概率论与数理统计-五大数定理

概率论与数理统计五大数定理例1利用切比雪夫不等式估计随机变量与其数学期望的差大于三倍标准差的概率.解当X的分布未知时，利用E(X)、D(X)可以得到关于概率的粗略估计。放大被积函数其值也大放大积分区间其值也大[注]：2例2为了确定事件A

的概率,进行了10000次重复独立试验.

利用切比雪夫不等式估计：用事件A

在10000次试验中发生的频率作为事件A

的概率近似值时,误差小于0.01的概率.解设事件A

在每次试验中发生的概率为p，在这10000次试验中发生了X

次,则因此，所求事件的概率为3的数学期望是：独立随机变量的算术平均值：二、大数定理的方差为：∴若方差一致有上界，则当n充分大时，随机变量分散程度是很小的，由此，也就是说，的值较紧密地聚集在它的数学期望的附近.4切比雪夫定理：设独立随机变量,则对于任何正数

，恒有分别有数学及方差即存在某一常数K，使得且方差是一致有上界的，期望并按概率收敛于当时，按概率收敛于零。或说这就是说，5证并注意到概率不能大于1，得证.对于随机变量由切比雪夫不等式所以6若对于任何正数

，定义：记作当时按概率收敛于数a，则称随机变量[注]：则的算术平均值当期望

及方差，设独立随机变量服从同一分布,并且有数学时，按概率收敛于μ，即对于任何正数

，恒有推论(辛钦大数定律)7伯努利定理：在独立试验序列中，当试验次数无限增加时，事件A的频率按概率收敛于事件A的概率.概率很小的事件在个别试验中是不可能发生的。小概率事件的实际不可能性原理：即：设事件A的概率

P(A)=p，发生的次数，事件A的频率为恒有m表示A在n

次独立试验中则对于任何正数

，

8大家应该也有点累了，稍作休息大家有疑问的，可以询问和交流9若次品率不大于0.01，则任取200件，发现6件次品的概率应不大于利用泊松定理，取λ=200×0.01=2此概率很小，据小概率事件的实际不可能性原理，∴不能相信该工厂的次品率不大于0.01。品能否相信该工厂的次品率不大于0.01。例3从某工厂的产品中任取200件，检查结果发现其中有6件次解10设事件表示“在n次独立试验中，事件A发生”；表示“在第i次试验中，事件A发生”。而显然，例4设在每次试验中，事件A发生的概率均为p(0<p<1)，且p很小(小概率事件)，求在n次独立试验中，事件A发生的概率。解[注]小概率事件尽管在个别试验中不可能发生，但在大量试验中几乎必然发生。11第二节中心极限定理概率论中有关论证随机变量的和的极限分布是正态分布的定理叫做中心极限定理。设是独立随机变量，并各有则：12设独立随机变量林德伯格条件林德伯格定理:则当时,有若每一个别随机变量对于总和不起主要作用，[注]当n

充分大时,近似地服从正态分布13列维定理则当时，它们和的极限分布是正态分布，即(z为任意实数.)考虑随机变量:则学期望和方差：设独立随机变量服从同分布,并且有数14解由列维定理知,所求的概率例1计算机进行加法计算时,把每个加数取为最接近于它的整数来计算.设所有的取整误差是相互独立的随机变量,并且都在区间[-0.5,0.5]上服从均匀分布,求300个数相加时误差总和的绝对值小于10的概率。设随机变量表示第i个加数的取整误差，则在区间上服从均匀分布，并且有15德莫威尔—拉普拉斯定理其中z

是任何实数，设在独立实验序列中，事件A

在各次实验中发生的概率为随机变量表示事件A在n

次实验中发生的次数，则有

由于随机变量服从二项分布拉斯定理说明：当n

充分大时，服从的随机变量所以德莫威尔—拉普近似地服从正态分布16(1)已知n=200,p=0.75，解np=150，(1)任一时刻有144至160台机器正在工作的概率；(2)需供应多少电功率可以保证所有机器正常工作的概率例2200台同类型的机器，每台工作时所需电功率为Q千瓦，每台实际工作时间占全部工作时间的75%，各台机器是否工作是相互独立的。求：不小于0.99。17(2)设任一时刻正在工作的机器的台数不超过m，则：所以需要供应165Q千瓦的电功率。18例3.在一家保险公司里,有10000人参加某险种的保险,每人每年付120元保险费,在一年内1个人死亡的概率为0.007,死亡时其家属可向保险公司领取10000元,求