2024-2025学年北京平谷中学高二(下)期中数学试卷含答案

2024-2025学年北京市平谷中学高二（下）期中数学试卷一、选择（共40分，每题4分）1．（4分）二项式(x+1A．30 B．15 C．20 D．102．（4分）函数y=12A．（﹣1，1） B．（1，+∞） C．（0，1） D．（0，+∞）3．（4分）随机变量X的分布列如表所示：X1234P0.3m0.12m则P（X≤2）＝（）A．0.5 B．0.2 C．0.3 D．0.44．（4分）已知等差数列{an}满足：a6﹣3a2＝6，a3＝0，则a2025＝（）A．2022 B．2023 C．2024 D．20255．（4分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.3126．（4分）有大小相同的4个红球和2个白球．若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到白球”为事件B，则P（B|A）＝（）A．415 B．25 C．357．（4分）从5名高一学生和4名高二学生中，选3人参加社区垃圾分类宣传活动，其中至少有1名高二学生参加宣传活动的不同选法种数为（）A．50 B．74 C．80 D．1408．（4分）已知无穷等差数列{an}为递增数列，Sn为数列前n项和，则以下结论正确的是（）A．Sn+1＞Sn B．数列{Sn}有最大项 C．数列{nan}为递增数列 D．存在正整数N0，当n＞N0时，an＞09．（4分）在数列{an}中，已知an=n2+λn，n∈N*，则“a1＜aA．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．（4分）某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（）A．5 B．7 C．9 D．11二、填空（共25分，每题5分）11．（5分）在(1−x)6的展开式中，x12．（5分）函数f(x)=ln(x+1)−1x−2的定义域为13．（5分）若曲线y＝e﹣x上点P处的切线平行于直线2x+y+1＝0，则点P的坐标是．14．（5分）在数列{an}中，an＝4n−52，a1+a2+…+an＝an2+bn，n∈N*，其中a，b为常数，则ab＝15．（5分）已知数列{an}各项均为正数，a2＝3a1，Sn为其前n项和．若{Sn}是公差为12的等差数列，则a1＝，a三、解答题（共85分）16．（13分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，数列{bn}为正项等比数列，已知a3＝5，S3＝9，b1＝a1，b5＝S4．（1）求数列{an}和数列{bn}的通项公式；（2）记Tn为数列{an•bn}的前n项和，求Tn．17．（14分）如图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB=1，AD=3，点E，F分别是BC，PB（I）证明：AF⊥平面PBC；（Ⅱ）若点M为线段AD中点，求证：PM∥平面AEF；（Ⅲ）求二面角D﹣PE﹣C的余弦值．18．（14分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：手机编号1234567A型待机时间（h）120125122124124123123B型待机时间（h）118123127120124ab其中，a，b是正整数，且a＜b．（Ⅰ）该卖场有56台A型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数；（Ⅱ）从A型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X，求X的分布列；（Ⅲ）设A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a，b的值（结论不要求证明）．19．（14分）某工厂有一组型号相同的设备，在日常维护中发现部分设备有发热的情况，经过查阅历史数据，发现设备是否发热与设备状态（完好或损坏）有较强的相关性．从发热和未发热情况的数据中各自随机抽取1000条数据，整理如图所示：日常维护时，对单台设备有三种可能的操作：保留观察、停机更换或检查维修．对单台设备的不同状态，这三种操作给工厂带来的经济损失如下（单位：千元）：操作经济损失设备状态保留观察停机更换检查维修完好0105损坏1257假设用频率估计概率，且各设备之间的状态相互独立．（Ⅰ）已知某设备未出现发热情况，试估计该设备损坏的概率；（Ⅱ）该工厂现有2台设备出现发热情况，准备对这2台设备都进行检查维修．记检查维修这2台设备给工厂带来的总经济损失为X千元，求X的分布列和数学期望EX；（Ⅲ）该工厂的某车间现有2台设备，维护时发现其中一台出现发热情况，另一台未出现发热情况．下面有三种维护这2台设备的操作方案：发热情况操作方案编号发热未发热①检查维修保留观察②停机更换检查维修③停机更换保留观察直接写出使得工厂总经济损失的期望最小的方案的编号．20．（15分）已知函数f（x）＝ex﹣cosx．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设g（x）＝xf'（x）﹣f（x），证明：g（x）在（0，+∞）上单调递增；（3）判断3f(13)21．（15分）已知直线l：y＝kx﹣1交椭圆C：x2a2+y2b2（1）求椭圆方程C的标准方程；（2）证明：MA⊥MB；（3）求|MA|•|MB|的最大值．

2024-2025学年北京市平谷中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BCAAABBDCC一、选择（共40分，每题4分）1．（4分）二项式(x+1A．30 B．15 C．20 D．10【分析】求出展开式的通项公式，令x的指数为0，进而可以求解．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为Tr+1=C6令6﹣3r＝0，解得r＝2，则常数项为C6故选：B．【点评】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．2．（4分）函数y=12A．（﹣1，1） B．（1，+∞） C．（0，1） D．（0，+∞）【分析】求导，令导函数小于0，即可求得单调递减区间．【解答】解：函数y=f(x)=12x令f′（x）＜0，解得0＜x＜1，则函数f（x）的单调递减区间为（0，1）．故选：C．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．3．（4分）随机变量X的分布列如表所示：X1234P0.3m0.12m则P（X≤2）＝（）A．0.5 B．0.2 C．0.3 D．0.4【分析】由已知结合分布列的性质即可求解．【解答】解：由题意可得0.3+m+0.1+2m＝1，即m＝0.2，则P（X≤2）＝P（X＝1）+P（X＝2）＝0.5．故选：A．【点评】本题主要考查了离散型随机变量的分布列，属于基础题．4．（4分）已知等差数列{an}满足：a6﹣3a2＝6，a3＝0，则a2025＝（）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【分析】根据等差数列的性质求解即可．【解答】解：因为等差数列{an}满足：a6﹣3a2＝6，a3＝0，设公差为d，则0+3d﹣3（0﹣d）＝6，可得d＝1，故a2025＝a3+2022d＝2022．故选：A．【点评】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题．5．（4分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312【分析】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．【解答】解：由题意可知：同学3次测试满足X∽B（3，0.6），该同学通过测试的概率为C3故选：A．【点评】本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查．6．（4分）有大小相同的4个红球和2个白球．若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到白球”为事件B，则P（B|A）＝（）A．415 B．25 C．35【分析】利用古典概型的概率公式求出P（A），P（AB），再由条件概率公式求解即可．【解答】解：依题意P(A)=C41由条件概率公式可得，P(B|A)=P(AB)故选：B．【点评】本题主要考查了条件概率公式的应用，属于基础题．7．（4分）从5名高一学生和4名高二学生中，选3人参加社区垃圾分类宣传活动，其中至少有1名高二学生参加宣传活动的不同选法种数为（）A．50 B．74 C．80 D．140【分析】根据题意可先计算出所有的选法，再减去全是高一学生的选法，从而可解．【解答】解：从5名高一学生和4名高二学生中，选3人参加社区垃圾分类宣传活动，共有C9若3人都是高一学生，共有C5则其中至少有1名高二学生参加宣传活动的不同选法种数为84﹣10＝74．故选：B．【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．8．（4分）已知无穷等差数列{an}为递增数列，Sn为数列前n项和，则以下结论正确的是（）A．Sn+1＞Sn B．数列{Sn}有最大项 C．数列{nan}为递增数列 D．存在正整数N0，当n＞N0时，an＞0【分析】直接利用数列的通项公式和等差数列的前n项和公式的应用及作差法的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】解：对于A：无穷等差数列{an}为递增数列，故Sn+1﹣Sn＝an+1，由于an+1＝a1+nd的符号无法确定，故A错误；对于B：当a1＞0时，Sn+1﹣Sn＝an+1＝a1+nd＞0，此时数列{Sn}单调递增，不存在最大项，故B错误；对于C：由于nan＝a1n+n（n﹣1）d，所以（n+1）an+1﹣nan＝a1+2nd，当a1+2nd＜0时，数列不一定单调递增，故C错误；对于D：由于等差数列{an}为递增数列，所以d＞0，若a1＜0时，当n比较大时，an＞0，即一定存在正整数N0，当n＞N0时，an＞0，若an≥0时，显然存在正整数N0，当n＞N0时，an＞0，故D正确．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：数列的单调性的应用，数列的通项公式和前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．9．（4分）在数列{an}中，已知an=n2+λn，n∈N*，则“a1＜aA．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】先求出每个命题对应的集合，再根据集合之间的关系判断充分性．【解答】解：若在数列{an}中，已知an=n2+λn，n∈N*，a1＜a2，则1+λ若在数列{an}中，已知an=n2+λn，n∈N*，{an}是单调递增数列，则对任意的an+1﹣an＝（n+1）2+λ（n+1）﹣n2﹣λn＝1+2n+λ＞0，则λ＞﹣1﹣2n，则λ＞（﹣1﹣2n）max＝﹣3，故“a1＜a2”是“{an}是单调递增数列”的充分必要条件，故选：C．【点评】本题考查简易逻辑，以及单调递增数列的性质，属于中等题．10．（4分）某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（）A．5 B．7 C．9 D．11【分析】由已知中图象表示某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系，可分析出平均产量的几何意义为原点与该点边线的斜率，结合图象可得答案．【解答】解：若果树前n年的总产量S与n在图中对应P（S，n）点则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率由图易得当n＝9时，直线OP的斜率最大即前9年的年平均产量最高，故选：C．【点评】本题以函数的图象与图象变化为载体考查了斜率的几何意义，其中正确分析出平均产量的几何意义是解答本题的关键．二、填空（共25分，每题5分）11．（5分）在(1−x)6的展开式中，x【分析】由二项式定理，结合二项式展开式的通项公式求解即可．【解答】解：在(1−x)6的展开式中，x的系数为C62故答案为：15．【点评】本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式的通项公式，属基础题．12．（5分）函数f(x)=ln(x+1)−1x−2的定义域为【分析】列出使函数有意义的不等式组，即可求解．【解答】解：数f(x)=ln(x+1)−1则x+1＞0x−2≠0，解得﹣1＜x＜2或x故函数f（x）的定义域为（﹣1，2）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣1，2）∪（2，+∞）．【点评】本题主要考查定义域的求解，属于基础题．13．（5分）若曲线y＝e﹣x上点P处的切线平行于直线2x+y+1＝0，则点P的坐标是（﹣ln2，2）．【分析】先设P（x，y），由求导公式求出函数的导数，由在点P处的切线与直线2x+y+1＝0平行，求出x并代入解析式求出y．【解答】解：设P（x，y），由题意得y＝e﹣x，∵y′＝﹣e﹣x在点P处的切线与直线2x+y+1＝0平行，∴﹣e﹣x＝﹣2，解得x＝﹣ln2，∴y＝e﹣x＝2，故P（﹣ln2，2）．故答案为：（﹣ln2，2）．【点评】本题考查了导数的几何意义，即点P处的切线的斜率是该点出的导数值，以及切点在曲线上和切线上的应用．14．（5分）在数列{an}中，an＝4n−52，a1+a2+…+an＝an2+bn，n∈N*，其中a，b为常数，则ab＝【分析】由题意可知，数列{an}为等差数列，故根据等差数列的前n项和公式可得sn的表达式，又已知a1+a2+…+an＝an2+bn，利用对应系数相等进行求解．【解答】解：∵an＝4n−5∴数列{an}为等差数列，a1=32，∴sn∴a=2，b=−1∴ab＝﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查等差数列的前n项和公式，熟练应用公式是准确解题的关键．15．（5分）已知数列{an}各项均为正数，a2＝3a1，Sn为其前n项和．若{Sn}是公差为12的等差数列，则a1＝14，an【分析】由题意得S2−S1=a1+a【解答】解：因为数列{an}各项均为正数，a2＝3a1，若{Sn}是公差为12的等差数列，则所以a1=14，所以Sn所以Sn=n所以n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1=na1=1故an=2n−1故答案为：14；2n−1【点评】本题主要考查了数列的和与项的递推关系，还考查了等差数列的通项公式的应用，属于基础题．三、解答题（共85分）16．（13分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，数列{bn}为正项等比数列，已知a3＝5，S3＝9，b1＝a1，b5＝S4．（1）求数列{an}和数列{bn}的通项公式；（2）记Tn为数列{an•bn}的前n项和，求Tn．【分析】（1）设数列{an}的首项为a1，公差为d，设数列{bn}的首项为b1，公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得所求；（2）运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】解：（1）设数列{an}的首项为a1，公差为d，设数列{bn}的首项为b1，公比为q，由a3＝a1+2d＝5和S3＝3a1+3d＝9得a1＝1，d＝2，an＝a1+（n﹣1）d＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．所以数列{an}的通项公式为an＝2n﹣1．b1＝a1＝1，由b5＝S4得b1所以q=2，b所以数列{bn}的通项公式为bn（2）anTn2T相减可得_T即有Tn【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．17．（14分）如图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB=1，AD=3，点E，F分别是BC，PB（I）证明：AF⊥平面PBC；（Ⅱ）若点M为线段AD中点，求证：PM∥平面AEF；（Ⅲ）求二面角D﹣PE﹣C的余弦值．【分析】（Ⅰ）证明BC⊥平面PAB，得出BC⊥AF，证明PB⊥AF，即可证明AF⊥平面PBC；（Ⅱ）连接BM交AE于N，连接PM、FN，证明四边形AMEB是平行四边形，得PM∥FN，即可证明PM∥平面AEF．（Ⅲ）建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求二面角的余弦值即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB，又AF⊂平面PAB，∴BC⊥AF，∵PA＝AB，F是PB的中点，∴PB⊥AF，又BC∩PB＝B，∴AF⊥平面PBC；（Ⅱ）证明：连接BM交AE于N，连接PM、FN，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，且AD＝BC，又M、E分别为AD、BC的中点，∴四边形AMEB是平行四边形，∴N为BM中点，又∵F是PB的中点，∴PM∥FN，∵PM⊄面AEF，NF⊂面AEF，∴PM∥平面AEF．（Ⅲ）解：由题意，分别以AD、AB、AP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则A（0，0，0），C（3，1，0），D（3，0，0），E（32，1，0），P∴DE→=（−32，1，0），EP→=（设平面PDE的法向量为n→=（x，y，z），则n→令x＝2，得y=3，z＝23，∴n→=（2，3同理，得m→∴cos＜n→，∴二面角D﹣PE﹣C的余弦值为3114【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．18．（14分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：手机编号1234567A型待机时间（h）120125122124124123123B型待机时间（h）118123127120124ab其中，a，b是正整数，且a＜b．（Ⅰ）该卖场有56台A型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数；（Ⅱ）从A型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X，求X的分布列；（Ⅲ）设A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a，b的值（结论不要求证明）．【分析】（Ⅰ）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时⇒估计56台A型手机中有56×5（II）由表格可知，A型号被测试的7台手机中待机时间大于123小时的台数为有3台，利用超几何分布概率计算法则，求解概率．（Ⅲ）由A，B两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，列方程，求出a，b．【解答】解：（Ⅰ）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，因此，估计56台A型手机中有56×5（Ⅱ）X可能的取值为0，1，2，3，P(X=0)=1C74=135所以，X的分布列为：X0123P13512351835435（Ⅲ）若A，B两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，当B型号被测试手机的待机时间的方差最小时，a＝124，b＝125．【点评】本题考查了抽样方法的基本性质，及古典概型的分布列、期望，属于基础题．19．（14分）某工厂有一组型号相同的设备，在日常维护中发现部分设备有发热的情况，经过查阅历史数据，发现设备是否发热与设备状态（完好或损坏）有较强的相关性．从发热和未发热情况的数据中各自随机抽取1000条数据，整理如图所示：日常维护时，对单台设备有三种可能的操作：保留观察、停机更换或检查维修．对单台设备的不同状态，这三种操作给工厂带来的经济损失如下（单位：千元）：操作经济损失设备状态保留观察停机更换检查维修完好0105损坏1257假设用频率估计概率，且各设备之间的状态相互独立．（Ⅰ）已知某设备未出现发热情况，试估计该设备损坏的概率；（Ⅱ）该工厂现有2台设备出现发热情况，准备对这2台设备都进行检查维修．记检查维修这2台设备给工厂带来的总经济损失为X千元，求X的分布列和数学期望EX；（Ⅲ）该工厂的某车间现有2台设备，维护时发现其中一台出现发热情况，另一台未出现发热情况．下面有三种维护这2台设备的操作方案：发热情况操作方案编号发热未发热①检查维修保留观察②停机更换检查维修③停机更换保留观察直接写出使得工厂总经济损失的期望最小的方案的编号．【分析】（Ⅰ）根据题意，直接写出即可；（Ⅱ）求得X的取值，进而计算出其对应概率，即可写出分布列，求得数学期望；（Ⅲ）计算不同方案下总经济损失的数学期望，比较大小，即可判断．【解答】解：（Ⅰ）设“一台设备未出现发热情况，设备损坏“为事件A，则P(A)=400（Ⅱ）依题意，一台设备出现发热情况，设备损坏的概率为710，设备正常的概率为3易知，X＝10，12，14，P(X=10)=3故X的分布列为：X101214P92149故E(X)=10×9（Ⅲ）使得工厂总经济损失的期望最小的方案的编号为①，理由如下：记采用不同方案，这2台设备给工厂带来的总经济损失为Y干元，采用方案①：Y的取值为：5，7，17，19，P(Y=5)=3故采用方案①，总经济损失的期望E(Y)=5×9采用方案②：Y的取值为：10，12，15，17，P(Y=10)=7故采用方案②，总经济损失的期望E(Y)=10×21采用方案③：Y的取值为：5，10，17，22，P(Y=5)=3故采用方案③：总经济损失的期望E(Y)=5×21综上，565＜113【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与期望的计算，属于中档题．20．（15分）已知函数f（x）＝ex﹣cosx．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切