（Ⅱ）对g（x）求导，对决定g'（x）符号的部分进行求导，分析单调性和取值，得到g'（x）的符号情况，从而得到g（x）的单调性．【解答】解：（Ⅰ）（i）由已知，f（x）＝lnx，f'（x）=1所以f（1）＝0，f'（1）＝1，则切线方程为y﹣0＝x﹣1，即x﹣y﹣1＝0；（ii）证明：等价于要证lnx≤x﹣1在（0，+∞）上恒成立，当且仅当x＝1时取等号，设h（x）＝x﹣lnx﹣1，则h'（x）＝1−1x∈（0，1）时，h'（x）＜0，h（x）递减，x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）递增，所以h（x）min＝h（1）＝0，故x﹣lnx﹣1≥0恒成立当且仅当x＝