湖理工机械工程控制基础课件04系统的频率特性分析

－、引言频率特性分析：将传递函数从复数域引到频域来分析系统的特性。时域分析：重点研究过渡过程，通过阶跃或脉冲输入下系统的瞬态响应来研究系统的性能。频域分析：通过系统在不同频率w的谐波输入作用下的稳态响应来研究系统的性能。1、时域分析的缺陷

高阶系统的分析难以进行；

难以研究系统参数和结构变化对系统性能的影响；

当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统的分析工作将无法进行。2、频域分析的目的频域分析：以输入信号的频率为变量，在频率域，研究系统的结构参数与性能的关系。

无需求解微分方程，图解(频率特性图)法间接揭示系统性能并指明改进性能的方向；

易于实验分析；优点：

可推广应用于某些非线性系统（如含有延迟环节的系统）；

可方便设计出能有效抑制噪声的系统。二、频率特性概述1、频率响应与频率特性

频率响应与频率特性的概念考虑线性定常系统：当正弦输入xi(t)=Xsin

t

时，相应的输出为：对于稳定的系统，其特征根-pi具有负实部，此时其对正弦输入的稳态响应不因初始条件而改变，因此，可认为系统处于零初始状态。假设系统只具有不同的极点，则：其中为一对待定共轭复常数Ai(i=1,2,…,n)为待定常数。从而：如果系统包含有rj个重极点pj，则xo(t)将包含有类似：的这样一些项。对稳定的系统而言，这些项随t趋于无穷大都趋近于零。因此，系统的稳态响应为：其中：由于：因此：上式表明，稳定的线性定常系统在正弦激励下的稳态输出仍然为同频率的正弦信号，且输出与输入的幅值比为|G(j

)|，相位差为

G(j

)。显然输出信号的幅值和相角是频率的函数，随频率而变化。

频率响应：系统对谐波输入信号的稳态响应。

频率特性：系统在不同频率的正弦信号输入时，其稳态输出随频率而变化(

由0变到

)的特性。

幅频特性：当

由0到

变化时，|G(j

)|的变化特性，记为A(

)。

相频特性：当

由0到

变化时，

G(j

)的变化特性称为相频特性，记为

(

)。幅频特性与相频特性一起构成系统的频率特性。

2、频率特性与传递函数的关系3、频率特性求解

频率响应->频率特性

传递函数->频率特性正弦输入xi(t)=Xsin

t

作用下的频率响应。求一阶系统的频率特性及在解：对于正弦输入xi(t)=Xsin

t，根据频率特性的定义：由上式可见，当T

<<1时，

A(

)

1

(

)

0

当T

>>1时，

A(

)

1/T

(

)

-90

几点说明

频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。

尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的频率特性与传递函数一样包含了系统或元部件的全部动态结构参数，因此，系统动态过程的规律性也全寓于其中。

应用频率特性分析系统性能的基本思路：

实际施加于控制系统的周期或非周期信号都可表示成由许多谐波分量组成的傅立叶级数或用傅立叶积分表示的连续频谱函数，因此根据控制系统对于正弦谐波函数这类典型信号的响应可以推算出它在任意周期信号或非周期信号作用下的运动情况。

频率特性的物理意义：频率特性表征了系统或元件对不同频率正弦输入的响应特性；

(

)大于零时称为相角超前，小于零时称为相角滞后。tx(t),y1(t),y2(t)x(t)y1(t)y2(t)0

1(

)

2(

)4、频率特性表示方法

解析表示（包括幅频－相频，实频－虚频）

图示法:

Nyquist图(极坐标图，幅相频率特性图)Bode图(对数坐标图，对数频率特性图)5、频率特性的特点

频率特性是频域中描述系统动态特性的数学模型。

频率特性是系统单位脉冲函数w(t)的Fourier变换。

分析方便。

易于实验提取。

二、频率特性的图示方法1、频率特性的极坐标图(Nyquist图、幅相频率特性图）其中，P(

)、Q(

)分别称为系统的实频特性和虚频特性。显然：在复平面上，随

（0~

）的变化，向量G(j

)端点的变化曲线（轨迹），称为系统的幅相频率特性曲线。得到的图形称为系统的奈奎斯特图或极坐标图。易知，向量G(j

)的长度等于A(j

)（|G(j

)|）；由正实轴方向沿逆时针方向绕原点转至向量G(j

)方向的角度等于

(

)(

G(j

)）。2、波德(Bode)图（对数频率特性图，包括对数幅频特性图和对数相频特性图）

对数幅频特性图横坐标：以10为底的对数分度表示的角频率单位—

rad/s或Hz纵坐标：线性分度，表示幅值A(

)对数的20

倍，即：

L(

)=20logA(

)单位—

分贝（dB）特别：当L(

)=0，输出幅值＝输入幅值；当L(w)>0时，输出幅值＞输入幅值(放大)；当L(w)<0时，输出幅值<输入幅值(衰减)。

对数相频特性图横坐标：与对数幅频特性图相同。纵坐标：线性分度，频率特性的相角

(

)

单位—

度(

)

几点说明

在对数频率特性图中，由于横坐标采用了对数分度，因此

=0不可能在横坐标上表示出来，横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定；此外，横坐标一般只标注

的自然数值；

在对数频率特性图中，角频率

变化的倍数往往比其变化的数值更有意义。为此通常采用频率比的概念：频率变化十倍的区间称为一个十倍频程，记为decade或简写为dec；频率变化两倍的区间称为一个二倍频程，记为octave或简写为oct。它们也用作频率变化的单位。可以注意到，频率变化10倍，在对数坐标上是等距的，等于一个单位。

通常用L(

)简记对数幅频特性，也称L(

)

为增益；用

(

)简记对数相频特性。

对数坐标的优点

幅值相乘、相除，变为相加，相减，简化作图；

对数坐标拓宽了图形所能表示的频率范围

两个系统或环节的频率特性互为倒数时，其对数幅频特性曲线关于零分贝线对称，相频特性曲线关于零度线对称

可以利用渐近直线绘制近似的对数幅频特性曲线；

将实验获得的频率特性数据绘制成对数频率特性曲线，可以方便地确定系统的传递函数；1、比例环节三、典型环节的频率特性图传递函数： G(s)=K 频率特性： G(j

)=K=Kej0实频特性： P(

)=K 虚频特性： Q(

)=0对数幅频特性： L(

)=20lgK对数相频特性：

(

)=0幅频特性： A(

)=K相频特性：

(

)=0比例环节的频率特性图：BodeDiagram

(rad/sec)

(

)L(

)/(dB)-20020406010-1100101102-180°-90°0°90°180°20lgKK0ReImNyquistDiagram2、惯性环节传递函数：

频率特性： 相频特性：

(

)=-arctgT

幅频特性： 2、惯性环节传递函数：

频率特性： 相频特性：

(

)=-arctgT

幅频特性：

惯性环节的Bode图

低频段(

<<1/T)即低频段可近似为0dB的水平线，称为低频渐近线。对数相频特性：

(

)=-arctgT

对数幅频特性：

高频段(

>>1/T)即高频段可近似为斜率为-20dB/dec的直线，称为高频渐近线。转折频率-30-20-10010-90°-45°0°1/TL(

)/(dB)

(

)BodeDiagram

(rad/sec)实际幅频特性渐近线-20dB/dec

转折频率（

＝

1/T)低频渐近线和高频渐近线的相交处的频率点

＝

1/T，称为转折频率（截止频率）。在转折频率处，L(

)

-3dB，

(

)＝-45

。惯性环节具有低通滤波特性。

渐近线误差-4-3-2-100.1110

T转折频率惯性环节对数幅频特性渐近线误差曲线3、一阶微分环节对数相频特性：

(

)=arctg

传递函数：

频率特性： 对数幅频特性：幅频特性： 相频特性：

(

)=arctg

一阶微分环节的Nyquist图0ReIm

=0

=

arctg

1实频特性： 虚频特性：

一阶微分环节的Bode图

注意到一阶微分环节与惯性环节的频率特性互为倒数(

=T)，根据对数频率特性图的特点，一阶微分环节与惯性环节的对数幅频特性曲线关于0dB线对称，相频特性曲线关于零度线对称。显然，一阶微分环节的对数幅频特性曲线也可由渐近线近似描述。010203090°45°0°1/TL(

)/(dB)

(

)BodeDiagram

(rad/sec)0.1/T10/T转折频率实际幅频特性渐近线20dB/dec4、积分环节传递函数：

频率特性： 幅频特性： 相频特性：

(

)=-90°实频特性： 虚频特性： 对数幅频特性：对数相频特性：

(

)=-90°

积分环节的Nyquist图0ReIm

=0

=

积分环节的Bode图-40-200200°-45°-90°-135°-180°0.1110100L(

)/(dB)

(

)BodeDiagram

(rad/sec)－20dB/dec5、理想微分环节传递函数：

频率特性： 实频特性： 对数相频特性：

(

)=90°虚频特性： 对数幅频特性：幅频特性： 相频特性：

(

)=90°

理想微分环节的Nyquist图0ReIm

=0

=

-20020400°45°90°135°180°0.1110100L(

)/(dB)

(

)BodeDiagram

(rad/sec)20dB/dec

理想微分环节的Bode图6、振荡环节传递函数：

频率特性： 幅频特性： 相频特性： 实频特性： 虚频特性：

振荡环节的Nyquist图

=0时

=

n时

=

时NyquistDiagram

=0

=

=0.1

=0.2

=0.5

=1

=0.7ReIm-3-2-10123-6-5-4-3-2-10

=0.3

=

n00.20.40.60.811.21.41.61.8201234

=0.05

=0.15

=0.20

=0.25

=0.30

=0.40

=0.50

=0.707

=1.00

/

nA(

)

谐振现象又振荡环节的幅频特性曲线可见，当

较小时，在

=

n附近，A(

)出现峰值，即发生谐振。谐振峰值Mr

对应的频率

r称为谐振频率。由于：A(

)出现峰值相当于其分母：取得极小值。令：解得：即：显然

r应大于0，由此可得振荡环节出现谐振的条件为：谐振峰值：00.10.20.30.40.50.60.70.80.910123456789100102030405060708090100

Mr

(dB)Mp(％)MrMp

振荡环节的Bode图

对数幅频特性

低频段(

<<

n)即低频渐近线为0dB的水平线。

高频段(

>>

n)即高频渐近线为斜率为-40dB/dec的直线。两条渐近线的交点为

n。即振荡环节的转折频率等于其无阻尼固有频率。

对数相频特性 易知：-180-135-90-4500.1110

/

n

(

)/(deg)

=0.5

=0.7

=1.0

=0.1

=0.2

=0.3-40-30-20-1001020L(

)/(dB)-40dB/dec

=0.3

=0.5

=0.7

=1.0

=0.1

=0.2渐近线BodeDiagram7、二阶微分环节传递函数：

频率特性： 幅频特性： 相频特性： 实频特性： 虚频特性：

二阶微分环节的Nyquist图

=0时

=1/T时

=

时G(j

)

=010

=

ReIm

=1/

2

，NyquistDiagram

二阶微分环节的Bode图注意到二阶微分环节与振荡环节的频率特性互为倒数(

＝1/

n)，根据对数频率特性图的特点，二阶微分环节与振荡环节的对数幅频特性曲线关于0dB线对称，相频特性曲线关于零度线对称。8、延迟环节传递函数：

频率特性： 幅频特性： 相频特性： 对数幅频特性： 01

=0ReIm

NyquistDiagram-600-500-400-300-200-10000.1110

(rad/s)

(

)/(deg)10L(

)/(dB)0-20-10四、频率特性图绘制1、系统开环Nyquist图的绘制

基本步骤

将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式：

求系统的频率特性：即：

求A(0)、

(0)；A(

)、

(

)

补充必要的特征点(如与坐标轴的交点)，根据A(

)、

(

)的变化趋势，画出Nyquist

图的大致形状。

示例

例1：已知系统的开环传递函数如下：试绘制系统的开环Nyquist图。解：

＝0：A(0)＝K

＝

：

A(

)＝0

(0)＝0°

(

)＝－270°0ReImK

=0

＝

解：

例2：已知系统的开环传递函数如下：绘制系统开环Nyquist图并求与实轴的交点。

＝0：A(0)＝

＝

：

A(

)＝0

(0)＝－90°

(

)＝－270°Nyquist图与实轴相交时：解得：（舍去）又：解得：-7-1.43

＝

＝0

ReIm0

例3：已知系统的开环传递函数如下：绘制系统的开环Nyquist图。解：

＝0：A(0)＝

(0)＝－180°

＝

：

A(

)＝0

(

)＝－180°

Nyquist图的一般形状考虑如下系统：

0型系统（v=0）

＝0：A(0)＝K

＝

：

A(

)＝0

(0)＝0°

(

)＝－(n－m)×90°ReIm

＝0K

＝

n=1n=2n=3n=4

只包含惯性环节的0型系统Nyquist图0I型系统（v=1）

＝0：

＝

：

(0)＝－90°

(

)＝－(n－m)×90°A(

)＝0A(0)＝

ReIm

＝0

＝

n=2n=3n=4

0n=1II型系统（v=2）

＝

：

(

)＝－(n－m)×90°A(

)＝0

＝0：

(0)＝－180°A(0)＝

ReIm

＝0

＝

n=2n=3n=4

0

开环含有v个积分环节系统，Nyquist曲线起自幅角为－v90°的无穷远处。

n=m时，Nyquist曲线起自实轴上的某一有限远点，且止于实轴上的某一有限远点。

n>m时，Nyquist曲线终点幅值为0，而相角为－(n－m)×90°。

＝

n-m=1n-m=2n-m=3n-m=4ReIm02、系统开环Bode图的绘制考虑系统：

例1已知系统的开环传递函数如下：试绘制系统的开环Bode图。解：易知系统开环包括了五个典型环节：转折频率：

2=2rad/s转折频率：

4=0.5rad/s转折频率：

5=10rad/s开环对数幅频及相频特性为：BodeDiagram-60-40-20020400.1-270-180-900901100

(

)/(deg)L(

)/(dB)

(rad/sec)L1L2L3L4L5L(

)

(

)

1

2

3

4

5-20dB/dec-40-20-60

2

4

5=10Bode图特点

最低频段的斜率取决于积分环节的数目v，斜率为－20vdB/dec。

注意到最低频段的对数幅频特性可近似为：当

＝1rad/s时，L(

)=20lgK，即最低频段的对数幅频特性或其延长线在

＝1rad/s时的数值等于20lgK。

如果各环节的对数幅频特性用渐近线表示，则对数幅频特性为一系列折线，折线的转折点为各环节的转折频率。

对数幅频特性的渐近线每经过一个转折点，其斜率相应发生变化，斜率变化量由当前转折频率对应的环节决定。对惯性环节，斜率下降20dB/dec；振荡环节，下降40dB/dec；一阶微分环节，上升20dB/dec；二阶微分环节，上升40dB/dec。Bode图绘制步骤

将开环传递函数表示为典型环节的串联：

确定各环节的转折频率：并由小到大标示在对数频率轴上。

计算20lgK，在

＝1rad/s

处找到纵坐标等于

20lgK的点，过该点作斜率等于-20vdB/dec

的直线，向左延长此线至所有环节的转折频率之左，得到最低频段的渐近线。

向右延长最低频段渐近线，每遇到一个转折频率改变一次渐近线斜率。

对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性。

相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。

例2已知系统的开环传递函数如下：试绘制系统的开环Bode图。解：开环增益K＝100，20lgK＝40各环节转折频率分别为：BodeDiagram-80-