2025年北京一零一中高二（下）期中数学试卷含答案

2025北京一零一中高二（下）期中数学（本试卷满分120分，考试时间100分钟）命题：高二数学备课组一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.函数的导函数为（）A. B. C. D.2.一名老师和四名学生站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法为（）A.4种 B.12种 C.24种 D.120种3.在的展开式中，的系数为（）A. B.C. D.4.向高为的容器中注水，且任意相等的时间间隔内所注入的水体积相等，若容器内水面的高度与注水时间的函数关系的图象如图所示，则该容器的形状可能是（）A.B.C.D.5.已知函数，若曲线在点处的切线平行于直线，则该切线方程为（）A. B.C. D.6.从4名高一学生和5名高二学生中，选3人参加社区垃圾分类宣传活动，其中至少有1名高二学生参加宣传活动的不同选法种数为（）A.50 B.70 C.80 D.1407.已知函数与的图象如图所示，则函数（）A.在区间上是减函数 B.在区间上是减函数C.在区间上是减函数 D.在区间上是减函数8.现给如图所示的五个区域A，B，C，D，E涂色，有5种不同的颜色可供选择，每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（）A.420 B.340 C.260 D.1209.新型冠状病毒肺炎（）严重影响了人类正常的经济与社会发展．我国政府对此给予了高度重视，采取了各种防范与控制措施，举国上下团结一心，疫情得到了有效控制．人类与病毒的斗争将是长期的，有必要研究它们的传播规律，做到有效预防与控制，防患于未然．已知某地区爆发某种传染病，当地卫生部门于月日起开始监控每日感染人数，若该传染病在当地的传播模型为（表示自月日开始（单位：天）时刻累计感染人数，的导数表示时刻的新增病例数，），根据该模型推测该地区新增病例数达到顶峰的日期所在的时间段为（）A.月日~月日 B.月日~月日C.月日~月日 D.月日~月日10.已知函数，设实数m满足：存在，使直线是曲线的切线，且对恒成立，则m的最大值为（）A. B. C. D.1二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.11.已知，，则_________.12.把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法有_______种．13.已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是______．14.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为______.（用数字作答）15.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表.从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，第3次全行的数都为1的是第_______行，…，当第n次出现全行的数都为1时，该行共有______个1.16.已知，函数，给出下列四个结论：①对任意，函数存在唯一极值点；②当时，函数没有零点；③存在，使得曲线过原点的切线有且只有一条；④当时，函数的最小值为1.其中所有正确结论的序号是______.三、解答题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.已知.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.18.已知函数.（1）当m＝1时，①求的单调区间；②求在区间上的最小值与最大值；（2）若在区间上单调递增，求m的取值范围.19.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，，使得；（3）当时，求函数的零点个数.20.若项数为k（）的有穷数列满足如下两个性质，则称数列为Z数列：性质①：；性质②：对任意的i，j（），与至少有一个是数列中的项.（1）分别判断下面两个数列是否为Z数列，并说明理由；数列：1，2，3；数列：0，1，2.（2）若数列是Z数列，求证：；（3）若数列是Z数列，且不是等差数列，求k的值.

参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】A【分析】根据复合函数求导公式求解即可.【详解】.故选：A2.【答案】C【分析】根据题意，只需将四名同学排序即可，进而根据排序问题求解即可.【详解】根据题意，一名老师和四名学生站成一排照相，老师站在正中间，只需将四名同学排序，所以，不同的站法为种.故选：C3.【答案】A【分析】利用二项式定理的性质.【详解】设的通项，则，化简得，令，则的系数为，即A正确.故选：A4.【答案】C【分析】根据函数图象可知在相等时间间隔内容器内水面的高度增加量越来越大，结合容器形状可确定选项.【详解】根据函数图象可知，随着注水时间的增大，在相等时间间隔内容器内水面的高度的增加量越来越大，即的变化率逐渐增大，故该容器从下到上宽度应逐渐减小，选项C中容器符合要求.故选：C.5.【答案】B【分析】求出函数的导数，根据切线的斜率得到参数，根据切点函数值得到参数，由点斜式方程可得切线的方程.【详解】由题意得，曲线在点处的切线平行于直线，曲线在点处的切线斜率，即，解得，此时，即切点为，则切线方程为，即.故选：B.6.【答案】C【分析】根据题设条件利用组合知识并借助排除法即可作答.【详解】由于选取的3人无顺序性，求不同选法种数的问题是组合问题，又3人中至少有1名高二学生，其对立事件是没有高二学生，所求不同选法种数，先从9人中任选3人有种选法，没有高二学生的选法种数是，所以不同选法种数为故选：C7.【答案】B【分析】对函数求导，结合图象判断与的大小关系，从而得出函数的单调性，进而可得出结果.【详解】由得，由题中图象可知，当时，，所以，则函数单调递增；当时，，所以，则函数单调递减；当时，，所以，则函数单调递增；当时，，所以，则函数单调递减；故ACD都错，B正确，故选：B8.【答案】A【分析】讨论同色、同色，、一组同色一组不同色，的颜色互不相同，结合排列组合数求对应涂色方法，应用分类加法求不同涂色方案数.【详解】若同色、同色，有，此时有3种涂法，共有种，若同色、不同色，有，此时有种涂法，共有种，同理同色、不同色也有120种，若的颜色互不相同，则有种，综上，共有种.故选：A9.【答案】A【分析】由题对求导得：，根据基本不等式得：，即可求出答案.【详解】对求导得：，根据基本不等式得：，当且仅当，即，即，即.故选：A.10.【答案】A【分析】利用导数求得的单调区间，结合的图象、切线以及不等式恒成立求得的最大值.【详解】，，当时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.又，所以的图象在处的切线方程为，此时.同时，，因此在时恒成立，直线是曲线的切线，则，结合图象可知，当时，不恒成立.当时，，恒成立.当时，，因此，所以的最大值为.故选：A二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.11.【答案】【分析】根据导数的运算法则求导，再代值计算即可【详解】解：，，，故答案为：12.【答案】36【分析】根据分步计数原理，结合相邻问题和不相邻问题的方法即可求出．【详解】根据题意，设5人为甲乙丙丁戊，

①，将乙丙看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有种情况，

②，将这个整体与丁戊全排列，有种安排方法，

③，排好后，有4个空位，由于甲乙安排在不相邻的两天，则只能从3个空中任选1个，安排甲，有种安排方法，

不同的安排方案共有种；

故答案为：13.【答案】【分析】由题可得，分，讨论，即得.【详解】由可得，当时，，在上单调递增，不满足题意；当时，由得，由得，所以在上单调递减，在上单调递增，要使得函数在区间上不单调，则，解得．故答案为：.14.【答案】【分析】先将5人分成3、1、1或1、2、2分成三组，再安排给3个不同的场馆，即可求解.【详解】将5人分成3、1、1或1、2、2分成三组，有，再分配到3个场馆有，故答案为：15.【答案】①.7②.【分析】根据杨辉三角的性质，归纳出规律即可得解.【详解】由题意，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，杨辉三角中，第7行的数依次为1,7,21,35,35,21,7,1，故对应0-1三角数表中，第7行的数全部为1，第3次全行的数都为1的是第7行；寻找规律，其中，，，经验证，第行全行的数均为1，第行全行的数均为1，所以第n次出现全行的数都为1的是第行，共有个1.故答案为：7；16.【答案】①②④【分析】对于①，求导，再次求导发现在R上单调递增，结合函数值可确定存在唯一极值点；对于②，当时，结合单调递增即，可分析函数单调性，发现确定函数没有零点；对于③，设切点，利用斜率构建关系式，转化为函数的零点个数问题，求导分析单调性可确定有2个解，故有2条这样的切线；对于④，由函数为偶函数，再分析时的单调情况可确定函数最小值.【详解】对于①，求导，令，，所以在R上单调递增，又当时，，当时，，故存在唯一极值点，故①正确；对于②，当时，，，由①知存在唯一的极值点，又，所以，即在单调递减，在单调递增，所以，故函数无零点，②正确；对于③，因为，所以原点不在曲线上，且切点为，则切线斜率，整理得，令，，，，所以在单调递减，在单调递增，故，又当时，，当时，，所以有两个解，故对任意，曲线过原点的切线有2条，故③错误；对于④，，为偶函数，当时，，，结合①知在R上单调递增，所以，即在单调递增，又为偶函数，所以在单调递减，，故④正确；故答案为：①②④三、解答题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）令可求的值；（2）分别令和求各项系数和，两式相加计算即可；（3）通过二项式的通项公式分析可知，当为偶数时，；当为奇数时，，可得出，即可得解.【小问1详解】令，则，所以；【小问2详解】令，得①.令，得②，由①②，得，所以.【小问3详解】的展开式通项为，则，其中且，当为偶数时，；当为奇数时，．所以，由（2）知，，所以．18.【答案】（1）①函数的单调递增区间为，单调递减区间为②，（2）【分析】（1）①求出函数的导数，根据导数的正负即可得出单调区间；②由函数的单调性求闭区间上的最值即可；（2）根据单调性，建立关于导数的不等式，分离参数求解即可.【小问1详解】，①当时，，因为，所以当时，，当时，，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，②由①知，在上单调递减，在上单调递增，所以，又，所以.【小问2详解】由题意，在上恒成立，即，在上恒成立，所以，即.所以m的取值范围.19.【答案】（1）（2）证明见详解（3）当时，，此时函数有2个零点，当时，，此时函数有1个零点，当时，，此时函数无零点.【分析】（1）利用导数几何意义可求在点处的切线方程；（2）求导分析函数单调性，发现函数在单调递增，由即可证明；（3）根据（2）函数的单调性确定函数的最小值，再整理分析函数的最小值的正负即可确定函数零点个数.【小问1详解】当，f(x)=2lnx−1x，即曲线在点处的切线方程为.【小问2详解】证明：当时，，令，解得，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，即当时，，使得，【小问3详解】由（2）知，令，则，即，，所以，，令，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以utmax=u所以的解为，的解为，即当时，，此时函数有2个零点，当时，，此时函数有1个零点，当时，，此时函数无零点.20.【答案】（1）数列不是Z数列，是Z数列，理由见解析（2）证明见解析（3）4【分析】（1）由数列中，当时，与都不是数列中的项，而数列中，一定是数列中的项，即可求解；（2）根据Z数列的性质可得若，则，从而得，这个等式相加后可证；（3）根据Z数列的性质以及不是等差数列，对参数进行分类讨论即可.【小问1详解】对于数列：1，2，3，当时，，，此时与都不是数列中的项，所以数列：1，2，3不是Z数列；对于数列：0，1，2