小学数学六年级上册“比的应用（一）”核心素养导向深度导学案

小学数学六年级上册“比的应用（一）”核心素养导向深度导学案

一、课标分析与教材解读

【基础】本课时“比的应用（一）”隶属于小学数学课程中“数与代数”领域的核心内容，是学生在掌握了除法的意义、分数的意义、分数乘除法以及比的意义和基本性质之后进行的综合应用。课程标准（2022年版）在第三学段（5-6年级）对此内容提出了明确要求：能在具体情境中理解比的含义，会解决按比例分配的简单实际问题。这不仅是知识点的应用，更是培养学生模型意识、应用意识和推理能力的关键载体。教材在编排上，通常从生活实例入手，如稀释清洁剂、分配食物、调配混凝土等，引导学生理解“按比例分配”的现实意义，进而掌握解决此类问题的两种基本策略：一是将比转化为份数，先求出一份量，再求几份量；二是将比转化为分数，把各部分量占总量的几分之几作为解题的钥匙。

【重要】从知识脉络来看，“比的应用”是连接“比”与“实际生活问题”的桥梁。它既是对“比”这一抽象概念的具象化应用，也是后续学习比例、比例尺、正反比例以及初中物理、化学中涉及混合物浓度、密度计算等问题的重要基础。因此，本课时的教学不能仅仅停留在让学生机械地套用公式上，而应着力于引导学生在真实情境中理解数量关系，经历建模过程，体会数学的价值。教材通常设置由浅入深的问题串，从简单的“总数量已知”的分配问题，逐步过渡到“总数量未知，但已知部分量的比和其中一个部分量”的变式问题，旨在培养学生的思维灵活性和问题解决能力。

二、学情精准画像

【基础】六年级学生已经具备了较强的整数、小数和分数运算能力，对于“平均分”的概念根深蒂固。然而，“按比例分配”是一种“不平均”的分配，这是对学生原有认知的一种冲突与拓展。学生在前一阶段已经学习了“比”的意义，理解了比与除法、分数之间的关系，这为本课时的学习奠定了必要的知识基础。但在实际应用中，学生往往容易混淆“平均分”与“按比例分配”，或者难以从复杂的情境中抽象出“各部分量之间的比”。

【难点】学生在学习本课时可能遇到的障碍主要有两点：一是理解上的障碍，即难以将现实情境中的分配关系准确地转化为数学中的“比”，特别是当情境中涉及多个部分且关系交错时，例如，“男生与女生的人数比是5:4，后来又转来2名女生，此时男女比为10:9”，这种动态变化的问题对学生抽象思维要求较高。二是方法选择上的障碍，即面对不同类型的题目，不能灵活、简捷地选择解题策略，可能会陷入机械模仿的误区。因此，教学实施过程中，必须充分暴露学生的思维过程，通过对比、辨析，帮助他们建构清晰的解题模型。

三、教学目标层级设定

【基础】

1.知识与技能：理解按比例分配的意义，掌握按比例分配问题的结构特征和基本数量关系。能够运用“归一法”和“分数法”解决生活中的实际问题，并能正确、熟练地进行计算。

2.过程与方法：经历从具体情境中抽象出数量关系、探索解题方法的过程，培养模型意识和几何直观。通过小组合作与交流，提升分析问题、解决问题和语言表达的能力。

3.情感态度与价值观：感受数学与生活的密切联系，增强学习数学的兴趣和应用意识。在解决实际问题的过程中，培养实事求是、严谨认真的科学态度。

【核心】

4.【非常重要】核心素养聚焦：本课时重点培育学生的“模型意识”与“应用意识”。通过引导学生经历“现实情境—抽象比—建立模型—解释应用”的全过程，使学生能够将按比例分配问题视为一类具有相同数量关系的数学模型，并能主动运用该模型去解释和解决新情境中的问题。

四、教学重难点精准确立

【重点】掌握按比例分配问题的基本结构，能运用“归一法”和“分数法”解决问题。这是本课时的基本知识和技能目标，是学生后续学习的基础。

【难点】【高频考点】灵活、准确地理解题意，根据已知条件，正确找出各部分量之间的比，特别是当总量未直接给出时，能够利用各部分量之间的关系推导出总量与部分量的关系。这是对学生综合分析与推理能力的考验，也是各类考试中常见的拉分点。

五、教学准备与资源

1.教师准备：制作多媒体课件（PPT），内容包括生活情境图、问题探究的思维导图、典型例题的变式练习等。设计学习任务单，用于记录学生小组讨论和独立探究的过程。

2.学生准备：复习“比的意义”和“比的基本性质”，准备好课堂练习本和文具。

六、教学实施过程（核心环节深度展开）

（一）创设情境，唤醒经验，导入新课

【基础】课堂伊始，教师利用多媒体课件呈现一个生活场景：学校组织六年级学生参加植树活动。屏幕显示两个中队的植树情况——第一中队有40人，第二中队有36人。学校总共分发树苗152棵。教师提出问题：“如果要把这152棵树苗分给两个中队，怎样分比较公平？”

学生根据已有经验，通常会立刻回答“按人数分”、“平均分就不公平了，因为人数不一样”。教师顺势引导学生将“按人数分”转化为数学语言：“也就是按第一中队和第二中队人数的比来分，对吗？人数的比是多少？”引导学生化简为10:9。

由此，教师引出课题：“在生活中，很多分配问题都不是简单地平均分，而是要按照一定的‘比’来进行。今天，我们就来深入学习‘比的应用’。”此环节旨在从学生熟悉的“公平”问题入手，激发认知冲突，自然地将“平均分”过渡到“按比例分配”，为新知学习做好铺垫。

（二）探究新知，建构模型，提炼方法

1.探究“总量已知”的按比例分配问题

【核心】出示例题：植树活动中，第一中队与第二中队的人数比是10:9，总共分得152棵树苗。按人数分配，两个中队各应分得多少棵树苗？

教师引导学生小组合作，共同探究解决方法。这是本课时的核心环节，教师要在巡视中倾听学生的思路，鼓励多种方法。

【重要】汇报交流环节是思维碰撞的关键。教师组织学生代表上台展示解法，并阐述每一步的含义。

第一种方法（归一法）：学生可能列出算式10+9=19（份），152÷19=8（棵），8×10=80（棵），8×9=72（棵）。教师追问：“为什么要先算10+9？这里的‘8’表示什么？”引导学生明确“8”是一份的数量，也就是“每份数”。

第二种方法（分数法）：学生可能列出算式152×10/(10+9)=152×10/19=80（棵），152×9/19=72（棵）。教师追问：“这里的10/19表示什么？”引导学生明确“第一中队分得的棵数占总棵数的10/19”。

【非常重要】此时，教师要在黑板上进行结构化板书，清晰地呈现两种解题思路的对应关系。

归一法：总份数→一份量→各部分量。

分数法：总数量×各部分量占总量的几分之几。

通过对比，引导学生发现两种方法的联系与区别：归一法侧重于份数思想，每一步意义明确；分数法直接运用分数乘法，计算更为简捷。两种方法殊途同归，其核心都是抓住了“比”的本质。

2.深化理解，明确解题关键

【基础】教师再次强调：“无论是哪种方法，我们首先要做的，也是最关键的一步是什么？”引导学生回答：“先要根据比求出总份数。”总份数是连接“比”与“总量”的桥梁，是将“比”转化为可计算数量的前提。教师顺势总结出按比例分配问题的基本特征：已知总量和各部分量的比，求各部分量。

（三）变式练习，打破定势，提升思维

1.【难点】变式一：已知部分量的比和其中一个部分量，求另一个部分量（或总量）。

出示例题：在植树活动中，第一中队与第二中队的人数比是10:9，已知第一中队有80人，那么第二中队有多少人？两个中队一共有多少人？

学生独立尝试。此时，归一法的优势凸显出来。学生会想到：10份对应80人，那么一份就是80÷10=8（人），第二中队有9份，就是8×9=72（人）。总人数为80+72=152（人），或者先求总份数19份，再算8×19=152（人）。

教师引导思考：“如果用分数法，怎么解决？”引导学生找到对应关系：第一中队人数占总人数的10/19，那么总人数=80÷10/19=80×19/10=152（人），进而求出第二中队人数。通过此环节，让学生体会到，解题方法的选择应因题而异，当已知一个部分量时，归一法往往更直观、更简便。

2.【高频考点】变式二：已知两个量的比以及它们的差，求各部分量。

出示例题：在植树活动中，第一中队比第二中队多植了8棵树，两个中队植树的棵数比是10:9，两个中队各植树多少棵？

此问题是本课时的【难点】和【高频考点】，学生初次接触会感到困惑。教师引导学生借助线段图来分析。

在草稿纸上画出两条线段，第一条代表第一中队（10份），第二条代表第二中队（9份）。引导学生观察并讨论：“从图中你能看出，第一中队比第二中队多的那8棵树，对应的是几份？”学生通过观察线段图，很容易发现多出1份。那么，一份量就是8÷1=8（棵）。由此，所有问题迎刃而解。

教师引导学生总结：“解决这类问题的关键，是利用‘份数差’来求出‘一份量’。”同时，也可以引导学生用分数法思考：第一中队比第二中队多植的棵树占总棵树的(10/19-9/19)=1/19，那么总棵树=8÷1/19=152（棵），进而求出各部分量。此环节旨在培养学生数形结合的思想，将抽象的“差”转化为直观的“线段长度差”，从而突破难点。

3.【热点】变式三：连比问题。

出示例题：为了美化校园，学校把种花任务按人数分配给五、六两个年级。五年级有30人，六年级有24人。如果要把150盆花按人数分配给两个年级，各应分多少盆？

这里需要学生先将人数转化为最简整数比，30:24=5:4，然后再按比例分配。教师强调，在实际应用中，给定的比可能不是最简的，需要先化简，或者直接用人数作为比进行计算。通过此练习，巩固按比例分配问题的变式，提高学生灵活处理信息的能力。

（四）巩固练习，内化模型，形成技能

【基础】教师分层设计练习题，让学生当堂完成。

1.基础练习：一种混凝土是按水泥、沙子、石子的比2:3:5配制而成。要配制20吨这样的混凝土，需要水泥、沙子、石子各多少吨？（巩固基本模型，引入三个量的连比分配，【重要】需提醒学生总份数是各部分份数之和。）

2.辨析练习：判断对错。甲乙两数的比是3:5，那么甲数是乙数的3/5；乙数比甲数多2/5；甲数占两数之和的3/8；乙数比甲数多两数之和的2/8。（此题旨在辨析“比”、“分率”之间的关系，深化对“比”的理解。）

3.综合练习：用120厘米长的铁丝做一个长方体框架，长、宽、高的比是3:2:1。这个长方体的体积是多少立方厘米？（【难点】学生容易忽略“框架”的含义，需要先求出长宽高之和是120÷4=30厘米，再按比例分配。此题融合了立体图形知识，体现了跨学科的综合应用，考查学生审题的严谨性。）

（五）课堂总结，回顾反思，拓展延伸

教师引导学生回顾本节课的学习历程：“这节课我们解决了哪些问题？是用什么方法解决的？你最大的收获是什么？”

学生可能回答学会了用归一法和分数法解决按比例分配问题，或者认识到画线段图是分析问题的一个好帮手，或者体会到数学知识在生活中的广泛应用。

【非常重要】教师最后进行高度概括：“按比例分配问题的核心就是‘总份数’这个桥梁。无论题目如何变化，无论是已知总量、已知部分量还是已知差量，我们的首要任务都是找到‘一份量’或者‘各部分量与总量之间的关系’。希望同学们在今后的学习中，能够运用今天学到的方法，去解决生活中更多有趣的分配问题。”

七、板书设计（结构化呈现）

按比例分配（一）

一、基本模型：已知总量和比，求各部分量。

二、基本方法：

1.归一法：总份数→一份量→各部分量

(10+9)=19份

152÷19=8（棵）

8×10=80（棵）

8×9=72（棵）

2.分数法：总量×各部分占总量的几分之几

152×10/19=80（棵）

152×9/19=72（棵）

三、变式模型：

3.已知部分量+比→求另一个量：先求一份量

4.已知差量+比→求各部分量：份数差→一份量（线段图）

四、解题关键：

【核心】找准总份数，求出一份量或正确写出分率。

八、作业与拓展设计

1.【基础】课后练习题：完成教材中相关练习题，巩固按比例分配问题的基本解法。

2.【拓展】实践调查：请你回家调查一种生活用品（如饮料、消毒液、农药等）的配制说明书，看看上面是否涉及了“比”的应用。记录下来，并根据说明书，计算如果要配制一定量（如500毫升）的溶液，需要原液和水各多少毫升？第二天在班级进行分享。

3.【挑战】开放性问题：甲、乙、丙三人合租一辆车运货，甲在全程的1/4处下车，乙在全程的1/2处下车，丙到终点才下车。他们共付了120元运费。你认为怎样分摊运费比较合理？请说明你的理由，并用数学方法计算出各自应付多少元。（此题打破了“人数”或“工作量”的常规分配模式，引入了“路程”这一分配要素，且三人的路程比不是简单的整数比，需要学生先转化为整数比，再进行计算。这是对学生综合建模能力的极高挑战，旨在培养思维的深刻性。）

九、教学反思与预设

【重要】本课时的教学设计，始终以