综合运用提公因式法和公式法课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

17.2.3综合运用提公因式法和公式法第十七章

因式分解复习引入因式分解提公因式法公式法完全平方公式平方差公式

因式分解的方法有哪些？pa＋pb＋pc＝p(a＋b＋c)a2－b2＝(a＋b)(a－b)a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2a2－2ab＋b2＝(a－b)2探究与应用(教材典题)分解因式:(1)x4-y4; (2)a3b-ab.活动能多次运用公式法或综合运用提公因式法和公式法

进行因式分解解:(1)x4-y4=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y).(2)a3b-ab=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1).例1

分解因式:(1)16x4-1; (2)4x3-16xy2.变式解:(1)16x4-1=(4x2+1)(4x2-1)=(4x2+1)(2x+1)(2x-1).(2)4x3-16xy2=4x(x2-4y2)=4x(x+2y)(x-2y).例1

分解因式：(1)x⁴-y⁴;

(2)a³b-ab.分析：

在(1)中，x⁴-y⁴可以写成(x²)²-(y²)²的形式，可用公式法分解因式.对于(2)，a³b-ab的两项有公因式ab，可以先提出公因式，再进一步分解因式.例1

分解因式：(1)x⁴-y⁴;

(2)a³b-ab.解：(1)x⁴-y⁴=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y).(2)a³b-ab.=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1).分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.通过对例1的学习，你有什么收获？1.因式分解的步骤：(1)先提取公因式；(2)再用公式法因式分解.2.分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止

．

(教材典题)分解因式:(1)3ax2+6axy+3ay2; (2)-ax2+2a2x-a3.例2解:(1)3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2.(2)-ax2+2a2x-a3=-a(x2-2ax+a2)=-a(x-a)2.

分解因式:(1)9x3y-6x2y2+xy3; (2)-12x3+12x2-3x.变式解:(1)原式=xy(9x2-6xy+y2)=xy(3x-y)2.(2)原式=-3x(4x2-4x+1)=-3x(2x-1)2.跟踪训练

把下列各式因式分解：(1)x2(y2-1)+2x(y2-1)+(y2-1); (2)(x2-1)2-6(x2-1)+9.解：(1)x2(y2-1)+2x(y2-1)+(y2-1)=(y2-1)(x2+2x+1)=(y+1)(y-1)(x+1)2.解：(2)(x2-1)2-6(x2-1)+9=(x2-1-3)2=(x2-4)2=(x+2)2(x-2)2.应用1简便计算1.利用因式分解计算：(1)1012＋492＋101×98；【解】原式＝1012＋2×101×49＋492＝(101＋49)2＝1502＝22500.1.分解因式：（1）x2y－4y；（2）a3－2a2＋a；

（3）ax2＋2a2x＋a3；（4）－a4＋16；

（5）3a－6ax＋3ax2；（6）－4bx2＋8bxy－4by2．解：（1）x2y－4y＝y(x＋2)(x－2)；

（2）a3－2a2＋a＝a(a2－2a＋1)＝a(a－1)2；

（3）ax2＋2a2x＋a3＝a(x2＋2ax＋a2)＝a(x＋a)2；

（4）－a4＋16＝－(a2＋4)(a2－4)＝－(a2＋4)(a＋2)(a－2)；（5）3a－6ax＋3ax2＝3a(1－2x＋x2)＝3a(x－1)2；

（6）－4bx2＋8bxy－4by2＝－4b(x2－2xy＋y2)＝－4b(x－y)2．

(教材补充例题)简便计算:2022+202×196+982.例3解:2022+202×196+982=2022+2×202×98+982=(202+98)2=3002=90000.计算中巧用因式分解相同数字字母换;变成公式再巧算.学

技巧(2)8002－1600×798＋7982；【解】原式＝(800－798)2＝22＝4.(3)3.142＋6.28×6.86＋6.862.返回【解】原式＝(3.14＋6.86)2＝102＝100.2.分解因式：（1）(a－b)2＋4ab；

（2）(p－4)(p＋1)＋3p．解：（1）(a－b)2＋4ab

（2）(p－4)(p＋1)＋3p

＝a2－2ab＋b2＋4ab＝p2－4p＋p－4＋3p

＝a2＋2ab＋b2＝p2－4

＝(a＋b)2；＝(p＋2)(p－2)．先展开式子、合并同类项后，再应用公式因式分解．(2)(a-b)(a-4b)+ab=a2-5ab+4b2+ab=a2-4ab+4b2=(a-2b)2.解：(1)(x-1)2+2(x-5)=x2-2x+1+2x-10=x2-9=(x+3)(x-3).【例3】分解因式:(1)(x-1)2+2(x-5);(2)(a-b)(a-4b)+ab.能直接分解因式吗？

简便计算:20252-2024×2026.变式解:20252-2024×2026=20252-(2025-1)(2025+1)=20252-20252+1=1.应用2化简求值2.若a2－2a－2＝0，则a3＋a2－8a＋2026的值为

.2032返回3.如果a＋b＝3，ab＝1，那么a3b＋2a2b2＋ab3的值为(

)A.0 B.1C.4 D.9D4.［2025潍坊］先化简，再求值：x(5x－8y)－4(x－y)2，其中x，y满足x＋2y＝0.【解】x(5x－8y)－4(x－y)2＝5x2－8xy－4(x2－2xy＋y2)＝5x2－8xy－4x2＋8xy－4y2＝x2－4y2.因为x＋2y＝0，所以x2－4y2＝(x＋2y)(x－2y)＝0×(x－2y)＝0.返回

（1）因式分解的一般步骤是什么？每一步的关键要点是什么？（2）因式分解中有哪些常见错误？解题中如何避免？可以结合课堂练习说一说．课堂