2025-2026学年重庆市北碚区西南大学附属中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年重庆市北碚区西南大学附属中学高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.设i为虚数单位，则复数（2-i）2=（）A.3+4i B.3-4i C.5+4i D.5-4i2.已知向量，满足，则=（）A.8 B.4 C.2 D.-23.已知一圆锥轴截面为等边三角形，其母线长为2，则该圆锥表面积为（）A.2π B.3π C.4π D.5π4.某班有2名男同学，4名女同学，现从中选取3名同学组成一个乐队，要求乐队不能全是男同学也不能全是女同学，则满足要求的乐队数量是（）A.16 B.12 C.8 D.245.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且满足a=3，，则△ABC外接圆的半径为（）A. B.6 C. D.6.甲、乙、丙三人共同做一道数学题，每人答对该题的概率分别为，若答题时，三人互不影响，则三人中有人答对该题的概率是（）A. B. C. D.7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，棱BC，CC1靠近C的三等分点分别为M，N，平面D1MN截正方体得两个几何体，体积分别记为V1，V2（V1＜V2），则=（）A. B. C. D.8.若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为V，V可划分为两个子集V1和V2，V1∩V2=∅，V1∪V2=V，且图中的每一条边的一个关联结点在V1中，另一个关联结点必在V2中，则将图G称为二部图.现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则正确的是（）

A.这两个图都是二部图的概率为 B.这两个图至少有一个是二部图的概率为

C.这两个图不都是二部图的概率为 D.这两个图恰有一个是二部图的概率为二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.设m,n为空间中两条不同直线，α，β为空间中不同的平面，下列说法正确的是（）A.m∥α，n∥α，则m∥n B.m⊥α，n⊥α，则m∥n

C.α∥β，m∥α，则m∥β或m⊂β D.m⊥α，n⊥β，m⊥n,则α⊥β10.事件A，B，C为三个随机事件，且0＜P（A），P（B），P（C）＜1，则下列命题中错误的有（）A.若事件A与B互斥，则事件与也一定互斥

B.若事件A与B相互独立，则事件与也一定相互独立

C.若P（A∪B）=P（A）+P（B），则事件A，B互斥

D.若事件A与B相互独立，且B与C相互独立，则A与C也一定相互独立11.六方氮化硼（h-BN）材料具有高导热性和优良的电绝缘性，适用于新能源电池等高功率电子领域，其单层晶体结构由正六边形紧密排列而成，如图1所示.取相邻的三个边长为1的正六边形ABCDEF，正六边形BJIHGC，正六边形CGKLMD，记O1，O2，O3分别为这三个正六边形的中心，如图2所示、则下列结论正确的是（）

A.若N为线段BC的中点，则

B.向量在向量上的投影向量为

C.设P为图2中三个正六边形边上的任意一点，则的最大值为

D.若，且，则x+y的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，则三次都没有出现点数3的概率为

.13.某学校将数学成绩在130分及以上的称为“优秀水平”，其余成绩称为“一般水平”.现在统计某个班级高一期末考试的数学成绩，其中“优秀水平”有10人，“一般水平”有40人.“优秀水平”成绩的平均分为135，方差为s2，“一般水平”成绩的平均分为120分，方差为10.已知该班成绩的方差为50，则s2=

.14.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，，E为棱B1C1靠近C1的四等分点，F为四边形ABCD内一动点，且直线EF与底面ABCD所成的角为，则动点F的轨迹长度为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知AB边上的中线CM=1，2ccosA=2b-a.

（1）求角C；

（2）求△ABC面积S的最大值.16.(本小题15分)

如图，四棱锥P-ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2CD=2，AD=2，PA⊥底面ABCD，PA=2，E为PB中点.

（1）求证：CE∥平面PAD；

（2）求直线CA与平面PCD所成角的正弦值.17.(本小题15分)

2026年F1中国大奖赛热度高涨，某班共45名学生，统计每位学生每周观看F1赛事的时长（单位：小时）.现整理男、女生观赛时长数据如下：已知该班女生共20人，男生共25人.

女生每周观赛时长原始数据如下：

8.208.408.609.059.109.1510.5010.5011.2011.80

12.2012.3012.5012.7013.1013.3013.5013.8015.2020.00

男生每周观赛时长采用频率分布直方图，如下：

（1）求该班女生每周观看F1赛事时长的第25百分位数.

（2）估计该班男生每周观看F1赛事时长的中位数.

（3）从全班每周观赛时长小于12小时的学生中随机任选2人交流观赛感受.

设事件A：选出的2人中恰有1名女生；

设事件B：选出的2人中恰有1人观赛时长落在区间[10，12）内；

判断事件A与事件B是否相互独立，并说明理由.18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，点E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上.

（1）求证：EF⊥平面PAC；

（2）求平面PCD与平面PAD夹角的正切值；

（3）若M为线段PD上的动点，设，求三棱锥M-PAE的体积与四棱锥P-ABCD的体积之比（用含λ的式子表示）.19.(本小题17分)

由n个实数组成的有序实数组（a1，a2，…，an）称n维向量.设=（a1，a2，…，an），称为的转置，记作.将n个n维向量，，…，的转置，，…，从左至右顺次排列构成n×n数阵C，记C=（，，…，）.例如，=（1，3），=（2，4），则C=.对任意n维向量=（a1，a2，…，an），=（b1，b2，…，bn）和数阵C=（，，…，），定义如下运算：

①⊗=a1b1+a2b2+…+anbn，特别地，若⊗=0，则称与正交；若⊗=1，则称为单位向量.

②⊗C=（⊗，⊗，…，⊗）.

③对任意m∈N且m≥2，⊗Cm=（⊗Cm-1）⊗C，其中C1=C.

（1）设=（1，1），，，C=（，），直接写出⊗C和⊗C2；

（2）已知3维向量=（1，0，0），，=（b,c,d）（c＜0）均为单位向量，且两两正交.设=（2，1，0），C=（，，），存在正整数m,使得⊗Cm=.

①求a,b,c,d的值及m的最小值；

②若=⊗Cm，求证：对任意正整数，⊗为定值，并求出该定值m.

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】BCD

10.【答案】ACD

11.【答案】AD

12.【答案】

13.【答案】30

14.【答案】

15.【答案】

16.【答案】取PA的中点F，连接DF、EF，

所以EF是△PAB的中位线，因此EF∥AB，，

又因为AB∥CD，且AB=2CD，即，因此EF∥CD，且EF=CD，

因此四边形EFDC为平行四边形，故有CE∥DF，

又因为DF⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，

因此根据线面平行的判定定理有CE∥平面PAD．

17.【答案】9.125

15.4

A与事件B相互独立，理由如下：

因为全班中女生与男生每周观赛时长小于12小时的学生的人数分别为10，（0.04+0.08）×2×25=6，

所以再从全班每周观赛时长小于12小时的学生中随机任选2人，

则P（A）==，

又这16人中时长落在区间[10，12）内的有4名女生，25×0.16=4名男生，共8人，

所以P（B）==，

又P（AB）==，又，

所以P（AB）=P（A）P（B），

所以A与事件B相互独立

18.【答案】证明：因为侧面PAB⊥底面ABCD且交线为AB，

因为∠BAP=90°，故AP⊥AB，因为AP⊂平面PAB，

故AP⊥底面ABCD，因为EF⊂平面ABCD，则AP⊥EF；又因为∠BCD=135°，故∠ABC=45°，

又因为AB=AC，故∠BAC=90°，则AB⊥AC，

又因为E，F分别为BC，AD的中点，所以EF∥AB，故EF⊥AC；因为AP∩AC=A且AP，AC⊂平面PAC，

所以EF⊥平面PAC

19.【答案】⊗，⊗

①a=b=0，，d=，m的最小值为6；②定值为5，证明如下：

设=（xm，ym，zm），

由⊗C=，

则x1=2，y1=，z1=，

则===（⊗，⊗，⊗），

故xm+1=（⊗=xm，

ym+1=⊗=，

zm+1=⊗=，

令，则有y1=cosθ，z1=-sinθ，

则y2=cosθ•cosθ+sinθ•（-sinθ）=cos2θ，

z2=-sinθ•cosθ+cosθ•（-sinθ）=-sin2θ，

则y3=cosθ•cos2θ+sinθ•（-sin2θ）=cos3θ，

z3=-sinθ•cos2θ+cosθ•（-sin2θ）=-sin3θ，

故可猜=（2，cosmθ，-sinmθ），

当m=l时，有==（2，co