2026年暑假小升初数学衔接专题02有理数、数轴（精讲）

第1页（共8页）预备预备新初一数学专题02有理数、数轴1．理解有理数的概念．2．会对有理数按一定的标准进行分类，体会分类讨论的思想方法．3．理解数轴的概念，掌握数轴的画法，能用数轴上的点表示有理数，体会数形结合的思想方法．1．有理数的概念（1）整数：正整数、0、负整数统称为整数．（2）分数：正分数、负分数统称为分数．（3）有理数：可以写成分数形式的数称为有理数．其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数为负有理数．（4）部分常用的数正整数：大于0的整数．负整数：小于0的整数．正有理数：可写成（，是正整数）的形式的数．负有理数：可写成（，是正整数）的形式的数．非负数：正数和0．非负整数：正整数和0．2．有理数的分类3．数轴（1）定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴．原点将数轴（原点除外）分成两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴；另一侧的部分叫作数轴的负半轴．（2）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度．（3）数轴的画法：①画一条水平的直线．②在直线上适当选取一点为原点．③通常规定从原点向右为正方向，用箭头表示出来（箭头标在画出部分的最右边）．④根据需要，选取适当的长度为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一个点，依次为1，2，3，…，从原点向左，用类似的方法依次标出–1，–2，–3，…，如图所示：4．数轴上的点与有理数的关系有理数可以用数轴上的点表示．一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度；表示数－a的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是a个单位长度．题型01有理数的认识（1）事实上，有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此它们也可以看成分数．（2）正整数可以写成正分数的形式，例如；负整数可以写成负分数的形式，例如；0也可以写成分数的形式．这样，整数可以写成分数的形式．（3）可以写成分数形式的数称为有理数．其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数为负有理数．学以致用学以致用【例1】（2026•公主岭市二模）下列各数：﹣1，π3，4.112134，0，227，A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解答】解：根据题意可知只有π3是无理数，﹣1，4.112134，0，227，3.14都是有理数，共有故选：D．【例2】（2026春•南宁校级月考）在﹣2，3.14，227，π2，80%，A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】B【解答】解：﹣2是整数，3.14，227，80%是分数，它们都是有理数，共4故选：B．【例3】（2025秋•南部县期末）在﹣π，0，﹣2，0.1010010001…，3.14%，227A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【答案】C【解答】解：由题意可得：有理数有0，-2，故选：C．题型02有理数的分类1．有理数的分类（1）引入负数后，我们对数的认识就扩大到了有理数范围．0既不是正数，也不是负数．所以，有理数可以分为正有理数，0，负有理数．（2）在习惯上我们将正有理数和零称为非负有理数，将负有理数和零称为非正有理数，将正整数和零称为非负整数（即自然数），将负整数和零称为非正整数．（3）所有正有理数组成正有理数集合，所有负有理数组成负有理数集合．所有正整数组成正整数集合，所有负整数组成负整数集合．2．小数与有理数的关系学以致用学以致用【例4】（2026•茂名一模）下列四个数中，是负整数的是（）A．-12 B．0 C．﹣3 D【答案】C【解答】解：A．-1B．0既不是正数也不是负数，不符合题意；C．﹣3是负整数，符合题意；D．7是正整数，不符合题意，故选：C．【例5】（2026•南昌一模）下列各数中，是正有理数的是（）A．π B．3 C．0 D．﹣1【答案】B【解答】解：∵π是无理数，3是正有理数，0既不是正数，也不是负数，﹣1是负数，∴A，C，D选项不符合题意，B选项符合题意，故选：B．【例6】（2025秋•锦江区校级期末）下列各数中，既是负数又是整数的是（）A．0 B．﹣8 C．0.1 D．1【答案】B【解答】解：∵负数是小于0的数，整数包括正整数、0、负整数，∴对各选项分析如下：A选项，0是整数，但不是负数；B选项，﹣8＜0，是负数，同时﹣8是负整数；C选项，0.1是正数且是小数；D选项，12∴既是负数又是整数的是﹣8，故选：B．题型03数轴的画法1．数轴的三要素原点、正方向和单位长度，称为数轴的三要素．在解决问题时，可以灵活选定原点的位置、正方向的朝向、单位长度的大小，但一经选定，就不能再改变．（如不能在同一道题中，第（1）小题选向西为正方向，第（2）小题又选向东为正方向．）2．长度单位和单位长度的区别（1）长度单位：长度单位是用于测量的标准单位，如米（m）、厘米（cm）等．（2）单位长度：单位长度是一个相对长度，通常用于数轴上表示点之间的距离．例如，在数轴上，可以定义1个单位长度代表1cm或0．6cm或其他任意指定的长度．3．画数轴时常见错误（1）漏画原点；（2）没有标出正方向；（3）没有标出单位长度或单位长度不统一；（4）标数时顺序错误；（5）画成射线．学以致用学以致用【例7】（2025秋•海伦市期末）下列数轴画法正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A、没有正方向，故A选项不符合题意；B、没有单位长度，故B选项不符合题意；C、原点、正方向、单位长度三要素正确，故C选项符合题意；D、没有原点，正数和负数的位置错，故D选项不符合题意．故选：C．【例8】（2025秋•青羊区校级期末）下列四个数轴的画法中，规范的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A．因为A选项中所画数轴单位长度不一致，故A选项不符合题意；B．因为B选项中所画数轴没有原点，故B选项不符合题意；C．因为C选项中所画数轴规范，故C选项符合题意；D．因为D选项中所画数轴没有正方向，故D选项不符合题意．故选：C．【例9】（2025秋•迪庆州校级期末）下列关于数轴的图示，画法正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、单位长度不统一，故选项错误；B、正方向不符合习惯，故本选项错误；C、没有正方向，故本选项错误；D、画法正确，故本选项正确．故选：D．题型04在数轴上表示数（1）在小学，我们曾经在有刻度的直线上表示出0和正数，并借助这种图形来直观理解和分析问题，下面我们在此基础上直观表示有理数．（2）在数学中，可以用一条直线上的点表示数，它满足以下三个条件：①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；②通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似方法依次表示–1，–2，–3，…像这样，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴．原点将数轴（原点除外）分成两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴；另一侧的部分叫作数轴的负半轴．学以致用学以致用【例10】（2026•碑林区校级模拟）如图，数轴上AB两点之间的距离为6，A表示的数是3，则点B表示的数是（）A．﹣6 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣3【答案】D【解答】解：点B表示的数是3﹣6＝﹣3．故选：D．【例11】（2026•孝感模拟）如图，数轴上表示﹣3的点是（）A．M B．N C．O D．P【答案】A【解答】解：数轴上表示﹣3的点是M．故选：A．【例12】（2021秋•饶平县校级同步）画一条数轴，并在数轴上标出下列各数．﹣3，212，﹣1.5，0，+3.5，【答案】见解答．【解答】解：如图：题型05数轴的应用数轴上的点与有理数的关系任意一个有理数，都可以用数轴上唯一的一个点来表示．有理数对应数轴上的一部分点，即数轴上还有一部分点不表示有理数，如π，不是有理数，也可以用数轴上的点来表示．学以致用学以致用【例13】（2026•云浮二模）数轴上的点A表示﹣2，将点A向左平移2个单位后得到点B，那么点B表示的数为（）A．﹣4 B．﹣1 C．0 D．1【答案】A【解答】解：数轴上的点A表示﹣2，将点A向左平移2个单位后得到点B，那么点B表示的数为﹣2﹣2＝﹣4．故选：A．【例14】（2026•栾城区校级模拟）如图，某同学用直尺画数轴，数轴上点A，B分别在直尺的1cm，9cm处，若点A对应﹣2，直尺的0刻度位置对应﹣4，则点B对应的数为（）A．6 B．7 C．12 D．14【答案】D【解答】解：∵直尺的0刻度位置对应﹣4，数轴上点A在直尺的1cm处且点A对应﹣2，∴直尺上1cm代表数轴上2个