小学数学四年级奥数第15讲：枚举法解应用题（人教版）

小学数学四年级奥数第15讲：枚举法解应用题（人教版）

一、教学背景与目标定位

（一）学情精析

本讲授课对象为小学四年级奥数拓展班学生，年龄集中在9至10岁。此阶段儿童的思维正处于皮亚杰理论中的具体运算阶段向形式运算阶段过渡的关键窗口，逻辑推理能力开始萌芽，但尚未完全摆脱对具体形象的支持。通过前序学习，学生已掌握加减乘除基本运算，具备初步的分类意识，在三年级“搭配”内容中接触过最简单的列举活动，如两件上衣与三条裤子的搭配种数。然而，这种列举多依赖直觉，呈现出明显的碎片化特征：部分学生只会随机书写，缺乏顺序感；部分学生在列举稍复杂情境（如四选二）时极易出现重复或遗漏；还有相当比例的学生不知道如何记录枚举过程，常常是“心中有数，笔下无序”。奥数班学生虽整体数学素质优于同龄人，但上述问题依然普遍存在，且往往因思维速度快而更易忽略枚举的严谨性。因此，本讲的核心着力点不是告诉学生“枚举是什么”，而是帮助他们完成从“无意列举”到“有意构造”、从“零散罗列”到“系统枚举”的思维跃迁。【非常重要】这一跃迁直接影响后续排列组合、概率统计等模块的学习效率。

（二）教材解构

人教版四年级下册教材在“数学广角”板块安排了“搭配”专题，通过服装搭配、路线选择、早餐搭配等生活情境渗透乘法原理，但未对枚举法本身进行系统的方法论提炼。本讲作为奥数拓展，将“枚举法”提升为一种独立的解题策略，既是对教材内容的深化，也是对数学思想方法的正规化梳理。从知识纵向脉络看，枚举法是三年级“分类与整理”的自然延伸，是五年级“排列组合”的直观奠基，更是六年级“鸽巢原理”“逻辑推理”的解题工具。从横向关联看，枚举法与列表法、树状图、穷举算法同根同源，在科学实验、计算机编程等领域均有广泛应用。因此，本讲不是孤立的技巧训练，而是具有方法论意义的思维课程。【高频考点】近三年全国小学奥数四大杯赛中，直接以枚举法为解题核心的题目年均出现4至6道，间接需要枚举辅助的题目占比超过30%。

（三）教学目标层级化

1.知识与技能目标——【重要】

（1）学生能准确表述枚举法的含义，独立复述有序枚举的四步流程（明确对象、确定顺序、逐一列举、复核检查）；

（2）能根据问题特征选择列表法或树状图法进行规范枚举，解决数字组数、比赛场次、货币支付、人员分配等四类典型应用题，当堂检测正确率不低于90%；

（3）能识别枚举问题中的常见陷阱（如数字组数中的“0不能作首位”、比赛问题中的“不重复计数”），并有意识地规避。

2.过程与方法目标——【非常重要】

（1）经历从“随意列举”到“分类有序列举”的对比反思，体悟分类讨论思想与有序思维的价值；

（2）在小组共学中，通过对不同枚举方案的比较、评价与优化，发展批判性思维与元认知能力；

（3）初步建立“枚举策略选择”的意识，能针对具体问题判断哪种分类标准或枚举顺序更简洁高效。

3.情感态度与价值观目标——【一般】

（1）感受数学的秩序之美——看似繁杂的可能情形在有序排列下变得清晰简明；

（2）体验枚举法作为“万能方法”的安全感，培养面对复杂问题时“不怕麻烦、耐心列举”的科学态度；

（3）通过枚举法跨学科应用的介绍，拓宽数学视野，增强用数学眼光观察世界的意识。

（四）教学重难点精准定位

1.教学重点——【高频考点】【非常重要】

掌握有序枚举的基本步骤，并在独立解题中自觉践行“不重不漏”原则。具体表现为：能准确设定枚举起点，按固定顺序推进，完整写出所有结果。

2.教学难点——【难点】【热点】

根据问题情境选择最优分类标准。例如在付钱问题中，学生往往本能地按面值最小的硬币枚举，导致枚举分支过多、效率低下；在逻辑推理类问题中，学生难以确定先枚举什么、后枚举什么。此难点本质上是对变量变化幅度感知能力的缺失，需通过多例对比、策略优化加以突破。

（五）教学准备

教师端：交互式电子白板课件（内含例题动态树状图生成演示、错误枚举案例对比模块）、磁性数字卡片（0—9）、大号树状图磁性贴片、红蓝双色记号笔、分层练习单（基础版、提高版、挑战版）、实物展台。

学生端：常规文具、彩色铅笔（红蓝两色）、A4空白树状图模板纸、错题记录本。

二、教学实施过程（核心环节，全程约40分钟）

（一）导入阶段——唤醒经验，暴露迷思（约5分钟）

1.情境投射，直觉回答

教师利用课件呈现欢欢选演出服的情境：上衣两件（红T恤、蓝衬衫），裤子三条（黑裤、白裤、卡其裤）。提问：“欢欢一共有多少种不同的穿法？”学生几乎齐答“6种”。教师追问：“你是直接算2×3＝6，还是脑子里把6种都过了一遍？”多数学生表示用乘法，少数学生说“想了一下”。教师请一位用乘法回答的学生解释，学生答：“一件上衣可以配三条裤子，两件上衣就是两个三，2×3＝6。”教师给予肯定，并指出：“乘法确实很快，但乘法是怎么来的呢？其实它就是从列举中总结出来的规律。当我们遇到不能用乘法一步解决的问题，或者想验证乘法结果时，就需要回到最根本的方法——把所有可能都写出来。这种方法，数学家叫它枚举法。”

2.初试枚举，对比感悟

教师请学生动笔将6种搭配全部写出，时间1分钟。教师巡视，用手机拍摄典型作品并推送至大屏。展示三份作品：

作品A：红+黑，红+白，红+卡其，蓝+黑，蓝+白，蓝+卡其。

作品B：红+黑，蓝+黑，红+白，蓝+白，红+卡其，蓝+卡其。

作品C：红+黑，蓝+黑，红+白，红+卡其，蓝+白，蓝+卡其（顺序混乱且漏写一组）。

教师组织学生评价：“你觉得哪个作品看起来最舒服？为什么？”学生指出作品A最整齐，因为它先固定上衣，换裤子；作品B换来换去容易漏（作品C就是例子）。教师顺势提炼：“枚举不是把想到的随便写，而是要按一定的顺序写。这样既不容易漏，也方便检查。今天我们就来学习这种有序枚举的本领。”板书课题核心词“有序枚举”。

【一般】本环节从学生最熟悉的搭配切入，2×3=6的快捷与枚举的笨拙形成张力，既尊重乘法原理的地位，又凸显枚举法的根本性与可靠性，为后续接受“笨方法”奠定心理基础。

（二）新知探究阶段——建构模型，形成程序（约18分钟）

1.例1：数字组数——有序枚举的标准范式

出示例1：用数字1、2、3可以组成多少个没有重复数字的两位数？

（1）独立尝试，暴露原始策略

学生独立列举，教师巡视。预设生成以下五类典型：

①12、13、21、23、31、32（有序，十位递增）

②12、21、13、31、23、32（无序，但凑齐六个）

③12、13、21、23、31、32（有序，按个位递增？实际是十位1时个位2、3，十位2时个位1、3，十位3时个位1、2，仍属有序）

④12、13、21、23、31（遗漏32）

⑤12、13、21、23、31、32、12（重复12）

（2）对比辨析，聚焦有序

教师将作品①与作品②并列展示。“两种都写出了6个，都算对吗？你更欣赏哪一种？为什么？”学生几乎一致选择作品①，理由：“①有规律，一看就知道写全了；②跳来跳去，容易漏，也难检查。”教师追问：“如果数字变成1、2、3、4、5，让你组两位数，你还会用作品②的方法吗？”学生摇头，意识到无序枚举在数据量增大时彻底失效。

（3）模型建构，树状图介入

教师利用磁性贴片在黑板上逐步构建树状图：

首先确定枚举对象：两位数，由十位和个位构成。

确定顺序：按十位从小到大依次考虑。

十位为1→个位可以是2、3→得到12、13

十位为2→个位可以是1、3→得到21、23

十位为3→个位可以是1、2→得到31、32

教师命名：“这种像大树分叉一样的记录方法叫树状图。它能清晰展示每一步的选择，是枚举法的好帮手。”

（4）步骤提炼，口诀化记忆

师生共同将枚举流程概括为四步法：

一明对象（枚举什么，范围如何）；

二定顺序（按什么标准依次列举）；

三列所有（完整写出，可用树状图或列表）；

四验对错（有无重复，有无遗漏）。

学生齐读两遍，教师在黑板左侧固定位置板书四步法。【非常重要】此四步将作为本讲后续所有例题的操作纲领。

2.例2：含0组数——分类枚举的必要性

出示例2：用0、1、2、3可以组成多少个没有重复数字的三位数？

（1）小组探究，策略生成

教师提示：“三位数，百位能是0吗？”学生齐答不能。小组合作尝试枚举，教师巡视，发现多数小组采用固定百位法，少数尝试树状图。

（2）汇报展示，思维可视化

请一个小组代表上台用大号树状图贴片演示百位为1时的分支：

百位1→十位0→个位2、3→102、103

十位2→个位0、3→120、123

十位3→个位0、2→130、132

依此类推百位2、百位3。最终得到每组6个，三组共18个。

另一小组补充：他们先固定百位，但列表记录，同样得到18个。

（3）对比深化，揭示分类思想

教师提问：“为什么这里要先按百位分类？”学生回答：“因为百位不能是0，所以百位只有1、2、3三种可能，正好分成三类。”教师强调：这就是枚举法三原则中的第一条——分类清晰。当问题条件有特殊限制（如首位不为0）时，我们首先按这个限制条件分类，每一类内部再按顺序枚举。分类做得好，枚举就成功了一半。

（4）易错警示，防患未然

展示一份错误作品：012、013、021、023、031、032……教师问：“这些是三位数吗？”学生恍然，012就是12，根本不是三位数。教师板书警示语：“0不能作首位！”并让学生用红笔在树状图模板纸上加粗标注。【高频考点】数字组数陷阱题必考此条，需刻入本能。

3.枚举法三原则正式发布

基于以上两例，教师引导学生尝试用三个词概括枚举法的灵魂。学生发言后，教师提炼并板书：

原则一：分类清晰（按统一标准分，类间不交叉）

原则二：顺序合理（类内按递增、递减、固定变量等方式）

原则三：不重不漏（检查重复项，核对总数）

教师总结：“三原则就像红绿灯，遵守了，枚举之路就畅通无阻；违反了，不是撞车（重复）就是迷路（遗漏）。”学生会心一笑。【非常重要】此三原则后续每道练习均需回扣强化。

（三）深化拓展阶段——变式迁移，突破难点（约15分钟）

1.例3：单循环赛问题——组合枚举的典型结构

出示例3：甲、乙、丙、丁四人进行乒乓球比赛，每两人之间都要赛一场，一共要赛多少场？

（1）自主尝试，策略百花齐放

学生独立解答，教师巡视。收集到的策略：

策略一：画图连线（四点连成四边形加对角线，数出6条）。

策略二：枚举名字（甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁）。

策略三：算式（3+2+1=6）。

策略四：少数学生列式4×3÷2=6（已接触过组合公式）。

（2）聚焦枚举法，提炼“向后搭配”法则

教师重点分析策略二：“甲乙、甲丙、甲丁——这是固定甲，分别与乙、丙、丁赛；接下来乙丙、乙丁——固定乙，只与排在乙后面的丙、丁赛，为什么不写乙甲了？”学生答：“因为甲和乙已经赛过，重复了。”教师赞许：“所以组合枚举的关键技巧是——固定一人，只向后搭配。这样保证每场比赛只算一次，不重不漏。”

（3）思维迁移，预测规律

教师追问：“如果5个人呢？按照这个向后搭配的方法，你能不画图直接口算出场次吗？”学生尝试：甲与后4人（4场），乙与后3人（3场），丙与后2人（2场），丁与后1人（1场），戊后面没人（0场），合计4+3+2+1=10场。教师板书这一等差数列求和形式，并指出：这就是组合数公式C(n,2)的直观解释，虽然现在不要求记公式，但枚举法已经让你看到了公式的来源。【重要】本环节将枚举从“笨方法”升华为“原理揭示者”，提升思维层次。

2.例4：付钱问题——分类标准的优化选择

出示例4：有面值1元、2元、5元的邮票各若干张，要支付8元邮资，有多少种不同的支付方式？（每种邮票张数不限）

（1）审题与初感

学生读题后，不少学生露出难色：“张数不限，那得枚举到什么时候？”教师微笑：“这正是枚举法要考验我们的地方——分类分得好，繁琐变简洁。”

（2）头脑风暴分类标准

小组讨论：“你打算按什么分类？”汇报：

组1：按5元的张数分（0张、1张，2张已超8元，不考虑）。

组2：按2元的张数分（0—4张）。

组3：按1元的张数分（0—8张）。

教师请三个小组代表分别估算各方案需要枚举的条目数。按5元分：2类，类内最多枚举5种（2元0-4张），共约7种；按2元分：5类，每类需算1元张数，共约9种；按1元分：9类，每类需试2元、5元，最繁琐。学生直观感受到：分类标准应优先选择取值可能性少的变量，本例中5元只能取0、1，显然最优。

（3）规范板书，完整枚举

教师板演按5元张数分类的完整过程：

第一类：5元0张，用1元、2元凑8元。

设2元张数为a，a可取0、1、2、3、4。

a=0→1元8张；

a=1→1元6张；

a=2→1元4张；

a=3→1元2张；

a=4→1元0张。

共5种。

第二类：5元1张，还需付3元。

设2元张数为b，b可取0、1（b=2需付4元，超3元）。

b=0→1元3张；

b=1→1元1张。

共2种。

第三类：5元2张，10元超8元，不可能。

总计5+2=7种。

（4）反思升华

教师问：“如果我把题目改成付9元，按5元分，第一类5元0张时2元可取哪些值？第二类5元1张时还需付4元，2元可取0、1、2……你看，分类标准依然最优。所以，以后遇到‘张数不限’的付钱问题，先找面值最大的硬币作为分类变量，可以大大减少枚举量。”【难点】此处为全课思维巅峰，学生需打破“按小面值枚举”的直觉，建立“按大面值分类”的策略意识。

（四）巩固练习阶段——分层递进，全员达标（约12分钟）

本环节采用“独立练习+组内互评+教师集中讲评错点”模式。练习单分三层，学生根据自评选择起点，鼓励向上挑战。

1.基础层（必做，保底）

练习1：从小红、小丽、小明、小刚4人中选2人参加跳绳比赛，有多少种选法？

学生枚举：小红小丽、小红小明、小红小刚、小丽小明、小丽小刚、小明小刚，共6种。教师巡视中发现仍有学生写成小红小丽、小丽小红视为两种，随即叫停，组织微型辨析：“小红和小丽组队，无论谁先写，都是同一支队。所以枚举两人组合时，只写一次，顺序无关。”此为核心概念澄清，即时矫正。

练习2：用4、5、6三张数字卡片可以组成多少个不同的两位数？

学生枚举：45、46、54、56、64、65，共6个。教师追问：“为什么不是45、54、46、64、56、65这样写？”学生答：“那样也可以，但不如固定十位法整齐。”教师肯定，并鼓励大家逐步养成固定顺序的习惯。

2.提升层（选做，进阶层）

练习3：学校食堂午餐有荤菜3种、素菜4种、汤2种，小明要选1荤1素1汤，有多少种搭配？

绝大多数学生直接用乘法3×4×2=24。教师要求：“请用枚举法验证，并说明乘法结果与枚举结果的关系。”学生尝试用“固定荤菜”法：荤A配素1汤a、素1汤b、素2汤a……写几组后发现太多，但确信是24种。教师总结：乘法原理就是枚举法的速算法，当分类层次清晰（先荤、再素、再汤）且每一步选择数固定时，连乘即得总数。

练习4：有1克、2克、4克的砝码各一个，可以称出多少种不同质量的物体？（砝码可放在一边）

本题需枚举所有非空子集。学生常见错误：遗漏某组合或把“1+2=3”与“2+1=3”算两次。教师引导按使用砝码个数分类：

1个：1g、2g、4g

2个：1+2=3g、1+4=5g、2+4=6g

3个：1+2+4=7g

共7种。教师追问：“为什么没有0g？”学生明确“称出物体”至少用一个砝码。此题渗透子集枚举思想，为高年级集合学习埋伏笔。

3.拓展层（挑战，培优）

练习5：甲、乙、丙三人在一次数学竞赛中获得了前三名（没有并列），已知甲不是第一名，乙不是第二名，丙不是第三名，请列出所有可能的名次排列。

本题是逻辑约束枚举。学生首先枚举所有排列（3!=6种）：

①甲1乙2丙3②甲1丙2乙3③乙1甲2丙3④乙1丙2甲3⑤丙1甲2乙3⑥丙1乙2甲3

逐条筛选：

甲不是第一名→排除①、②

乙不是第二名→剩余③中乙是第一名（符合）、④中乙是第一名（符合）、⑤中乙是第三名（符合）、⑥中乙是第二名（不符合，排除⑥）

丙不是第三名→③中丙是第三名（不符合，排除③）、④中丙是第二名（符合）、⑤中丙是第二名（符合）

最终剩余：④乙1丙2甲3、⑤丙1甲2乙3。共2种。

教师展示部分学生的有序枚举框架：先定第一名（可能乙或丙），再定第二名……此法更快，但需较强逻辑。教师肯定两种思路，强调枚举法在逻辑推理题中的基础地位。【非常重要】此类题是奥数竞赛热点，也是初中代数推理的启蒙。

（五）总结提升阶段——凝练思想，拓展视野（约5分钟）

1.学生自主复盘

教师请学生用“今天我知道了……”句式分享收获。典型发言：

“我知道了枚举不能瞎写，要有顺序。”

“分类的时候要选那种张数少的先分，比如5元。”

“树状图很好用，看得清楚。”

“四步法让我不怕枚举题了。”

2.教师点睛

教师将学生发言归纳为三个关键词，并与三原则对应：分类→清晰，顺序→合理，检查→不重不漏。随后话锋一转：“同学们，枚举法看起来有点笨，要把所有情况都写出来。但正是这种‘笨’，保证了它永远不会骗人。在数学史上，数学家们有时会用穷举法证明定理——比如著名的四色定理，就是靠计算机枚举了上千种地图模型才最终证明的。所以，枚举法不是低级方法，而是人类理性最朴素的体现。”

3.跨学科联结

教师展示一张简化的计算机程序流程图，并口述伪代码：“for百位in[1,2,3]:for十位in[0,2,3]:……这就是枚举法在编程里的样子，叫穷举搜索。人工智能下围棋，也会用枚举法计算后面几步的最佳走法。今天我们学的，正是计算机算法设计的启蒙课。”学生眼神发亮，感受到数学与技术的紧密关联。【一般】此环节非知识硬核，但能极大激发学习后劲。

三、板书设计（全景描述）

黑板整体划分为三大区域，不使用表格，但用文字描述空间布局。

左板（约1/3）：固定书写“枚举法解应用题”主标题，下方竖排四步法（红笔标序号1-4）与三原则（分类清晰、顺序合理、不重不漏，绿笔书写）。四步法右侧用箭头指向一幅手绘简版树状图（例1），展示从十位1、2、3分出的六个两位数。

中板（约1/2）：核心例题演算区。上半部分为例2树状图（百位1分支完整展开，百位2、3简写示意），并用红粉笔醒目标注“0不能作首位”。下半部分为例4付钱问题的分类表格——左侧写“5元0张”，下分a=0~4行，右侧写“5元1张”，下分b=0、1行，总计数7种。分类标准“按5元张数分”用黄色粉笔圈出。

右板（约1/6）：机动与强调区。记录学生现场生成的关键词（如“向后搭配”“选面值大的分类”），以及本节课的易错点警示（如“组合不交换”）。下课后保留本板内容至次日，供学生课间回顾。

四、作业与评价体系

（一）基础巩固作业（全员完成）

1.用2、5、7、8四张数字卡片，能组成多少个没有重复数字的两位数？请用树状图记录全过程。

2.六一儿童节，五名同学互相握手，每两人握一次，一共要握多少次手？用枚举法写出所有握手组合。

3.用1元、2元、5元硬币支付7元邮资（每种硬币数量不限），有多少种不同的支付方式？要求：先写出你的分类标准，再完整枚举。

（二）实践探究作业（鼓励完成）

“家庭菜谱设计师”：你家一周晚餐需要设计5天不重样的三菜一汤（1荤、1素、1凉菜、1汤）。已知你会做的荤菜有4种、素菜5种、凉菜3种、汤2种。请你先算出一共有多少种可能的搭配，再用枚举法列举出至少20种搭配（可用编号代替菜名），并从中挑选5天不重复的菜单。此项作业旨在让学生体会枚举法在真实规划中的应用，感受“组合爆炸”时枚举的局限性，从而更加珍惜乘法原理的价值。

（三）