广西壮族自治区崇左市2025-2026学年高一下学期7月期末数学试卷(含解析)

广西壮族自治区崇左市2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题一、单选题1．（

）A． B． C． D．2．已知集合，，则（

）A． B． C． D．3．一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球、2个白球和1个黄球，从中任取2个球，记事件“取出的2个球的颜色相同”，事件“取出的球中有黄球”，则（

）A．A与B是对立事件 B．A与B是互斥但不对立事件C．A与B是相等事件 D．A与B不是互斥事件4．已知直线和平面，则“与内无数条直线垂直”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知正数，满足，则的最小值为（

）A．28 B．30 C．32 D．346．已知，则（

）A． B． C． D．7．位于某海域处的观测站获悉，在其正东方向相距18海里的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救．观测站立即将消息告知位于观测站西偏南方向上的处的救援船，此时测得渔船在救援船的北偏东方向上，若救援船要在1小时之内赶至渔船遇险处，则救援船的航行速度不低于（

）A．海里/小时 B．海里/小时C．海里/小时 D．海里/小时8．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题9．某小组进行实验操作考核，11位评委的打分（满分10分）为，，，，，，，，，，，则下列结论正确的是（

）A．该组数据的众数为8B．该组数据的极差为13C．该组数据的第60百分位数为8D．若去掉一个最高分和一个最低分，则新数据的第60百分位数为810．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则下列结论正确的是（

）A．当时，B．，C．不等式的解集为D．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为11．如图，在棱长为2的正方体中，是侧面上的动点，是的中点，则下列结论正确的是（

）

A．的最大值为3B．存在唯一的点，使得平面C．若为的中点，则点到平面的距离为D．若平面，则点的运动轨迹长度为2三、填空题12．函数的定义域为________．13．已知，均是单位向量，且，则与夹角的余弦值为________．14．在平面直角坐标系中，一个质点从坐标原点出发，每一步向上、下、左、右4个方向随机地移动1个单位长度，则三步后，这个质点与坐标原点的距离超过1个单位长度的概率为________．四、解答题15．已知点，，，．(1)若，求；(2)若，求．16．已知函数．(1)求的最小正周期和单调递减区间；(2)将图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求不等式的解集．17．为丰富校园文化生活，某学校随机抽取了m名学生，统计他们每周校园图书的借阅时长（单位：分钟），将所得数据分成，，，，五组，并按上述分组方式绘制如图所示的频率分布直方图，且第二组的频数为50．(1)求a，m的值；(2)估计该校学生每周校园图书借阅时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(3)按比例采用分层随机抽样的方法从第一组和第五组学生中选取5人，再从这5人中随机选取2人进行问卷调查，求这2人来自不同组的概率．18．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求C；(2)若，求的面积；(3)若，求内切圆的半径的最大值．19．如图，，，，平面，，P是线段上的动点（含端点），设平面平面．(1)证明：平面．(2)设P是的中点．（Ⅰ）求二面角的余弦值；（Ⅱ）求平面截三棱锥外接球所得截面的面积．参考答案1．A【详解】.2．C【详解】对于不等式，根据绝对值的性质，等价于，解得，所以；对于不等式，解得，所以，所以.3．B【详解】袋子中只有1个黄球，若事件B（取出的2个球中有黄球）发生，则取出的球必然是1个黄球+1个其他颜色球，两个球颜色一定不同，不可能满足事件A（取出的2个球颜色相同），因此A和B不能同时发生，是互斥事件；事件A的对立事件为“取出的2个球的颜色不同”，即1个红球，1个白球或1个红球，1个黄球或1个白球，1个黄球，与事件不相同，所以A与B不对立.4．B【详解】“”，则“与内所有直线垂直”，故“与内无数条直线垂直”，必要性成立，若“与内无数条直线垂直”，但这些直线均平行，则无法得到“”，充分性不成立，故“与内无数条直线垂直”是“”的必要不充分条件.5．C【详解】因为，因此，由，，以及基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立，故.6．B【详解】由，得，解得，所以.故选：B7．A【详解】过点作于点，因为救援船位于观测站西偏南方向上的处，因此，，而，因此在中，，由题意知，因此，所以在中，根据正弦定理，即，解得，因此速度至少为海里/小时.8．D【详解】因为函数在区间上单调递减，为增函数，所以函数在区间上有意义，且在上单调递减，当时，或，解得，当时，，此时函数的定义域为，因为函数在上单调递减，函数为增函数，所以函数在上单调递减，满足条件，所以的取值范围为.9．ACD【详解】A选项，8出现的次数为3，次数最多，故众数为8，A正确；B选项，该组数据的极差为，B错误；C选项，，故从小到大，选择第7个数作为该组数据的第60百分位数，即8，C正确；D选项，若去掉一个最高分和一个最低分，剩余9个数据为，，，，，，，，，，故从小到大，选择第6个数作为新数据的第60百分位数，即8，D正确.10．AC【详解】由题知，令，则，所以，因为是定义在上的偶函数，所以，所以当时，，A正确；当时，，当时，，因为是定义在上的偶函数，所以，，B错；当时，令，解得，又因为是定义在上的偶函数，所以，的解集为，C正确；由上述可知，，且，当时，，单调递减，当时，，单调递增，又因为是定义在上的偶函数，所以要使有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，即与两函数有两个交点，则需满足或，D错.11．ABD【详解】已知正方体棱长为，在侧面上，是中点，平面，因此平面，，对于选项A，由平面，对任意在平面，由勾股定理得：，的最大值为正方形的对角线长度，，因此，A正确；对于选项B，因为四边形为正方形，所以，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，同理，，平面，所以平面，因此若平面，则，连接，因为为的中点，所以是的中点，因此存在唯一的点满足条件，B正确，对于选项C，是中点，，，，中，，，的面积，设点到平面的距离为，则，又，三棱锥的体积，所以，故，C错误，对于选项D，平面是正方体的对角面，取的中点，的中点，的中点，则，平面，平面，所以平面，同理结合可得平面，又，平面，所以平面平面，结合平面可得平面，又是侧面上的动点，所以点的轨迹为，因此轨迹长度为，D正确.

12．【详解】要使函数有意义，所以，解得所以函数的定义域为.13．

/【详解】因为均为单位向量，故，，由两边平方得：展开完全平方得：，将代入上式：整理得，解得，与夹角的余弦值为：.14．【详解】三步共有种活动路径，其中三步之后回到的有：向右两步，向左一步；向右、上、下各一步；共有种；同理可得，三步之后回到各有种，故三步后，这个质点与坐标原点的距离不超过1个单位长度共有种，则三步后，这个质点与坐标原点的距离超过1个单位长度的概率为.15．(1)(2)【详解】（1）由题意得，，，则，因为，所以；（2）因为，所以，得16．(1)最小正周期；单调递减区间为(2)【详解】（1）由，则其最小正周期，令，解得，所以的单调递减区间为；（2）将图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到，不等式，即，整理得，令，则，解得，所以，即，所以不等式的解集为.17．(1)，(2)(3)【详解】（1）频率分布直方图对应矩形面积之和为1：；则第二组数据对应频率为：，又对应频数为，则；（2）该校学生每周校园图书借阅时长的平均数为：；（3）由题设可得第一组对应频率为，第五组对应频率为：，则频率比例为：.从而从第一组抽4人，第五组抽1人，设第一组4人为，第五组1人为：.则从中随机选取2人的情况有：共10种，其中2人来自不同组的情况数为4，则对应概率为：.18．(1)(2)(3)【详解】（1）由已知，根据正弦定理，所以，在三角形中，所以，得，因为，所以，则33sinC因为，所以；（2）已知，即，也即，所以，解得，则的面积.（3）已知，，则c2=a2由，代入上式得4≥2ab-ab⟹ab三角形的面积，半周长，设三角形内切圆半径为，则有，即，因为，所以，则，所以，由，得，所以，因此时，，此时三角形.19．(1)因为，平面，平面，所以平面，又因为平面，平面平面，所以，又平面，平面，所以平面.(2)（Ⅰ）；（Ⅱ）【详解】（1）略（2）（Ⅰ）因为平面，，所以平面，取中点，连接，则平面.作，连接，由三垂线