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练习二答案1、2、3、4、4、一般地,n维向量第二章

4学时一、n向量的概念、向量组的线性相关性二、线性相关性的判定、向量组的秩§2.1n维向量一.n维向量的概念二.n维向量的表示方法三.向量的线性运算分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，一、n维向量的概念定义1由n个数组成的n元有序数组称为n维向量，其中称为向量的第i个分量(或坐标)例如n维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量二、n

维向量的表示方法

维向量写成一行，称为行向量，（也称为行矩阵）通常用等表示，如：

维向量写成一列，称为列向量，（也称为列矩阵）通常用等表示，如：注意：

1．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；

2．当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.三、向量的线性运算1、什么叫零向量，负向量，相等向量。；两向量相等，即对应分量相等。则称为的负向量记作：

2、向量的加法设则定义：注：行向量不能加列向量，不同维数的向量不能相加（减）。3：数乘向量设为一个数，则定义向量的加法、减法及数乘向量统称为向量的线性运算。向量线性运算的规律1、交换律：2、结合律：3、4、5、6、7、8、其中是n维向量，是数。线性方程组的向量表示§2.2向量组的

线性相关性一.向量组二.向量组的线性相关性

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例如一、向量组称为n维单位向量。向量组称为n维单位向量组二、向量组的线性相关性1、线性组合则称向量是向量组的线性组合，或称向量能由向量组线性表示。即线性方程组例1

任意一个n维向量

线性表示.证：都可由向量组例2

已知

问是否可由线性表示？

解：设存在使得根据向量的运算法则，得，所以是可由线性表示，且

若线性方程组有解，则可由线性表示

若线性方程组无解，则不能由线性表示

注：已知向量组和向量判断向量能否由向量组线性表示即：找一组数使得根据向量的运算，把上式转化为方程组，定义３:2、线性相关性与线性无关如果上式仅当k1=k2=…=km=0时才成立，则称向量组A线性无关．则称向量组A是线性相关的；定义的注解（1）线性相关只要求存在不全为零的数，也就是说至少有一个非零。（2）线性无关要求仅当，也就是说有且只有数零使得等式成立。（3）一个向量组不是线性相关就是线性无关。（4）向量组只包含一个向量α时,若α=0,

则α线性相关;若α≠0,则α线性无关。（5）两个向量线性相关的充分必要条件是它们的各对应分量成比例.解令：则只有所以，线性无关。例3即：讨论n维单位向量组的线性相关性，解:令例4讨论的线性相关性。即亦即为三元线性方程组.其系数行列式为：所以线性方程组有非零解,线性相关.即3.n个n维向量所组成的向量组且则:(1)向量组线性相关的充分必要条件为D=0；(2)向量组线性无关的充分必要条件为D≠0.例5

判断向量组是否线性相关.解：所以线性无关。证令例7

已知

（2）当c取何值时？

线性无关

（1）当c取何值时？线性无关

解所以（1）当时，线性无关（2）当时，线性相关例8试证任意一四维向量

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