实际问题与一元二次方程（第2课时）课件2026-2027学年人教版九年级数学上册

25.3(第2课时)传播问题与一元二次方程第二十五章

一元二次方程学习目标12能正确列出关于传染病问题、增长率问题的一元二次方程．体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识.情境引入

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当堂练习看一看：观察下图中图形的构成，试着发现它们的规律.每次变化都是由一个铃铛变化出3个铃铛知识关联

【情境问题】1.谚语“一传十、十传百、百传千千万”的意思是什么?2.小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是50分，第二次月考数学成绩增长了20%，第三次月考数学成绩又增长了20%，你能列式表示出小明第三次月考数学成绩是多少吗?思考：情境引入

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当堂练习某种传染病的传染速度很快，如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？第2轮第1轮第1轮传染后人数x+1第2轮传染后人数x(x+1)+x+1A可以二次传染......12x12xAA...12x...12x...12x2合作探究探究1某种传染病的传染速度很快.如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人?分析：设每轮传染中平均1个人传染了x个人.第一轮后共有

个人被传染；第二轮后共有

个人被传染.小明............x个人x个人x个人...x个人...x个人小明1+x1+x+x(x+1)情境引入

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当堂练习如果按照这样的感染速度，第三轮感染过后总共会有多少人感染病毒？121+121×10=113=1331(人)解决“传播问题”的关键步骤是：明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数．

【尝试交流】探究与应用思考1:如果按照这样的传染速度，经过三轮感染后共有多少个人患流感？

【探究1】

传播问题（1+x）2+x（1+x）2=（1+x）3第n轮的传播后的量=传播前的量×(1+传播速度)n思考2:经过n轮感染后呢？2合作探究分析：设每轮传染中平均1个人传染了x个人.第一轮后共有

个人被传染；第二轮后共有

个人被传染.第三轮后共有

个人被传染....第n轮后共有

个人被传染.1+x1+x+x(x+1)(1+x)2(1+x)3(1+x)n被传染人数呈指数增长，传染轮次越多，感染人数会急剧扩张.及时阻断传播链条，能快速压低感染规模，避免疫情大规模扩散，凸显科学防疫的必要性.传播问题1.在传播问题和树干问题中的数量关系时它们有何区别？每个支干只分裂一次，每名患者每轮都传染.2.解决这类传播问题有什么经验和方法？(1)审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；(2)可利用表格梳理数量关系；(3)关注起始值、新增数量，找出变化规律.运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤建立一元二次方程模型实际问题分析数量关系设出未知数实际问题的解解一元二次方程一元二次方程的根检验

【探究2】平均变化率问题【尝试交流】探究与应用

两年前生产1t甲种食品的成本是10000元，生产1t乙种食品的成12000元。随着生产技术的进步，现在生产1t甲种食品的成本是6000元，生产1t乙种食品的成本是7200元。哪种食品成本的年平均下降率较大?分析:1.容易求出，甲种食品成本的年平均下降额为(10000-6000)÷2=2000(元)，

乙种食品成本的年平均下降额为(12000-7200)÷2=2400(元).显然，乙种食品成本的年平均下降额较大，但年平均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数).2.若设甲种食品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种食品成本应怎样表示？两年后呢?则一年后甲种食品成本为5000（1-x）元，两年后甲种食品成本为5000（1-x）2元．

【探究2】

平均变化率问题探究与应用解：设甲种食品的年平均下降率为x.根据题意，可列方程5000(1－x)2=3000，x1≈0.225，x2≈1.775.答：根据问题的实际意义，甲种食品成本的年平均下降率约为22.5％.为什么选择22.5%作为答案？请计算乙种食品成本的年平均下降率，并比较两种食品成本的年平均下降;经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的食品，它的成本下率一定大吗?应怎样全面比较几个对象的变化情况?2合作探究探究2两年前生产1t甲种食品的成本是10

000元，生产1t乙种食品的成本是12

000元.随着生产技术的进步，现在生产1t甲种食品的成本是6

000元，生产1t乙种食品的成本是7

200元.哪种食品成本的年平均下降率较大?分析：甲种食品成本的年平均下降额为

，乙种食品成本的年平均下降额为

.显然，

的年平均下降额较大.但年平均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数).(10

000−6000)÷2=2000(元)(12000−7200)÷2=2400(元)乙种食品成本根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小于1的正数，应选0.225．所以，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%．2合作探究解：设甲种食品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种食品成本为10

000(1−x)元，两年后甲种食品成本为10

000(1−x)2元，于是有10000(1−x)2=6000.解方程，得

x1≈0.225，x2≈1.775.根据问题的实际意义，甲种食品成本的年平均下降率约为22.5%.为什么选择22.5%作为答案?情境引入

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当堂练习某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.(1)每轮分裂中平均每个有益菌

可分裂出多少个有益菌？(2)按照这样的分裂速度，经过

三轮培植后共有多少个有益菌？情境引入

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当堂练习有益菌的初始数目本轮分裂出的有益菌数目本轮结束有益菌总数第一轮第二轮第三轮6060x60(1+x)60(1+x)60(1+x)x解：(1)设每个有益菌一次分裂出

x个有益菌，则60+60x+60(1+x)x=24000.∴x1=19，x2=−21(舍去).∴每个有益菌一次分裂出19个有益菌.分析：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出

x个有益菌.

【探究2】

平均变化率问题探究与应用

【概括新知】若基数为a，增长(或下降)率为x，n为增长(或下降)次数，b为变化后的结果，其基本关系式是a(1±x)n=b.平均增长率(或下降率)问题:平均变化率问题的注意事项：增长时，变化率没有限制，降低时，变化率要小于1

【理解应用】探究与应用例2

劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克。若平均每年的增产率相同，求平均每年的增产率.解:设平均每年的增产率为x.答:平均每年的增产率为10%.根据题意，得300(1+x)2=363,解得x1=0.1=10%，x2=-2.1(不合题意,舍去).2合作探究解：设乙种食品成本的年平均下降率为y，则一年后乙种食品成本为12000(1−y)元，两年后乙种食品成本为12000(1−y)2元，于是有12000(1−y)2=7200.解方程，得

y1≈0.225，y2≈1.775.根据问题的实际意义，乙种食品成本的年平均下降率约为22.5%.请计算乙种食品成本的年平均下降率，并比较两种食品成本的年平均下降率.2合作探究思考

经过计算，你能得出什么结论?成本下降额大的食品，它的成本下降率一定大吗?应怎样全面比较几个对象的变化情况?答：两种药品成本的年平均下降率相等，成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大．成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况．情境引入

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当堂练习某年，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致，非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快，某养猪场第一天发现1头生猪发病，两天后发现共有196头生猪发病．(1)求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？(1)解：设每头发病生猪平均每天传染x头生猪，依题意，得：

，解得：

，

（不合题意，舍去）．答：每头发病生猪平均每天传染13头生猪．情境引入

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当堂练习(2)若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，3天后生猪发病头数会超过2500头吗？(2)解：3天后生猪发病头数为：

（头），

，答：若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过2500头．3典例分析中考演练（2026山西）某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1

200台，5月份的产量为1

600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（

）A．1200(1+x)=1600 B．1200(1+2x)=1600C．1200(1+x)2=1600 D．1600(1−x)2=1200C3典例分析中考演练（2025四川泸州(节选））某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．求乙种商品