集合的运算补集教案

一、教学目标1.知识与技能：*使学生理解全集和补集的含义，能准确叙述补集的定义。*掌握补集的符号表示，会用Venn图直观表示一个集合的补集。*初步学会运用补集的思想解决一些简单的集合运算问题。2.过程与方法：*通过具体实例引入全集和补集的概念，引导学生经历从具体到抽象的思维过程。*通过对补集定义的深入剖析和Venn图的运用，培养学生的逻辑思维能力和数形结合能力。*通过练习，提升学生运用数学符号语言表达和解决问题的能力。3.情感态度与价值观：*在概念形成过程中，感受数学的严谨性与抽象性。*在解决问题的过程中，体验数学的应用价值，激发学习数学的兴趣。*培养学生合作交流的意识，以及独立思考、勇于探索的精神。二、教学重难点*教学重点：补集的概念及其符号表示；补集的运算。*教学难点：理解全集的相对性；运用补集的思想解决实际问题。三、教学方法引导发现法、问题驱动法、讲练结合法。四、教学过程（一）复习旧知，引入新课师：同学们，我们之前学习了集合的基本概念，以及集合间的基本关系，还有集合的两种基本运算——交集和并集。谁能回忆一下，什么是交集？什么是并集？它们的符号分别是什么？（学生回答，教师简要板书或PPT展示）师：很好。我们知道，交集是指由所有既属于集合A又属于集合B的元素所组成的集合；并集是指由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合。今天我们来学习集合的另一种重要运算——补集。（板书课题：集合的运算——补集）（二）新知探究1.创设情境，引入全集师：在我们日常生活中，常常会遇到这样的情况：我们所研究的对象往往是在一个特定的范围内。比如，我们要考察一个班级学生的数学成绩，那么这个班级的所有学生就是我们研究的范围；如果要考察某所学校学生的身高情况，那么这所学校的所有学生就是研究的范围。在集合论中，我们把所研究问题中涉及的所有元素组成的集合称为全集。（板书：1.全集(UniverseSet)）师：通常用大写字母U来表示全集。需要注意的是，全集是相对于所研究的问题而言的，不同的问题，全集可能不同。例如，当我们讨论实数范围内的方程解时，全集U就是实数集R；当我们只讨论正整数时，全集U可能就是正整数集N*。2.概念形成，定义补集师：有了全集的概念，我们就可以定义补集了。请大家思考这样一个问题：设全集U是我们班的所有同学，集合A是我们班所有男生组成的集合。那么，在全集U中，除了集合A中的元素（男生），剩下的元素是什么呢？（学生思考后回答：女生）师：非常好。我们把这些“剩下的元素”组成的集合，就叫做集合A在全集U中的补集。师：一般地，设U是一个全集，A是U的一个子集（即A⊆U），由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集合A在全集U中的补集（或余集）。（板书补集的定义，并强调关键词：“U中所有不属于A的元素”）3.符号表示与Venn图师：集合A在全集U中的补集记作∁_UA，读作“A在U中的补集”。（板书：符号表示：∁_UA={x|x∈U且x∉A}）师：我们也可以用Venn图来直观地表示补集。（画出一个矩形表示全集U，在矩形内部画一个圆表示集合A，那么圆以外、矩形以内的部分就表示∁_UA，并在图中标注。）师：从Venn图上看，∁_UA就是U这个“整体”中去掉A这个“部分”后剩下的“部分”。4.补集的性质探究师：根据补集的定义和Venn图，我们来思考一下补集可能有哪些性质？（引导学生思考，可分组讨论）*性质1：∁_UU=∅（全集的补集是空集）*师：因为U中所有元素都属于U，没有不属于U的元素，所以补集是空集。*性质2：∁_U∅=U（空集的补集是全集）*师：因为U中所有元素都不属于空集，所以空集的补集是U本身。*性质3：∁_U(∁_UA)=A（集合A的补集的补集是A本身）*师：“不属于不属于A的元素”，就是属于A的元素。这个性质也叫做“双重否定等于肯定”。*性质4：A∪(∁_UA)=U*性质5：A∩(∁_UA)=∅*师：性质4和5从Venn图上看非常直观，A和它的补集合起来就是全集，它们之间没有公共元素。（教师引导学生理解并记忆这些性质，强调性质3、4、5的重要性）（三）例题讲解例1：设全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={1,3,5}，求∁_UA。（引导学生思考：∁_UA是U中所有不属于A的元素组成的集合。）解：∁_UA={2,4,6}。例2：设全集U为所有实数的集合，即U=R，集合A={x|x<1}，求∁_UA。（引导学生在数轴上表示集合A，那么补集就是数轴上除了A以外的部分。）解：∁_UA={x|x≥1}。例3：已知全集U={x|x是小于10的正整数}，集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，求∁_U(A∩B)和(∁_UA)∪(∁_UB)，并观察它们之间的关系。（引导学生先求A∩B，再求其补集；另一边先求∁_UA和∁_UB，再求并集。）解：U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}A∩B={2,4}∁_U(A∩B)={1,3,5,6,7,8,9}∁_UA={5,6,7,8,9}∁_UB={1,3,5,7,9}(∁_UA)∪(∁_UB)={1,3,5,6,7,8,9}可以发现：∁_U(A∩B)=(∁_UA)∪(∁_UB)（教师指出这是德摩根定律的其中一个，另一个是∁_U(A∪B)=(∁_UA)∩(∁_UB)，可以让学生课后自行验证。）（四）课堂练习1.设全集U={a,b,c,d,e}，A={a,c,e}，则∁_UA=____________。2.设U=R，A={x|-2≤x<3}，则∁_UA=____________。3.已知U={1,2,3,4,5}，A={2,4}，B={1,5}，则∁_UA∩∁_UB=____________。4.判断下列说法是否正确：(1)若A∪B=U，则∁_UA=B。()(2)对于任意集合A，都有A⊆∁_U(∁_UA)。()（学生独立完成，教师巡视指导，然后进行点评和订正）（五）课堂小结师：今天我们学习了哪些主要内容？谁能来总结一下？（学生总结，教师补充）1.全集：研究问题中涉及的所有元素组成的集合，记为U。2.补集：*定义：设U是全集，A是U的子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合。*符号：∁_UA。*表达式：∁_UA={x|x∈U且x∉A}。*Venn图表示。3.补集的性质：（回顾本节课学习的几条性质）4.补集的运算：会求一个集合的补集，以及与交、并运算结合的混合运算。（六）作业布置1.课本习题中关于补集的练习题。2.思考题：已知全集U，集合A、B是U的子集，如何理解“∁_U(A∪B)=(∁_UA)∩(∁_UB)”？请用Venn图验证，并尝试用文字语言描述。3.生活中有没有可以用补集思想解决的问题？举例说明。五、板书设计集合的运算——补集1.全集(U)*定义：所研究问题中涉及的所有元素组成的集合。*相对性2.补集(∁_UA)*定义：设A⊆U，由U中所有不属于A的元素组成的集合。*符号：∁_UA*表达式：∁_UA={x|x∈U且x∉A}*Venn图：（画出矩形U和圆A，阴影部分为∁_UA）3.补集的性质*∁_UU=∅*∁_U∅=U*∁_U(∁_UA)=A*A∪(∁_UA)=U*A∩(∁_UA)=∅4.例题讲解（例1、例2、例3的简要过程）5.课堂练习（练习题编号