2024-2025学年北京广渠门中学高二(下)期中数学试卷含答案

2024-2025学年北京市东城区广渠门中学高二（下）期中数学试卷一、选择题（共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．在（a+b）n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n＝（）A．8 B．7 C．6 D．52．已知函数f(x)=x2+A．1 B．12 C．2 3．五声音阶（汉族古代音律）是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为宫，商，角，徵，羽．若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两音节不相邻，可排成不同的音序的种数为（）A．12种 B．48种 C．72种 D．120种4．已知f(x)=cosxsinx，则A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣25．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为2，方差为12，则另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5A．2，12 B．2，1 C．4，32 6．已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为（）A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.97．已知函数f（x）＝x2﹣9lnx+3x，则“m∈(1，52)”是“f（x）在其定义域内的子区间（mA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知函数y＝f（x）的定义域为R，其导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R（x1≠x2），下列结论正确的是（）A．f（x）＜0 B．f（x）是增函数 C．f(xD．f(9．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数f（x）在闭区间[a，b]上的图象连续不间断，在开区间（a，b）内的导数为f′（x），那么在区间（a，b）内至少存在一点c，使得f（b）﹣f（a）＝f′（c）（b﹣a）成立，其中c叫做f（x）在[a，b]上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数f(x)=xA．3 B．2 C．1 D．010．已知函数f（x）＝ex﹣3，g（x）=12+lnx2，若f（m）＝g（n）成立，则A．1﹣ln2 B．ln2 C．2ln2 D．ln2﹣1二、填空题（共25分）11．(x2+12．从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为．（用数字作答）13．某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.5，乘轮船迟到的概率为0.2，乘飞机不会迟到，则这个人迟到的概率为．14．函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为．15．已知f（x）＝ax﹣eax，a∈R，则下列说法正确的有．①f（x）的值域为R；②a≠0时，f（x）恒有极值点；③g(x)=f(x)−kx(k≠0)恒有零点；④对于x∈R，f（x）≤（1﹣e三、解答题（共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16．已知函数f(x)=1（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在区间（﹣1，m]上的取值范围是[−13，1]17．袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．（1）若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为X，求X的分布列；（2）若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布列、期望和方差．18．周末李梦提出和父亲、母亲、弟弟进行羽毛球比赛，李梦与他们三人各进行一场比赛，共进行三场比赛，而且三场比赛相互独立．根据李梦最近分别与父亲、母亲、弟弟比赛的情况，得到如下统计表：父亲母亲弟弟比赛的次数506040李梦获胜的次数103032以上表中的频率作为概率，求解下列问题．（Ⅰ）如果按照第一场与父亲比赛、第二场与母亲比赛、第三场与弟弟比赛的顺序进行比赛．（i）求李梦连胜三场的概率；（ii）如果李梦胜一场得1分，负一场得0分，设李梦的得分为X，求X的分布列与期望；（Ⅱ）记“与父亲、母亲、弟弟三场比赛中李梦连胜二场”的概率为p，此概率p与父亲、母亲、弟弟出场的顺序是否有关？如果有关，什么样的出场顺序使概率p最大（不必计算）？如果无关，请给出简要说明．19．已知椭圆C：x2a2+y22=1(a＞2)的离心率为22，左、右顶点分别为A，B，点M是椭圆C（Ⅰ）若点P在椭圆C的内部，求直线AM的斜率的取值范围；（Ⅱ）设椭圆C的右焦点为F，点Q在y轴上，且AQ∥BM，求证：∠PFQ为定值．20．已知函数f（x）＝x﹣alnx﹣1（a∈R）．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，0）处的切线为x轴，求a的值；（Ⅱ）讨论f（x）在区间（1，+∞）内的极值点个数；（Ⅲ）若f（x）在区间（1，+∞）内有零点t，求证：t＜a2．21．在n×n（n≥2）个实数组成的n行n列的数表中，aij表示第i行第j列的数．记ri＝ai1+ai2+⋯+ain（1≤i≤n），cj＝a1j+a2j+⋯+anj（1≤j≤n）．若aij∈{﹣1，0，1}（1≤i，j≤n），且r1，r2，⋯，rn，c1，c2，⋯，cn两两不等，则称此表为“n阶H表”．记Hn＝{r1，r2，⋯，rn，c1，c2，⋯，cn}．（1）请写出一个“2阶H表”；（2）对任意一个“n阶H表”，若整数λ∈[﹣n，n]，且λ∉Hn，求证：λ为偶数；（3）是否存在“5阶H表”？若存在，请写出一个“5阶H表”；若不存在，请说明理由．2024-2025学年北京市东城区广渠门中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CACDDCADCA一、选择题（共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．在（a+b）n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n＝（）A．8 B．7 C．6 D．5【分析】根据二项式系数的性质，方程思想，即可求解．【解答】解：∵（a+b）n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，∴n2=3，∴故选：C．【点评】本题考查二项式系数的性质，方程思想，属基础题．2．已知函数f(x)=x2+A．1 B．12 C．2 【分析】根据题意，结合导数的运算法则和导数的定义，即可求解．【解答】解：limΔx→0f(1+Δx)−f(1)又由f′(x)=2x−1x2故选：A．【点评】本题主要考查极限及其运算，属于基础题．3．五声音阶（汉族古代音律）是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为宫，商，角，徵，羽．若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两音节不相邻，可排成不同的音序的种数为（）A．12种 B．48种 C．72种 D．120种【分析】先排其它三个，然后在空档插入宫、羽两音节即可得．【解答】解：先排其它三个，然后在空档插入宫、羽两音节，方法数为A3故选：C．【点评】本题考查排列组合相关知识，属于基础题．4．已知f(x)=cosxsinx，则A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【分析】求导得f′(x)=−1sin【解答】解：f′(x)=−si所以f′(π故选：D．【点评】本题考查了基本初等函数和商的导数的求导公式，是基础题．5．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为2，方差为12，则另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5A．2，12 B．2，1 C．4，32 【分析】根据期望和方差的性质求解即可．【解答】解：设第一组数据为变量X，第二组数据为变量Y，则Y＝3X﹣2．因为E（X）＝2，D（X）=12，所以E（Y）＝3×2﹣2＝4，D（X）＝32•D（X）故选：D．【点评】本题主要考查期望和方差的性质，属于基础题．6．已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为（）A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9【分析】由题意可知P（A）＝0.5，P（AB）＝0.4，利用条件概率公式可求得P（B丨A）的值．【解答】解：设第一个路口遇到红灯的事件为A，第二个路口遇到红灯的事件为B，则P（A）＝0.5，P（AB）＝0.4，则P（B丨A）=P(AB)故选：C．【点评】本题考查条件概率公式P（B丨A）=P(AB)7．已知函数f（x）＝x2﹣9lnx+3x，则“m∈(1，52)”是“f（x）在其定义域内的子区间（mA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】由已知假设函数f（x）＝x2﹣9lnx+3x在区间（m﹣1，m+1）上不单调，对函数f（x）求导，则令f′（x）＝0，得x=32或x＝﹣3（舍去），则0≤m−1＜3【解答】解：假设函数f（x）＝x2﹣9lnx+3x在其定义域（0，+∞）内的子区间（m﹣1，m+1）上不单调，根据导函数f′(x)=2x−9x+3=2x因此0≤m−1＜3232＜m+1，解得1≤m＜因此“m∈(1，52)”是“f（x）在其定义域内的子区间（m故选：A．【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题．8．已知函数y＝f（x）的定义域为R，其导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R（x1≠x2），下列结论正确的是（）A．f（x）＜0 B．f（x）是增函数 C．f(xD．f(【分析】根据导函数图象的特征判断原函数的单调性和凹凸性，可得f（x）的大致图象，即可逐一判断各选项．【解答】解：由导函数的图象可知，恒有f′（x）＜0，且其绝对值越来越小，因此过f（x）函数图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角，即其图象下凸，且函数f（x）是减函数，故B错误；但无法判断f（x）的函数值符号，故A错误；对于C，D，如图，设直线x＝x1，x＝x2分别与f（x）的图象交于点M，N，连接MN，设直线x=x1+x22交线段MN于点A，交函数则yA由图可知yA＞yB，即f(x1)+f(x2故选：D．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，属于基础题．9．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数f（x）在闭区间[a，b]上的图象连续不间断，在开区间（a，b）内的导数为f′（x），那么在区间（a，b）内至少存在一点c，使得f（b）﹣f（a）＝f′（c）（b﹣a）成立，其中c叫做f（x）在[a，b]上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数f(x)=xA．3 B．2 C．1 D．0【分析】根据“拉格朗日中值点”得定义，转化为f′(c)=2c−3【解答】解：导函数f′(x)=2x−3设c是f（x）在[1，4]上的“拉格朗日中值点”，那么f（4）﹣f（1）＝f′（c）（4﹣3），即f′(c)=2c−3令t=c12∈[1，2]，那么求函数g（t）＝4tt∈[1，2]时，导函数g′（t）＝12t2﹣8＞0，因此函数g（t）在[1，2]上单调递增，又g（2）＝13＞0，g（1）＝﹣7＜0，因此函数g（t）在[1，2]上只有一个零点，即函数f(x)=x故选：C．【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题．10．已知函数f（x）＝ex﹣3，g（x）=12+lnx2，若f（m）＝g（n）成立，则A．1﹣ln2 B．ln2 C．2ln2 D．ln2﹣1【分析】根据f（m）＝g（n）＝t得到m，n的关系，利用消元法转化为关于t的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．【解答】解：不妨设f（m）＝g（n）＝t，∴em﹣3=12+lnn2∴m﹣3＝lnt，即m＝3+lnt，n＝2•et−故m﹣n＝3+lnt﹣2•et−12令h（t）＝3+lnt﹣2•et−12h′（t）=1t−2et−12（t＞0），h″（故h′（t）在（0，+∞）上是减函数，且h′（12当t＞12时，h′（t）＜0，当0＜t＜12时，即当t=12时，h（此时h（12）＝3+ln12−2＝1﹣ln2，即m﹣n故选：A．【点评】本题主要考查导数的应用，利用换元法进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值是解决本题的关键，属于中档题．二、填空题（共25分）11．(x2+【分析】根据展开式的通项公式，即可求解．【解答】解：(x2+当12﹣3r＝0，r＝4时，常数项C6故答案为：240．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．12．从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为49．（用数字作答）【分析】先做出满足丙没有入选的结果数，丙没有入选相当于从9人中选3人，要求甲、乙至少有1人入选，可以先做出甲、乙都没入选的结果，相当于从7人中选3人，用所有的事件数减去不合题意的事件数，得到满足条件的事件数．【解答】解：丙没有入选相当于从9人中选3人，共有选法C93＝84甲、乙都没入选相当于从7人中选3人共有C73＝35，∴满足条件的事件数是84﹣35＝49，故答案为：49【点评】本题考查排列组合的实际应用，是一个综合题，题目中带有两个限制条件，注意限制条件的应用，先做满足一个条件的事件数，再做满足另一个条件的事件数，把不合题意的舍去．13．某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.5，乘轮船迟到的概率为0.2，乘飞机不会迟到，则这个人迟到的概率为0.18．【分析】根据题意，利用全概率公式求解即可．【解答】解：设事件A＝“乘火车”，B＝“乘轮船”，C＝“乘飞机”，D＝“迟到”，则P（A）＝0.2，P（B）＝0.4，P（C）＝0.4，P（D|A）＝0.5，P（D|B）＝0.2，P（D|C）＝0，因为D＝DA∪DB∪DC，且DA，DB，DC两两互斥，故P（D）＝P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）+P（C）P（D|C）＝0.2×0.5+0.4×0.2+0.4×0＝0.18．故答案为：0.18．【点评】本题考查全概率公式，属于基础题．14．函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞）．【分析】构建函数F（x）＝f（x）﹣（2x+4），由f（﹣1）＝2得出F（﹣1）的值，求出F（x）的导函数，根据f′（x）＞2，得到F（x）在R上为增函数，根据函数的增减性即可得到F（x）大于0的解集，进而得到所求不等式的解集．【解答】解：设F（x）＝f（x）﹣（2x+4），则F（﹣1）＝f（﹣1）﹣（﹣2+4）＝2﹣2＝0，又对任意x∈R，f′（x）＞2，所以F′（x）＝f′（x）﹣2＞0，即F（x）在R上单调递增，则F（x）＞0的解集为（﹣1，+∞），即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣1，+∞）【点评】本题考查学生灵活运用函数思想求解不等式，解题的关键是构建函数，确定函数的单调性，属于中档题．15．已知f（x）＝ax﹣eax，a∈R，则下列说法正确的有②③④．①f（x）的值域为R；②a≠0时，f（x）恒有极值点；③g(x)=f(x)−kx(k≠0)恒有零点；④对于x∈R，f（x）≤（1﹣e【分析】设t＝ax，通过函数求导可推得f（x）＝ax﹣eax≤﹣1，即可判断①；由函数的单调性分析易得x＝0为函数f（x）的极值点，判断②；利用函数与方程思想，判断ax−eax=kx有实根即可，可根据参数a和k分类讨论，结合函数的图象判断f（x由f（x）﹣（1﹣e）ax＝eax﹣eax，换元t＝ax后构造h（t）＝et﹣et，利用其单调性即可判断④．【解答】解：设t＝ax，那么函数f（x）＝ax﹣eax，即g（t）＝t﹣et，那么导函数g′（t）＝1﹣et，t∈R，当t＞0时，g′（t）＜0，当t＜0时，g′（t）＞0，因此函数g（t）在（0，+∞）上单调递减，在（﹣∞，0）上单调递增，即得g（t）≤g（0）＝﹣1，即函数f（x）的值域不是R，因此①错误；根据①可知，a≠0时，x＝0是f（x）的极值点，因此②正确；若函数g(x)=f(x)−kx(k≠0)当a＝0时，f（x）＝﹣1与y=k当a≠0时，根据①知，f（x）max＝f（0）＝﹣1，且f（x）在（0，+∞）上单调递减，在（﹣∞，0）上单调递增，当k＜0时，函数y=kx与f（当k＞0时，函数y=kx与f（因此函数f（x）与y=kx，k≠0由于f（x）﹣（1﹣e）ax＝eax﹣eax，设t＝ax，函数h（t）＝et﹣et，那么导函数h′（t）＝e﹣et，当t＞1时，h′（t）＜0，当t＜1时，h′（t）＞0，故h（t）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，故h（t）≤h（1）＝0，即f（x）≤（1﹣e）ax恒成立，故④正确．综上可得，说法正确的有②③④．故答案为：②③④．【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题．三、解答题（共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16．已知函数f(x)=1（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在区间（﹣1，m]上的取值范围是[−13，1]【分析】（1）求导可得f′（x）＝x2﹣2x，令f′（x）＞0，可求单增区间，令f′（x）＜0，可求单减区间；（2）利用（1）的单调性，结合f（﹣1），f（0），f（2），f（3）的值，可求实数m的取值范围．【解答】解：（1）根据函数f(x)=13x3−x2+1，可得导函数f令f′（x）＜0，可得x2﹣2x＜0，解得0＜x＜2，令f′（x）＞0，可得x2﹣2x＞0，解得x＜0或x＞2，因此函数f（x）在（0，2）上单调递减，在（﹣∞，0）和（2，+∞）单调递增．（2）由于f(−1)=1又因为f(0)=13×03根据函数f（x）在区间（﹣1，m]上的取值范围是[−13，1]又f（x）在（2，+∞）上单调递增，且f(3)=1又f（x）在（0，2）上单调递减，且f(2)=1所以m≤3，所以实数m的取值范围为[0，3]．【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题．17．袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．（1）若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为X，求X的分布列；（2）若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布列、期望和方差．【分析】（1）有放回抽样时，取到黑球的次数X～B(3，15)（2）由题意可得Y的所有取值为0，1，2，分别求出对应的概率，即可得Y的分布列，期望，方差．【解答】解：（1）因为袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，若每次抽取后都放回，则每次抽到黑球的概率均为28+2此时3次取球可以看成3次独立重复试验，所以X～B(3，1可得P(X=0)=C30P(X=2)=C32则X的分布列为：X0123P6412548125121251125（2）易知Y的所有取值为0，1，2，所以P(Y=0)=C20C8则Y的分布列为：Y012P715715115故E(Y)=0×7D(Y)=(0−【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．18．周末李梦提出和父亲、母亲、弟弟进行羽毛球比赛，李梦与他们三人各进行一场比赛，共进行三场比赛，而且三场比赛相互独立．根据李梦最近分别与父亲、母亲、弟弟比赛的情况，得到如下统计表：父亲母亲弟弟比赛的次数506040李梦获胜的次数103032以上表中的频率作为概率，求解下列问题．（Ⅰ）如果按照第一场与父亲比赛、第二场与母亲比赛、第三场与弟弟比赛的顺序进行比赛．（i）求李梦连胜三场的概率；（ii）如果李梦胜一场得1分，负一场得0分，设李梦的得分为X，求X的分布列与期望；（Ⅱ）记“与父亲、母亲、弟弟三场比赛中李梦连胜二场”的概率为p，此概率p与父亲、母亲、弟弟出场的顺序是否有关？如果有关，什么样的出场顺序使概率p最大（不必计算）？如果无关，请给出简要说明．【分析】（Ⅰ）（i）李梦获胜的概率分别为p1=15，p2=12，p3=4（Ⅱ）出场顺序共有6种，分别计算概率，比较大小即可．【解答】解：（Ⅰ）（i）李梦与爸爸比赛获胜概率为p1与妈妈比赛获胜概率为p2与弟弟比赛获胜概率为p3则李梦连胜三场的概率为p4（ii）X的可能取值为0，1，2，3，则P(X=0)=(1−1P(X=1)=(1−1P(X=2)=(1−1P(X=3)=1故分布列为X0123P221212E(X)=0×2（Ⅱ）若出场顺序为爸爸妈妈弟弟：p=1若出场顺序为爸爸弟弟妈妈：p=1若出场顺序为妈妈爸爸弟弟：p=1若出场顺序为妈妈弟弟爸爸：p=1若出场顺序为弟弟妈妈爸爸：p=4若出场顺序为弟弟爸爸妈妈：p=4故与出场的顺序有关，出场顺序为妈妈弟弟爸爸或爸爸弟弟妈妈概率p最大．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与期望以及概率在实际问题中的应用，属于中档题．19．已知椭圆C：x2a2+y22=1(a＞2)的离心率为22，左、右顶点分别为A，B，点M是椭圆C（Ⅰ）若点P在椭圆C的内部，求直线AM的斜率的取值范围；（Ⅱ）设椭圆C的右焦点为F，点Q在y轴上，且AQ∥BM，求证：∠PFQ为定值．【分析】（Ⅰ）根据题意可得c2＝a2﹣2，由e=22，解得即可出椭圆的方程，再根据点在其内部，即可线（Ⅱ）题意F（2，0），M（x0，y0），可得直线AM的方程，求出点P的坐标，再根据直线平行，求出直线AQ的方程，求出Q的坐标，根据向量的数量积即可求出FP→•FQ【解答】解：（Ⅰ）由题意可得c2＝a2﹣2，∵e=c∴a＝2，c=2∴椭圆的方程为x2设P（0，m），由点P在椭圆C的内部，得−2＜m又∵A（﹣2，0），∴直线AM的斜率kAM=m−00+2=m2∈又M为椭圆C上异于A，B的一点，∴kAM∈（−22，0）∪（0，证明（Ⅱ）由题意F（2，0），M（x0，y0），其中x0≠±2，则x0直线AM的方程为y=y0x令x＝0，得点P的坐标为（0，2y∵kBM=y0x0∴直线AQ的方程为y=y0x令x＝0，得点Q的坐标为（0，2y由FP→=（−2，2y0x0∴FP→•FQ→=∴FP→⊥FQ即∠PFQ＝90°，故∠PFQ为定值【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题20．已知函数f（x）＝x﹣alnx﹣1（a∈R）．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，0）处的切线为x轴，求a的值；（Ⅱ）讨论f（x）在区间（1，+∞）内的极值点个数；（Ⅲ）若f（x）在区间（1，+∞）内有零点t，求证：t＜a2．【分析】（Ⅰ）对f（x）求导，由f′（1）＝0即可求解a的值；（Ⅱ）对a分类讨论，求出函数的单调性即可判断极值点的个数；（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论及已知条件可判断函数的单调性，可得t∈（a，+∞），构造新函数，判断f（a2）＞0，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）f′(x)=1−ax，则f′（1）＝1﹣a＝0，解得经验证，f（x）＝x﹣lnx﹣1在点（1，0）处的切线为y＝0，∴a＝1．（Ⅱ）由题得f′(x)=1−a若a≤1，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，∴f（x）无极值点．若a＞1，当x∈（1，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在区间（1，a）上单调递减，f（x）在区间（a，+∞）上单调递增．∴x＝a为f（x）的极小值点，且f（x）无极大值点．综上，当a≤1时，f（x）在区间（1，+∞）内的极值点个数为0；当a＞1时，f（x）在区间（1，+∞）内的极值点个数为1．（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知当a≤1时，f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（1）＝0．∴f（x）在区间（1，+∞）内无零点．当a＞1时，f（x）的单调递减区间为（1，a），单调递增区间为（a，+∞）．∴f（a）＜f（1）＝0．若f（x）在区间（1，+∞）内有零点t，则t∈（a，+∞）．而f（a2）＝a2﹣2alna﹣1，设g（x）＝x2﹣2xlnx﹣1（x＞1），则g′（x）＝2x﹣2（1+lnx）＝2（x﹣1﹣lnx）．设h（x）＝2（x﹣1﹣lnx）（x＞1），则ℎ′(x)=2(1−1∴h（x）在区间（1，+∞）上单调递增．∴h（x）＞h（1）＝0，即g′（x）＞0．∴g（x）在区间（1，+∞）上单调递增．∴g（a）＞g（1）＝0，即f（a2）＞0．又f（t）＝0，a2＞a，∴t＜a2．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于难题．21．在n×n（n≥2）个实数组成的n行n列的数表中，aij表示第i行第j列的数．记ri＝ai1+ai2+⋯+ain（1≤i≤n），cj＝a1j+a2j+⋯+anj（1≤j≤n）．若aij∈{﹣1，0，1}（1≤i，j≤n），且r1，r2，⋯，rn，c1，c2，⋯，cn两两不等，则称此表为“n阶H表”．记Hn＝{r1，r2，⋯，rn，c1，c2，⋯，cn}．（1）请写出一个“2阶H表”；（2）