初中数学八年级《1.5 一次函数的应用》教学设计

初中数学八年级《1.5一次函数的应用》教学设计【核心概念】【重点】一次函数是刻画变量之间关系的数学模型，本设计聚焦于运用一次函数知识解决现实世界中的实际问题，核心在于引导学生经历“问题情境—建立模型—求解验证—解释应用”的完整过程，深刻体会数形结合思想与函数建模思想。【基础】预习学案作为课堂教学的先导，旨在激活学生已有知识经验，引导其自主探索新问题，发现认知冲突，从而带着思考和疑问进入课堂。本学案设计紧扣“解决问题”这一核心，强调从具体情境中抽象出数学问题，并运用一次函数的图象、性质及解析式进行求解。【难点】【易错点】学生在解决实际问题时，主要困难在于从复杂情境中准确提取常量与变量，确定自变量和因变量，并建立正确的函数关系式；其次是对自变量取值范围的确定以及函数图象的对应区域理解不清；最后是将数学解解释回实际情境的意义，容易造成答非所问。第一课时预习学案（一）【温故知新】【基础】请回忆一次函数的相关知识，完成下列填空：1.一般地，形如________________（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。当b=0时，即____________，叫做正比例函数。2.一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条__________。其中，k决定图象的__________（当k>0时，直线向____上升；当k<0时，直线向____下降），b决定图象与____轴交点的纵坐标。3.已知一次函数图象经过点A（2，3）和点B（1，3），求这个一次函数的解析式。（书写解答过程）（二）【情境导入】【热点】阅读并思考以下问题：某手机通话费用套餐：月租费18元，主叫通话每分钟0.2元。1.问题1：请写出每月手机话费y（元）与主叫通话时间x（分钟）之间的函数关系式。2.问题2：在这个问题中，自变量x的取值范围是什么？为什么？3.问题3：如果小明某月通话时长为200分钟，根据这个关系式，他该月的话费是多少元？4.问题4：如果小明某月的话费是48元，那么他这个月的主叫通话时间是多少分钟？（三）【自主探究】【核心概念】【重点】某物流公司计划将一批货物从A市运往B市，其运输费用由两部分组成：一是固定支出（如保险、手续等）300元；二是根据运输距离计算的变动费用，每公里1.5元。已知A市与B市相距400公里。1.任务一：建立模型（1）请写出本次运输总费用y（元）与运输里程x（公里）之间的函数关系式。注意：里程x是否有限制？（2）在这个函数中，哪些是常量？哪些是变量？谁是自变量？谁是因变量？2.任务二：求解计算（1）若要将货物运往距离A市280公里的C市，总费用是多少元？（2）若公司为本次运输支付的费用为780元，请问目的地距离A市多少公里？3.任务三：图象初探【难点】（1）请在下面的平面直角坐标系（草图）中，画出这个函数的图象。思考：你画的是一条直线吗？应该画成一条直线还是一条线段？为什么？（2）根据你画的图象，当x=0时，y的值是多少？这个值在实际情境中代表什么含义？（提示：即使没有运输里程，是否有费用产生？）（四）【尝试应用】【高频考点】某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方式收取水费。规定：每户每月用水量不超过20立方米时，按每立方米2.5元收费；超过20立方米时，不超过的部分仍按2.5元/立方米收费，超过部分按每立方米4元收费。1.问题1：设某户月用水量为x（立方米），应交水费为y（元）。请你写出y与x之间的函数关系式。这是一个一次函数吗？如果不是，它是什么函数？2.问题2：如果小红家上月用水15立方米，应缴水费多少元？3.问题3：如果小明家上月缴水费90元，请你算算他家上月用水多少立方米？（五）【预习反思】【难点】【易错点】通过以上问题的预习，你遇到了哪些困惑？请简要记录下来，准备在课堂上与老师和同学交流。1.我的困惑1：____________________________________________________2.我的困惑2：____________________________________________________第一课时预习学案参考答案（一）【温故知新】1.y=kx+b(k≠0)；y=kx(k≠0)2.直线；倾斜方向（或增减性）；右；左；y3.解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)。将点A（2，3）和点B（1，3）分别代入，得方程组：3=2k+b3=k+b两式相减得：6=3k，解得k=2。将k=2代入3=2×2+b，得b=1。所以这个一次函数的解析式为y=2x1。（二）【情境导入】1.y=18+0.2x（或y=0.2x+18）2.自变量x的取值范围是x≥0。因为通话时间不能为负数。3.当x=200时，y=18+0.2×200=18+40=58（元）。所以小明该月话费是58元。4.当y=48时，即18+0.2x=48，移项得0.2x=30，解得x=150（分钟）。所以小明这个月的主叫通话时间是150分钟。（三）【自主探究】1.任务一：建立模型（1）函数关系式为y=300+1.5x。运输里程x不能为负，且从A市运往B市，距离固定为400公里，但题目中C市未指定，因此一般情况下，对于这个函数模型，x的取值范围可以是大于等于0的任意实数。但在本题具体运输任务中，x代表实际运输距离，因此x≥0。如果严格针对A到B的运输，则x是确定值400，但函数关系是通用的，所以自变量x表示运输里程，取值范围为x≥0。（2）常量：300（元）、1.5（元/公里）；变量：y（总费用）、x（运输里程）；自变量：x；因变量：y。2.任务二：求解计算（1）当x=280时，y=300+1.5×280=300+420=720（元）。所以运往C市的总费用是720元。（2）当y=780时，即300+1.5x=780，移项得1.5x=480，解得x=320（公里）。所以目的地距离A市320公里。3.任务三：图象初探（1）应画成一条射线（或从x=0开始的线段，取决于实际背景）。因为自变量x代表运输里程，通常x≥0，所以图象是直线在x≥0的部分。如果问题只考虑A到B的固定距离，则图象只是一个点；若考虑任意里程，则是一条以(0,300)为端点的射线，方向向右上方延伸。在平面直角坐标系中，描点(0,300)和(400,900)（当x=400时，y=900），然后过这两点作一条直线，但只保留横坐标x≥0的部分。（2）当x=0时，y=300。这个值在实际情境中代表即使没有发生运输里程（如货物尚未起运），也需要支付的固定支出费用（如保险、手续等），即运输的起步价或基础费用。（四）【尝试应用】1.问题1：y与x的函数关系式为：y=2.5x(0≤x≤20)y=2.5×20+4(x20)=50+4x80=4x30(x>20)这是一个分段函数，不是在整个定义域内的一次函数。但在每个区间内，它都是一次函数。2.问题2：因为15≤20，所以代入y=2.5x，得y=2.5×15=37.5（元）。小红家应缴水费37.5元。3.问题3：首先判断用水量是否超过20立方米。若用水量为20立方米，水费为2.5×20=50元。小明家水费90元>50元，所以用水量x>20。代入y=4x30，得4x30=90，解得4x=120，x=30（立方米）。所以小明家上月用水30立方米。（五）【预习反思】（答案略，学生根据实际情况填写）第二课时预习学案（一）【知识链接】【基础】上节课我们学习了如何从实际问题中建立一次函数模型并求解。请回顾解决一次函数实际问题的基本步骤：1.2.3.4.（二）【情境深入】【高频考点】某公司决定租用甲、乙两种货车共6辆，将一批货物一次性运往外地。已知甲种货车每辆可装货物4吨，乙种货车每辆可装货物3吨，且每辆甲种货车的运费是800元，每辆乙种货车的运费是700元。设租用甲种货车x辆。1.问题1：请用含x的代数式表示：（1）租用乙种货车的数量为______辆。（2）这批货物的总运输量为____________吨。（3）总运费y（元）与x之间的函数关系式为________________________。2.问题2：【难点】如果这批货物共有22吨，为了保证一次运完，x应满足什么条件？请你列出相应的不等式。3.问题3：在问题2的条件下，求总运费y的最小值，并写出此时租用甲、乙两种货车的方案。（三）【图象信息题】【热点】【核心概念】一辆快车和一辆慢车分别从A、B两站同时出发，相向而行。下图表示两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系。请根据图象回答下列问题：（注：学生在预习时，需要在纸上根据描述自行画出草图或想象图象。图象大致描述：出发时y为900，经过3小时y变为0，之后又逐渐上升，到第6小时y达到600。）1.问题1：A、B两站之间的距离是多少千米？2.问题2：快车和慢车相遇时，行驶了多少小时？3.问题3：请分别求出快车和慢车的速度。4.问题4：线段BC（假设图象中从相遇点到某个时刻的线段）所表示的实际意义是什么？当x=4.5时，两车之间的距离是多少千米？（四）【方案决策问题】【难点】【易错点】某校八年级计划租用甲、乙两种型号的客车送学生去博物馆参观。总共有学生240人，教师20人，共260人。甲种客车每辆可坐40人，租金为600元；乙种客车每辆可坐30人，租金为500元。要求每辆车上至少要有一名教师。1.问题1：设租用甲种客车x辆，请用含x的代数式表示租车总费用y（元）。2.问题2：为了保证所有师生都能有座位，且每辆车上至少一名教师，请你写出所有可能的租车方案。3.问题3：在问题2的所有方案中，哪一种方案最省钱？最少费用是多少？（五）【预习质疑】【难点】通过本课时的预习，你认为在解决含有不等式约束的方案选择问题时，最关键的一步是什么？你最容易在什么地方出错？1.我认为最关键的一步是：__________________________________________2.我容易出错的地方是：____________________________________________第二课时预习学案参考答案（一）【知识链接】1.审题：分析题意，找出题目中的常量与变量，弄清自变量和因变量，明确问题情境。2.建模：根据等量关系，列出一次函数解析式，并根据实际意义确定自变量的取值范围。3.求解：运用一次函数的性质（增减性）或通过解方程、不等式等方法求解数学问题。4.解释：将数学结果放回实际问题中，检验其合理性，并给出符合实际意义的答案。（二）【情境深入】1.问题1：（1）租用乙种货车的数量为(6x)辆。（2）这批货物的总运输量为[4x+3(6x)]吨，化简得(x+18)吨。（3）总运费y（元）与x之间的函数关系式为y=800x+700(6x)=800x+x=100x+4200。2.问题2：为了保证一次运完22吨货物，需要总运输能力不小于22吨，即4x+3(6x)≥22。化简得x+18≥22，解得x≥4。同时，x是租用甲种货车的数量，且总共有6辆车，所以x≤6，且x为非负整数。因此x的取值范围是4≤x≤6的整数。3.问题3：总运费y=100x+4200，其中k=100>0，所以y随x的增大而增大。因此，要使总运费y最小，应取x的最小值。在x的取值范围（4,5,6）内，最小值为x=4。此时y最小=100×4+4200=400+4200=4600（元）。方案为：租用甲种货车4辆，乙种货车2辆。（三）【图象信息题】（根据描述，图象关键点：起点(0,900)，表示出发时相距900千米；点(3,0)表示两车相遇；点(6,600)表示又行驶了3小时后，两车相距600千米。）1.问题1：A、B两站之间的距离是出发时两车的距离，即900千米。2.问题2：两车相遇时，距离为0，对应时间为3小时。3.问题3：两车速度和为900÷3=300（千米/小时）。从相遇后到第6小时，经过3小时，两车背向而行，拉开距离600千米，所以两车速度和仍为600÷3=200（千米/小时），但这是错的。实际上，从点(3,0)到点(6,600)，是相遇后继续行驶，假设快车到达A站后停止或掉头？需要重新分析。如果两车到达各自终点后停止，则BC段可能是一车停一车走。但更常见的题型是相遇后继续向对方起点行驶。那么从3小时到6小时，快车到达B站，慢车到达A站，此时距离是A到B全程？不对。若快车从A到B，慢车从B到A，相遇后，快车继续向B行驶，慢车继续向A行驶，当快车到达B时，慢车还在路上，此时距离是快车在B，慢车在距A某处。我们假设快车速度v快，慢车速度v慢，则v快+v慢=300。从相遇到快车到达B（即快车走完慢车原来走过的路程），设相遇时快车走了3v快，慢车走了3v慢。快车从相遇点到B还需走3v慢的距离，用时t=(3v慢)/v快。慢车从相遇点到A还需走3v快的距离。题目中6小时是另一个点，可能快车已经到达B并返回？但图象只给到6小时。我们不妨设线段BC表示从相遇后到其中一车到达终点。若6小时时两车相距600，则可能是快车到达B，慢车还在路上。此时慢车从相遇点又走了(63)=3小时，走了3v慢，所以慢车距A的距离为3v快3v慢？不。更简单：两车3小时共走900，速度和不难求。但要求各自速度，需另一个条件。由图象知，从3到6小时，3小时两车距离从0增加到600，说明两车背向而行，速度和为600÷3=200。这与之前300矛盾？说明不是简单的背向。如果两车相遇后交换方向继续向各自起点前进，那么他们仍然是相对而行？不对，相遇后，快车要去B，慢车要去A，他们的行驶方向是相反的，但他们是背向远离吗？从A站的角度看，快车从A向B，慢车从B向A，相遇时，快车过了A到B的一半，慢车过了B到A的一半。相遇后，快车仍向B，慢车仍向A，所以他们实际上是在相互远离，因为快车离A越来越远，慢车离B越来越远，他们之间的距离在增大。此时他们背向而行的速度和确实是v快+v慢=300，但为什么3小时只增加了600？应该是900才对。这里出现矛盾，说明我假设的图象数据可能不标准。我们换一种常见题型：线段BC表示的是从相遇到快车到达B站停下，慢车继续向A行驶的过程。快车到达B后停止，那么从相遇到快车停止这段时间，快车还在运动，之后快车停止，慢车单独运动。那么图象的转折点就是快车到达B的时刻。设快车速度v快，慢车v慢，全程900，相遇时间3，则v快+v慢=300。从相遇到快车到B，快车要走的路程是慢车3小时走的路程，即3v慢，用时t1=3v慢/v快。这段时间内，两车都在运动，相背而行，距离增加量为(v快+v慢)×t1=300×(3v慢/v快)=900v慢/v快。此时总距离为这个增加量。之后快车停止，只有慢车向A运动，直到到达A。但题中给的点(6,600)，总时间6小时，说明从相遇到快车停止，再到6小时，慢车又走了一段时间。这个计算复杂。我们放弃复杂推导，直接按常见结论：快车速度比慢车快，相遇后快车先到站。但既然题目是预习学案，我们就按最简单理解：图象信息题需要学生从图象读取点坐标，理解线段意义。这里我们就假设已知条件中给出了快车和慢车速度分别为100和80之类的。但作为参考答案，我们应给出具体数值。我们可设快车速度a，慢车速度b。则a+b=300。从相遇点(3,0)到(6,600)，经过3小时，距离增加了600，这3小时如果两车都在运动，则背向速度和为200，但这是不可能的，因为速度和恒为300。所以只能是一辆车停了。假设快车到达B后停止，那么从相遇点到快车停止，用时t，快车走了3b的路程，用时t=3b/a。此时两车距离为(a+b)t=300(3b/a)。然后快车停止，慢车继续向A走，从快车停止到6小时，时间间隔为3t，慢车走了b(3t)，所以总距离为300(3b/a)+b(3t)。这个复杂，我们直接设一个合理答案。常规题目中，往往给出的是折线，B点对应一车到站。我们这里就不深究，直接给出参考答案常用值：设快车速度100千米/时，慢车80千米/时，则和180，不对。必须和为300。那就设快车160，慢车140，和300。从相遇到快车到B，快车走的路程是慢车3小时走的1403=420，用时420/160=2.625小时。此时两车距离增加3002.625=787.5，之后慢车再走32.625=0.375小时，距离增加1400.375=52.5，总距离787.5+52.5=840，不是600。所以假设不成立。我们只能用原题数据反推。原题说6小时距离600，3小时相遇，那么后3小时距离增加600，如果两车都在动，速度和应为200，但总距离900，速度和应为300，所以肯定有一辆车停了。设快车速度v快，慢车v慢，v快+v慢=300。从相遇到快车到站用时t，则t=3v慢/v快。此时两车距离为300t。然后慢车继续走(3t)小时到6小时，距离增加v慢(3t)。总距离300t+v慢(3t)=600。代入t=3v慢/v快，v快=300v慢。解方程得v慢=100，v快=200。则t=3100/200=1.5小时。此时距离为3001.5=450，然后慢车再走1.5小时，距离增加1001.5=150，总450+150=600。符合。所以：4.快车速度为200千米/时，慢车速度为100千米/时。5.线段BC表示从两车相遇后到快车到达B站（即快车停止）这一过程。当x=4.5时，此时快车已停止（因为快车在1.5小时后即x=4.5时已停止），慢车仍在行驶。从相遇点(3,0)到快车停止(4.5,450)，再到x=4.5，正好是快车刚停止的时刻，所以两车距离为450千米。（四）【方案决策问题】1.问题1：租车总费用y=600x+500(租用乙种客车辆数)。设租用乙种客车y辆，则总座位数为40x+30y，需满足40x+30y≥260，且每辆车至少一名教师，教师共20人，所以租车总数x+y≤20。总费用y元=600x+500y。但这里y表示乙种客车数量，与费用符号重复，我们改用z表示乙种客车数量。则总费用y总=600x+500z。且满足40x+30z≥260，x+z≤20，x、z均为非负整数。2.问题2：由40x+30z≥260，得4x+3z≥26。且x+z≤20。列举所有非负整数解：...0时，3z≥26，z≥9，且z≤20，z可取9到20，但x+z≤20，z≤20，所以z=9,...,20均满足，但需考虑实际师生260人，座位足够即可。当x=1时，4+3z≥26，3z≥22，z≥8，z≤19，z可取8到19。当x=2时，8+3z≥26，3z≥18，z≥6，z≤18，z可取6到18。当x=3时，12+3z≥26，3z≥14，z≥5，z≤17，z可取5到17。当x=4时，16+3z≥26，3z≥10，z≥4，z≤16，z可取4到16。当x=5时，20+3z≥26，3z≥6，z≥2，z≤15，z可取2到15。当x=6时，24+3z≥26，3z≥2，z≥1，z≤14，z可取1到14。当x=7时，28+3z≥26，恒成立，z≥0，z≤13，z可取0到13。当x=8时，32+3z≥26，恒成立，z≥0，z≤12，z可取0到12。以此类推，直到x=20时，z=0。但需保证每辆车至少一名教师，即总车数≤20，这已由x+z≤20保证。但更严格的是每辆车一名教师，即教师数20≥车数，即x+z≤20，已包含。所以所有满足x+z≤20且4x+3z≥26的非负整数解都是方案。但实际中，座位也不能浪费太多，但题目只要求有座位即可。所以方案很多。3.问题3：要使费用y=600x+500z最小，由于500<6