五年级上册循环小数精讲｜循环节 有限无限

1前置知识回顾与问题引入演讲人前置知识回顾与问题引入01核心概念二：循环小数与循环节02核心概念一：有限小数与无限小数的区分03典型例题巩固与常见误区梳理04目录五年级上册循环小数精讲｜循环节有限无限各位同学，我是你们的小学数学老师，今天我们要学习的是五年级上册小数除法单元的核心内容——循环小数，这是我们第一次系统接触无限小数，对后续中学阶段数的分类学习有着非常重要的铺垫作用。在今天的课程中，我会带着大家从已经掌握的小数除法出发，一步步区分有限小数与无限小数，探究循环小数的核心特征，明确循环节的概念与书写规范，最后一起梳理常见误区，巩固所学内容。接下来我们正式开始。01前置知识回顾与问题引入1已有知识铺垫1.1小数旧知回顾在今天的新课之前，我们已经掌握了两部分相关基础：第一，我们已经学过小数的基础分类，根据整数部分是否为0可以分为纯小数和带小数；第二，我们已经掌握了小数除法的竖式计算方法，能正确计算除数是整数、除数是小数的除法，当除不尽时，我们可以用四舍五入法取商的近似数。但今天我们要研究的，是除不尽时商本身的规律，而不是它的近似结果。1已有知识铺垫1.2课前探究反馈我在昨天的预习作业里给大家留了三道竖式计算题：分别是$400÷75$、$1÷3$、$78.6÷11$，要求大家尽量多计算几位小数。我批改预习作业时发现，几乎所有同学都发现了一个反常的现象：不管算到第几位，永远都除不完，总会重复出现一模一样的余数。我从事五年级数学教学近十年，每次讲到这里都能感受到大家的好奇，为什么会出现这种情况？这些除不尽的结果有什么规律？我们一起来看板演的计算过程。2计算规律观察与核心问题提出2.1竖式计算的规律拆解我们先看$400÷75$的竖式计算：第一步商5，$5×75=375$，$400-375$余25，补0变为250，接着商3，$3×75=225$，$250-225$余25，再补0又得到250——这里余数再次变成了25，和第一次的余数完全相同，那接下来的商肯定还是3，永远会这样重复下去，最终的结果就是$5.3333\cdots$，永远写不完。我们再看$78.6÷11$，计算后得到结果$7.1454545\cdots$，这里从第二位小数开始，余数重复出现5和6，因此商就重复出现4和5，永远停不下来。2计算规律观察与核心问题提出2.2核心问题提出通过这两个例子我们发现，小数除法的结果不止我们之前见过的“能除尽”一种，还存在“永远除不完”的情况。今天我们就围绕这两种情况，理清四个核心概念：有限小数、无限小数、循环小数、循环节。我们先从最基础的分类开始，逐步推进。02核心概念一：有限小数与无限小数的区分1有限小数的定义与本质特征1.1有限小数的产生逻辑我们先看大家熟悉的例子：$1÷2=0.5$，$3÷4=0.75$，$10÷8=1.25$，这几个式子计算到最后，余数都会变为0，不需要再继续往下除，计算过程已经结束。1有限小数的定义与本质特征1.2有限小数的定义我们把小数部分的位数是有限的小数叫做有限小数。简单来说，就是你可以完整写出这个小数的所有数位，不需要用省略号表示。生活中我们见到的绝大多数测量结果都是有限小数，比如你的身高是1.45米，书包重2.85千克，这些都是典型的有限小数。2无限小数的定义与本质特征2.1无限小数的产生逻辑我们刚才计算的$400÷75$、$78.6÷11$，计算过程中余数永远不会变成0，总是会重复出现之前的余数，因此商的小数部分会一直延续下去，永远写不完，小数部分的位数没有尽头。2无限小数的定义与本质特征2.2无限小数的定义我们把小数部分的位数是无限的小数叫做无限小数。因为我们不可能写出无限多个数位，所以书写的时候一定要在末尾加上省略号表示，我改作业时发现，接近三分之一的同学会漏写这个省略号，这是入门阶段最容易犯的错误，大家一定要特别注意。3两个概念的逻辑梳理与误区辨析3.1划分标准有限小数和无限小数的划分标准只有一个：就是小数部分的位数是有限还是无限，和整数部分没有任何关系。比如$0.333\cdots$是无限小数，$1000.1212\cdots$也是无限小数，$100.12$是有限小数，我们只要看小数部分的位数就可以，不要被整数部分的位数干扰。3两个概念的逻辑梳理与误区辨析3.2常见误区纠正很多同学受之前所学知识的影响，会默认“所有小数都是有限的”，其实这是错误的。我们生活中也存在客观的无限小数，比如我们接触过的圆周率$π$，它就是一个无限小数，永远写不完，没有尽头。我们已经理清了有限小数和无限小数的区别，而在无限小数中，有一类非常特殊、有固定规律的小数，就是我们今天要学习的核心内容——循环小数，接下来我们深入探究它的特征和相关概念。03核心概念二：循环小数与循环节1循环小数的特征提炼1.1多案例对比分析我们把计算得到的不同结果列出来对比：①$400÷75=5.3333\cdots$②$1÷3=0.3333\cdots$③$78.6÷11=7.1454545\cdots$④$1÷7=0.142857142857142857\cdots$对比这四个结果我们可以发现：第一个例子从小数部分第一位开始，数字3不断重复；第三个例子从小数部分第二位开始，45两个数字不断重复；第四个例子从小数部分第一位开始，142857六个数字不断重复。它们的共同特征是：都有一组固定的数字，按照顺序不断重复出现，永远停不下来。1循环小数的特征提炼1.2循环小数的定义根据这个共同特征，我们得到循环小数的标准定义：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。2定义关键词拆解我在教学中发现，很多同学能背出这个定义，但是一做题就错，核心就是没有理解每个关键词的本质，我们逐字拆解：2定义关键词拆解2.1“小数部分”重复出现的数字必须出现在小数部分，整数部分的重复不算。比如数字333.12，整数部分的3重复了两次，但小数部分只有两位，没有重复，所以它不是循环小数。2定义关键词拆解2.2“从某一位起”重复开始的位置不固定，可以是小数部分的第一位，也可以是小数部分的任意一位，没有要求必须从第一位开始，所以不要误以为只有从小数部分第一位开始重复的才是循环小数。2定义关键词拆解2.3“依次不断重复出现”这里有三个核心要求：“依次”是指重复的数字顺序不变，每次都是一模一样的一组，不会乱也不会变；“不断”是指会一直重复下去，不会停止；“重复出现”是指这组数字会反复出现，不是只出现一两次。我举两个反例帮大家理解：$0.121213$，这里12只出现了两次，之后就变成13，没有不断重复，所以它不是循环小数；再比如$0.121121112$，这里1的个数每次都多一个，顺序发生了变化，不是依次重复，所以也不是循环小数。3循环节的概念与书写规范3.1循环节的定义循环小数中，小数部分依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。比如$5.333\cdots$的循环节是3，$7.14545\cdots$的循环节是45，$0.142857142857\cdots$的循环节是142857。3循环节的概念与书写规范3.2循环节的判断方法与常见错误判断循环节要记住两步：第一步，找到小数部分开始重复的起始位置；第二步，找到最小的那一组重复数字，就是循环节。我在上次单元测试中出过一道题，要求判断$1.2333\cdots$的循环节，有超过40%的同学答成“23”，这是典型错误，因为起始位置是第二位小数的3，只有3重复，所以循环节就是3，不是23，大家一定要注意，不要把不重复的部分算进循环节里。3循环节的概念与书写规范3.3循环小数的书写方法循环小数有两种标准书写方法：第一种是普通写法，写出至少两组完整的循环节，后面加上省略号，比如$0.333\cdots$、$7.14545\cdots$，这种写法不容易出错，适合入门学习。第二种是简便写法，只需要写出第一个循环节，然后在循环节的首位和末位的上面各点一个循环点，如果循环节只有一个数字，就只点一个点。比如$5.333\cdots$，简便写法就是在3上面点一个点；$7.14545\cdots$循环节是45，就在4和5上面各点一个点。这里要注意，如果循环节是三个或三个以上的数字，只需要点第一个循环节的首位和末位，中间不需要点，比如$0.123123\cdots$，只需要在1和3上面点，不用三个都点。4循环小数与无限小数的逻辑关系这里我给大家梳理一个考试中非常重要的结论：第一，循环小数一定是无限小数，因为循环小数要不断重复，小数部分位数一定是无限的；第二，无限小数不一定是循环小数，我们刚才提到的圆周率$π$，就是无限不循环小数，它没有重复的循环节，所以虽然它是无限小数，但不是循环小数。我们可以用包含关系梳理整体逻辑：小数分为有限小数和无限小数，无限小数又分为循环小数和无限不循环小数，循环小数属于无限小数的一部分。我们已经理清了所有核心概念，接下来我们通过典型例题和常见误区的梳理，巩固今天所学的内容，帮大家避开考试中的常见陷阱。04典型例题巩固与常见误区梳理1基础概念辨析1.1概念判断题解析判断下列说法是否正确：①无限小数一定是循环小数（×），解析：无限小数分为循环小数和无限不循环小数，比如圆周率$π$就是无限不循环小数，因此说法错误。②循环小数一定是无限小数（√），解析：循环小数的定义要求依次不断重复，因此小数部分一定是无限的，说法正确。③$3.141414$是循环小数（×），解析：这个数的小数部分只有6位，是有限小数，虽然14重复了两次，但没有不断重复，这是考试最常考的陷阱题，大家一定要注意。1基础概念辨析1.2循环节与简便写法练习②$2.1777\cdots$：循环节是7，简便写法为$2.1\dot{7}$03③$0.135135\cdots$：循环节是135，简便写法为$0.\dot{1}3\dot{5}$04写出下列循环小数的循环节和简便写法：01①$0.888\cdots$：循环节是8，简便写法为$0.\dot{8}$022计算中的实用技巧我们在做除法计算的时候，不需要一直除下去，只要在计算过程中发现有一个余数重复出现了，就可以确定商是循环小数，因为余数重复，商就一定会重复，这个技巧能帮大家节省大量计算时间。比如我们计算$400÷75$，第二次出现余数25的时候，就可以停止计算，直接写出结果了。3常见误区汇总我把多年教学中学生最常犯的错误整理出来，提醒大家注意：①把有限次重复的有限小数当成循环小数：比如$3.1212$是有限小数，不是循环小数，循环小数一定是无限的。②循环节判断错误：把不重复的部分算进循环节，比如$1.2333\cdots$错把循环节当成23。③书写错误：漏写省略号，或者循环点点错位置，比如多给中间的数字加点，或者点错循环节的首尾。总结3常见误区汇总今天我们从计算引入，由浅入深学习了循环小数相关的全部核心内容，最后我们再精炼概括核心要点：我们首先明确了小数的分类，按照小数部分位数的多少，小数