2025-2026学年广东省深圳市南山区高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省深圳市南山区高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.z=（1+i）（2-i）的共轭复数为（）A.-3-i B.-3+i C.3+i D.3-i2.样本数据2，4，2，12，11的中位数和极差分别为（）A.2和9 B.2和10 C.4和9 D.4和103.已知在平面直角坐标系中，点A，B，C，D如图所示，则=（）A.（7，5）

B.（1，5）

C.（5，7）

D.（5，1）

4.已知P，Q两点到平面α的距离分别为2和4，则线段PQ的中点到α的距离为（）A.1 B.2 C.3 D.1或35.已知△ABC的直观图△A'B'C'是等腰直角三角形，如图所示，其中A'B'⊥B'C'，O'A'=A'C'=，则AB=（）A.1

B.2

C.

D.36.在△ABC中，角A，B所对的边长为a，b，则“a=b”是“acosA=bcosB”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件7.在正四面体ABCD中，M，N分别为棱AC，CD的中点，则异面直线AN与BM所成角的余弦值为（）A. B. C. D.8.从0，1，2，3，4这5个数字中选3个不同的数字组成三位数，则该三位数能被3整除的概率为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，则（）A.＞ B.•=1 C.|+|=3 D.|-|=10.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记事件“两次投掷的点数之和为偶数”为A，事件“两次投掷的点数之和为3的倍数”为B，事件“第一次投掷的点数不超过4”为C，则（）A.A与B互斥 B.

C.P（A∪B）=P（C） D.A与C相互独立11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是棱BB1，A1D的中点，点G在正方体表面运动，且EG=2，设点A1，A，E，G均在动球O的球面上，则（）A.四面体B1CD1F的体积为

B.不存在点G，使得GF∥平面AB1C

C.点G的轨迹长度为

D.球O的表面积最大值为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知某班级女生和男生人数之比为4：5，若某次考试的班级平均分为80，且男生平均分为78，则女生平均分为

.13.已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为

.14.已知正三角形ABC的边长为3，且，过点D且垂直于AC的直线交△ABC的外接圆于M，N两点，若点P为边BC上的动点，则的最大值为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知在△ABC中，AB=，BC=2，cosB=.

（1）求sinC；

（2）设D为AC的中点，求sin∠DBC.16.(本小题15分)

如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AC的中点.

（1）证明：AB1∥平面BC1D；

（2）若AA1=3，AB=2，求直线BC1与平面AA1C1C所成角的正弦值.17.(本小题15分)

某学校开展了数学建模比赛活动，从全体参赛者中随机选出100人作为样本，并将这100人按成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），制作出如图所示数据不完整的频率分布直方图，并计算出：成绩在[60，100）内的学生的平均成绩为分.

（1）求a的值；

（2）由频率分布直方图估算全体参赛者成绩的第80百分位数；

（3）先按成绩进行分层，通过分层随机抽样的方法，从区间[50，60），[70，80），[90，100）抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求恰有1人测试成绩位于区间[70，80）的概率.18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PBD，，，PA=2PB=2.

（1）证明：平面PAB⊥平面ABCD；

（2）若BD=1，求点C到平面PAB的距离；

（3）若，求二面角B-PA-D的正切值的取值范围.19.(本小题17分)

以法国数学家布洛卡命名的布洛卡点是三角形内部的特殊点，其定义如下：设P是△ABC内一点，若∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ，则称点P为△ABC的布洛卡点，角θ为△ABC的布洛卡角.如图，在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,点P为△ABC的布洛卡点，θ为△ABC的布洛卡角.

（1）若a=b,且PB=PA，求∠BAC的大小；

（2）证明：=2cosθ；

（3）若∠BAC=，求tanθ的最大值.

1.【答案】D

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】D

6.【答案】A

7.【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】BD

10.【答案】BCD

11.【答案】AC

12.【答案】82.5

13.【答案】16π

14.【答案】5

15.【答案】

16.【答案】证明：连结B1C，交BC1于O，连结OD，

∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AC的中点，

∴O是B1C的中点，∴OD∥AB1，

∵AB1⊄平面BC1D，OD⊂平面BC1D，

∴AB1∥平面BC1D

17.【答案】0.03

86

18.【答案】因为AD⊥平面PBD，PB⊂平面PBD，

所以AD⊥PB，

由，PA=2PB=2，得AB2+PB2=PA2，即AB⊥PB，

而AD∩AB=A，AD、AB⊂平面ABCD，

所以PB⊥平面ABCD，

又PB⊂平面PAB，

所以平面PAB⊥平面ABCD

[，2]

19.【答案】

在△ABP中，由正弦定理可得，

又AB=c，