第1课时几何图形问题课件2026-2027学年人教版九年级数学上册

25.3(第1课时)几何问题与一元二次方程第二十五章

一元二次方程学习目标12能根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程．通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识.情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习

海边的海螺藏着数学密码.沿着海螺壳盘旋的纹理勾勒曲线，我们便能得到流畅匀称的黄金螺旋线；而支撑这条曲线完美形态的核心，正是经典的黄金分割比例.接下来，就让我们从一枚小小的海螺出发，走进黄金分割的奇妙世界.

【探究1】

直角三角形边的数量关系【操作尝试】探究与应用

问题1：勾股定理如何用字母表示?

问题2：勾股定理反映的是哪种三角形三边之间的数量关系?a2+b2=c2直角三角形三边之间的数量关系

【尝试交流】探究与应用问题3：是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这

样的三角形有多少个?

【探究1】

直角三角形边的数量关系分析:(1)怎样理解“连续”这个词?

(2)能否用含有相同未知数的量，表示这三个连续正整数?

(3)直角三角形的三边有怎样的数量关系？能用等式表示吗?解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x、x+1、x+2，其中x为正整数.

由勾股定理，得x2+(x+1)2=(x+2)2.

解方程，得x1=3，x2=-1(不符合题意，舍去).因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3、4、5.2合作探究例1是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形?如果存在，这样的三角形有多少个?解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x，x+1，x+2，其中x

为正整数.

本题中的数量关系是什么？2合作探究例1是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形?如果存在，这样的三角形有多少个?解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x，x+1，x+2，其中x

为正整数.

由勾股定理，得x2+(x+1)2=(x+2)2.解方程，得x1=3，x2=−1(不符合题意，舍去).因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3，4，5.情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（如图），如果，那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比.ABC解：由，得AC2＝AB·BC，设AB＝1，AC＝x，∴x2＝1×(1－x)即x2＋x－1＝0解这个方程，得（不合题意，舍去）则BC＝1－x.所以，黄金比

一此有关线段成比例的问题，往往可转化为利用一元二次方程求解的问题，再通过求解方程，获得问题的答案.黄金分割ABC黄金分割是一种分割线段的方法，每条线段有两个黄金分割点.如图，点C和点D都是线段AB的黄金分割点.D并且AD＝BC，AC＝BD.较长线段原线段＝较短线段较长线段

【探究2】几何规则图形的面积问题

【思考交流】能根据以上设两邻边长的方法列方程求解上述问题吗？比较这些设法，说说它们各自的特点.探究与应用思考2：对于上述的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种.例如:(2)可设一边长为(10+x)m，那么其邻边长为(10-x)m.(1)可设一边长为xm，那么其邻边长为

m;2合作探究例2用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96m2的矩形区域?如果能围成，这样的矩形是否唯一?解：设矩形的一边长为x，由矩形的周长为40m，可得此边的邻边长为(20−x)m；由矩形的面积为96m2，得x(20−x)=96.解方程，得x1=12，x2=8.方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域?2合作探究例2用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96m2的矩形区域?如果能围成，这样的矩形是否唯一?解：设矩形的一边长为x，由矩形的周长为40m，可得此边的邻边长为(20−x)m.由矩形的面积为96m2，得x(20−x)=96.解方程，得x1=12，x2=8.因此，用一根长为40m的细绳可以围成面积为96m2的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8m，12m.情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习BEMNACD

黄金分割数在很多优美的图案中都有体现，如在常见的正五角星中存在黄金分割数.在随后的“相似”内容的学习，通过解一元二次方程，可以证明

再如，观察“情境引入”中鹦鹉螺外壳的截面，可以看出其轮廓形如螺线，而黄金螺线恰恰是通过黄金分割数得到的.情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习黄金分割在生活、艺术等方面还有很多应用.......

【理解应用】探究与应用例3

图是矩形养鸡场的平面示意图，其中一面靠墙，另外三面用竹篱笆围成。若竹篱笆总长为35m，所围矩形养鸡场的面积为150m2，则此矩形养鸡场的长、宽分别为多少?解：设矩形养鸡场的平行墙的一边长为xm，则与它相邻的边为(35-x)m.根据题意，得x(35-x)=150,解得x1=15，x2=20.答：矩形养鸡场的长、宽分别为15m、10m,

或20m、7.5m2合作探究思考

对于例2中的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种，小组讨论并分享你的新方法.请根据以上设两邻边长的方法列方程求解例2，比较这些设法，说说它们各自的特点.

(2)

可设一边长为(10+x)m，那么其邻边长为(10−x)m.2合作探究

解方程，得x1=12，x2=8.因此，用一根长为40m的细绳可以围成面积为96m2的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8m，12m.2合作探究解法3：设一边长为(10+x)m，那么其邻边长为(10−x)m.由矩形的面积为96m2，得(10+x)(10−x)=96.解方程，得x1=2，x2=−2.因此，用一根长为40m的细绳可以围成面积为96m2的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8m，12m.所以，10+x=12或8.

1．张老汉打算在自家的责任田中圈出一块面积为160m2的矩形土地种植黑苦荞麦，为方便种植，圈出的矩形土地的长与宽应相差15m，设该矩形土地的长为xm，则可列方程为()A．x(x－15)＝160