专项08 以平行线为载体的探索类问题【北京】七下数学专项练习

专项08以平行线为载体的探索类问题类型一“拐点”问题1.(2022北京房山期末)如图1，由线段AB，AM，CM，CD组成的图形像∑，称为“∑形BAMCD”.(1)如图2，∑形BAMCD中，若AB∥CD，∠AMC=60°，则∠A+∠C=°；

(2)如图3，连接∑形BAMCD中的B，D两点，若∠ABD+∠BDC=160°，∠AMC=α，试猜想∠BAM与∠MCD的数量关系，并说明理由；(3)如图4，在(2)的条件下，当点M在线段BD的延长线上从上向下移动时，请直接写出∠BAM与∠MCD所有可能的数量关系.图1图2图3图4类型二“动点(图)”问题2.以直线AB上一点O为端点作射线OC，将一块直角三角板的直角顶点放在O处(注：∠DOE=90°).图①图②(1)如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，且∠BOC=60°，求∠COE的度数；(2)将三角板DOE绕O逆时针转动到某个位置(D、E始终在直线AB上方)，若恰好满足5∠COD=∠AOE，且∠BOC=60°，求∠BOD的度数；(3)如图②，将直角三角板DOE绕点O逆时针转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，请说明射线OD是∠BOC的平分线.

专项08以平行线为载体的探索类问题答案全解全析1.解析(1)如图，过M作MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥MN∥CD，∴∠AMN=∠A，∠CMN=∠C，∴∠A+∠C=∠AMN+∠CMN=∠AMC=60°.(2)∠BAM+∠MCD=α+20°.理由：如图，过A点作AP∥CD交BD于点P，∴∠APB=∠D，∵∠BAP+∠APB+∠B=180°，∠B+∠D=160°，∴∠BAP=180°-160°=20°，由(1)可得∠AMC=∠PAM+∠MCD，∵∠AMC=α，∴∠PAM+∠MCD=α，∴∠BAM+∠MCD=α+20°.(3)如图，当D，C位于AM两侧时，∵∠ABD+∠BDC=160°，∠CDM+∠BDC=180°，∴∠CDM-∠ABD=20°，∵∠AMO+∠AMB=180°，∠B+∠BAM+∠AMB=180°，∴∠AMO=∠B+∠BAM，同理∠CMO=∠MCD+∠CDM，∵∠AMC=α，∴α=∠AMO-∠CMO=∠B+∠BAM-(∠MCD+∠CDM)=∠BAM-∠MCD-20°，即∠BAM-∠MCD=α+20°；如图，当D，C位于AM同侧时，∵∠ABD+∠BDC=160°，∠CDM+∠BDC=180°，∴∠CDM-∠ABD=20°，∵∠AMO+∠AMB=180°，∠B+∠BAM+∠AMB=180°，∴∠AMO=∠B+∠BAM，同理∠CMO=∠MCD+∠CDM，∵∠AMC=α，∴α=∠CMO-∠AMO=∠MCD+∠CDM-(∠B+∠BAM)=∠MCD-∠BAM+20°，即∠MCD-∠BAM=α-20°.综上，∠BAM-∠MCD=α+20°或∠MCD-∠BAM=α-20°.2.解析(1)∵∠DOE=90°，∠BOC=60°，∴∠COE=∠DOE-∠BOC=30°.(2)当DO在∠BOC内部时，设∠COD=x，则∠AOE=5x.∵∠AOE+∠DOE+∠BOD=180°，∴5x+90°+60°-x=180°，解得x=7.5°，即∠COD=7.5°，∴∠BOD=∠BOC-∠COD=60°-7.5=52.5°；当DO在∠AOC内部时，设∠COD=x，则∠AOE=5x.∵∠AOE+∠DOE+∠COD+∠BOC=180°，∠DOE=90°，∠BOC=60°，∴5x+90°+x+60°=180°，解得x=5°，即∠COD=5°.∴∠BOD=∠COD+∠BOC=5°+60°=65°.综上，∠BOD的度数为52.5°或65°.(3)证明：∵OE平分∠AOC，∴∠AOE=∠COE.∵∠DO