配方法（第2课时）2026-2027学年人教版数学九年级上册

25.2.1配方法（第2课时）人教版(2024)九年级上册第二十五章

一元二次方程学习目标12理解配方的基本过程，会用配方法解一元二次方程.在探究如何对比完全平方公式进行配方的过程中，进一步加深对化归的数学思想的理解．知识关联

【情境问题】根据方程x2+6x+9=5的求解思路，你能解一元二次方程x2+6x+4=0吗?

大家都知道，任何一个能变形为x2=p或(ax+b)2=c形式的一元二次方程，都可以用直接开平方法解。探索新知怎样解方程

x2＋6x＋4＝0？探究解方程(x＋3)2＝5时，因为它的左边是含有

x

的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程.那么，你能将方程

x2＋6x＋4＝0转化为

(x＋m)2＝n

的形式，再利用直接开平方法求解吗？转化解方程：x2+6x+4=0.2合作探究分析：要把方程x2+6x+4=0转化为像(x+3)2=5这种形式的方程，关键是将方程的左边转化为一个完全平方式.x2+6x+4=0

a2+2ab+b2=(a+b)2x2+6x+

=

.

32(x+3

)2移项x2+6x=−4配方x2+6x+9=−4+9因式分解(x+3)2=5一次项系数一半的平方解方程：(x+3)2=5.2合作探究

降次解方程：x2+6x+4=0.像这样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法.

配方是为了利用开方实现降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解.

【探究1】

完全平方式【操作尝试】问题：什么是完全平方公式?根据完全平方式的特点完成下列填空.探究与应用思考:要把一个二次项系数为1的二次三项式变成一个完全平方式,常数项该如何变化?（1）x2-18x+

=(x-

)2（2）x2-x+

=(x-

)2（3）x2+x+

=(x+

)2819常数项是一次项系数一半的平方

【理解应用】探究与应用例1

填上适当的数，使下列等式成立（1）

x2+12x+

=(x+6)2（2）x2-6x+

=(x-3)2（3）x2-4x+

=(x-

)2（4）x2+8x+

=(x+

)236942164探索新知怎样解方程

x2＋6x＋4＝0？探究使左边配成x2＋2bx＋b2的形式两边加

9x2＋6x＋4＝0移项x2＋6x＝－4x2＋6x＋9＝－4＋9左边写成完全平方形式(x＋3)2＝5降次

解一次方程

探索新知使左边配成x2＋2bx＋b2的形式两边加

9x2＋6x＝－4x2＋6x＋9＝－4＋9思考：为什么在方程

x2＋6x＝－4的两边加

9？加其他数行吗？不行，因为只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能配成完全平方式.3典例分析例2解下列方程：(1)x2−8x+1=0；(2)2x2+1=3x；(3)3x2−6x+4=0.分析：(1)方程的二次项系数为1，可直接运用配方法.解：移项，得

x2−8x=−1，

配方，得

x2−8x+42=−1+42，

(x−4)2=15，

3典例分析例2解下列方程：(1)x2−8x+1=0；(2)2x2+1=3x；(3)3x2−6x+4=0.分析：（2）方程的二次项系数为2，为了便于配方，可把二次项系数化为1.为此，方程的两边都除以2.

【探究2】解二次项系数为1的一元二次方程探究与应用2.配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤.【概括新知】一、移项，常数项移到等号右边；二、配方，写成（x+n)2=p(p≥0)；三、直接开平方；四、解一次方程.像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．1.配方法的定义

【探究3】解二次项系数不为1的一元二次方程

【思考交流】你能总结出用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤吗?探究与应用观察方程3x2+8x-3=0,它与上面我们所解的方程有什么不同?你有什么想法?移项，二次项系数化为1，配方，开方，降次求解.练习:

一元二次方程2x2-4x+1=0可配方成

后求解.

二次项系数不是1，而是3方程两边同时除以3，就化成了二次项系数为1的形式探索新知配方法像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法.基本思路：把方程化为(x＋n)2＝p的形式，将一元二次方程降次，转化成两个一元一次方程求解．配方方法：在方程两边加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1

的前提下进行的.探索新知1.移项，将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边；2.二次项系数化为1，方程左、右两边同时除以二次项系数；3.配方，方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方；4.降次，利用平方根的意义降次；5.解两个一元一次方程，移项、合并同类项.用配方法解一元二次方程的一般步骤：探索新知

3典例分析归纳总结

配方法的基本步骤：

将方程二次项系数化成1移项配方化为(x+n)2=p(n，p是常数，p≥0)的形式用直接开平方法求得方程的解

【理解应用】探究与应用例3解下列方程．(1)x2－8x＋1＝0；(2)2x2＋1＝3x；(3)3x2－6x＋4＝0.分析：(1)方程的二次项系数为1，直接运用配方法．(2)方程的二次项系数为2，为了便于配方，可把二次项系数化为1，为此，方程的两边都除以2.(3)与(2)类似，方程两边都除以3后再配方解：移项，得x2－8x＝－1配方，得x2－8x＋42＝－1＋42，

(x－4)2＝15.由此可得

【理解应用】探究与应用(2)2x2＋1＝3x；

解：移项，得2x2－3x＝－1.二次项系数化为1，得

配方，得

由此可得

【理解应用】探究与应用解

移项，得

3x2－6x＝－4二次项系数化为1，得配方，得∵实数的平方不会是负数，∴

x取任何实数时，(x－1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根．

x2－2x＝.x2－2x＋12＝＋12.(x－1)2＝

.(3)3x2－6x＋4＝0.当堂检测B当堂检测C4巩固练习3.阅读下列关于解方程：x2−2x−9=0的解题过程，解决下列问题．

解：

x2−2x=9①

x2−2x+1=9②

(x−1)2=9③

x−1=3或x−1=−3④

∴x1=4，x2=−2⑤(1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号）；(2)请你写出正确的解答过程．②4巩固练习

【探究2】有理数的概念及分类探究与应用

【拓展提升】

例4

用配方法求解下列问题.(1)求2x2-7x+2的最小值;

(2)求-3x2+5x+1的最大值.解：解：【探究2】有理数的概念及分类探究与应用

【拓展提升】

例5已知:x2+4x+y2-6y+13=0，求

的值.解：本节课学习了哪些知识点呢？配方法概念步骤通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法一移常数项；二配方；三写成

(x+