2025年上海徐汇中学高二（下）数学5月月考卷含答案

徐汇中学高二数学第二学期综合练习102.抛物线y上一点到点(2,0)的距离最小值为(36,a)为直线3x+8y+4=04.一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了件产品.5.在等差数列{an}中，an=n+c，Sn是数列{an}的前n项和，若S9<0，则c的取值范围是_____6.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据.若这两组数据的中位数相等，且平均值 8.抛物线x2=4y的准线与圆x2+y2=r2相切，将圆绕直径所在直线旋转一周形成一个几何体，则该几何体的表面积为.9.已知点P为双曲线右支上的一点，点F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若+则双曲线的离心率为.一点到坐标原点距离的最小值为.11.房屋的天花板上点P处有一光源，P在地面上的射影为Q，在地面上放置正棱锥S-ABCD，底面1 mABCD接触地面．已知正四棱锥S-ABCD的高为1m，底面ABCD的边长为2，Q与正方形ABCD的中心O的距离为3m，又PQ长为3m，则棱锥影子（不包括底面ABCD）的面积的最大值为.12.机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为12cm，开口直径为8cm．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于.13.如果A、B是独立事件，A,B分别是A、B的对立事件，那么以下等式不一定成立的是.A.P(A∩B)=P(A)P(B)BP(A∩B)=P(A)P(B).C.P(AUB)=P(A)+P(B)D.P(A∩B)=[1-P(A)][1-P(B)]14.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中以下命题正确的是()A.MN/A.MN//BCB.D1、N、M三点共线C.D1M与A1C是异面直线D.15.有一四边形ABCD，对于其四边AB、BC、CD、DA，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到A.B.C.D.（1）求{an}和{bn}的通项公式；18.如图，ABCD—A1B1C1D1是一块正四棱台形铁料，上、下底面的边长分别为20cm和40cm，高30cm.（1）求正四棱台ABCD—A1B1C1D1的侧面BCC1B1与底面ABCD所成二面角的大小；（2）现削去部分铁料（不计损耗将原正四棱台打磨为一个圆台，使得该圆台的上、下底面分别为原正四棱台上、下底面正方形的内切圆及其内部．求削去部分与原正四棱台的体积之比.作直线l的平行线与椭圆Γ交于M、N两点.（1）求证：直线l与椭圆Γ有且仅有一个公共点，并求该公共点的坐标；（2）记（1）中的公共点为P，求证：P、M、A1、N四个点在同一圆C上，并求圆C的一般方程.20.甲乙是两个体育社团的小组.如下是两组组员身高的茎叶图（单位：厘米以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间，个位数作为“叶”分列在两边（1）分别求甲、乙两组组员身高的第60百分位数；（2）从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率；（3）为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组.是否存在甲组的一个组员，将他调派到乙组后，甲乙两组的平均身高都增大？21的左、右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上一点.（1）求双曲线C的离心率；（2）设过点P和F2的直线l与双曲线C的右支有另一交点为的取值范围；（3）过点P分别作双曲线C两条渐近线的垂线，垂足分别为M、N两点，是否存在点P，使得若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.徐汇中学高二数学第二学期综合练习10【答案】1【解析】【分析】利用向量垂直数量积等于0即可得到结果.故答案为：12.抛物线y2=8x上一点到点(2,0)的距离最小值为【答案】2【解析】【分析】在抛物线y2=8x上任取一点计算它到定点(2,0)的距离，求其最小值即得.【详解】设抛物线y2=8x上一点A故当y=0时，抛物线上任一点到点的距离最小值为2.故答案为：2.【答案】96【解析】【分析】根据直线的法向量与直线方向向量垂直的性质，结合向量垂直的坐标表示来求解a的值.因为向量n-=(36,a)为直线的一个法向量，所以n-与直线的方向向量垂直.根据向量垂直的坐标表示，若两向量垂直，则它们的数量积为0，即n-.=0.故答案为：96.4.一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了件产品.【答案】5600【解析】【详解】试题分析：因为抽取的个体数组成一个等差数列，所以甲，乙，丙生产的产品也组成一个等差数列，设乙生产线生产了a件产品，那么甲和丙共生产了2a件产品，所以3a=16800，解得a=5600.考点：分层抽样5.在等差数列{an}中，an=n+c，Sn是数列{an}的前n项和，若S9<0，则c的取值范围是【解析】【分析】根据等差数列的基本性质，写出S9，根据题意列出不等式，求出范围.6.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据.若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x+y=【答案】8【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，结合题意条件，建立方程组，求解得到x,y的值即可.【详解】由茎叶图可知，甲组数据从小到大顺序为：56,62,65,70+x,74，其中位数为65，平均值为乙组数据从小到大顺序为：59,61,60+y,67,78，其中位数为60+y，平均值为故答案为：8.1-z22的值为______.【解析】【分析】利用复数的几何意义，把复数和平面向量建立一一对应关系，再利用向量的加减运算及平行四边形的性质即可.2，2 ,z2 故答案为：-3.8.抛物线x2=4y的准线与圆x2+y2=r2相切，将圆绕直径所在直线旋转一周形成一个几何体，则该几何体的表面积为.【答案】4π【解析】【分析】利用抛物线的性质求准线，利用相切求半径，即可用球的表面积求解.【详解】因为抛物线方程为x2=4y，可知准线方程为y=-1，又由圆x2+y2=r2与准线相切，可知：r=1，将圆绕直径旋转一周所成的球的表面积为：S=4π,故答案为：4π.9.已知点P为双曲线右支上的一点，点F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若M为△PF1F2的内心，且S△PM=S△PMF2+则双曲线的离心率为.【答案】2【解析】【分析】设出内切圆半径，由三角形面积等式，结合双曲线定义可得a,c关系，进而求出离心率.【详解】设内切圆半径为R，由题意知S△PM=S△PMF2+即PF1PF2=c，由点P为双曲线右支上的一点，故答案为：2.一点到坐标原点距离的最小值为. 【解析】【分析】根据点到直线的距离公式，结合辅助角公式，即可求解.【详解】Ω表示直线xcosθ+ysinθ=4+sinθ+2cosθ,θ∈R上的点构成的集合，故原点到直线的距离为4+sinθ+2cosθ,其中φ为锐角故d的最小值为4-·,故集合Ω中任意一点到坐标原点距离的最小值为4-， 故答案为：4-·511.房屋的天花板上点P处有一光源，P在地面上的射影为Q，在地面上放置正棱锥S-ABCD，底面ABCD接触地面．已知正四棱锥S-ABCD的高为1m，底面ABCD的边长为m，Q与正方形ABCD的中心O的距离为3m，又PQ长为3m，则棱锥影子（不包括底面ABCD）的面积的最大值为.【解析】【分析】作出图形，利用相似三角形求出影子的高RO，由此可得出棱锥影子（不包括底面ABCD）的面积为S△RBD-S△ABD，欲使得棱锥影子（不包括底面ABCD）的面积最大，则△RBD最大，即RQ丄BD且点C在直线OQ上，最后利用三角形的面积公式计算出棱锥的影子（不包括底面ABCD）的面积即可.【详解】如下图所示：设影子RO=x，由△RSO~△RPQ，得即解得，所以，棱锥的影子（不包括底面ABCD）的面积为S△RBD-S△ABD，欲使得棱锥影子（不包括底面ABCD）的面积最大，则△RBD的面积取最大值，此时RQ丄BD且点C在直线OQ上，所以，棱锥的影子（不包括底面ABCD）的面积的最大值为故答案为.【点睛】本题主要考查中心投影及中心投影作图法，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.12.机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为12cm，开口直径为8cm．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于.【解析】【分析】依题意，利用等腰三角形ABC求得cosα,再由余弦定理求出椭圆长轴长，作出圆锥的轴截面交椭圆于点P,Q，建立坐标系，利用三角形重心性质和相似三角形求出点P坐标，代入椭圆方程即可求得半短轴长，利用离心率定义计算即得.【详解】 设椭圆中心为O,作圆锥的轴截面AMN,与底面直径BC交于E，与椭圆交于P,Q，连AE交BD于G，以点O为原点，DB为x轴，建立直角坐标系.从而则得不妨设椭圆方程为把a=和点P坐标代入方程，解得，故答案为：.13.如果A、B是独立事件，A,B分别是A、B的对立事件，那么以下等式不一定成立的是.A.P(A∩B)=P(A)P(B)B.P(A∩B)=P(A)P(B)C.P(AUB)=P(A)+P(B)D.P(A∩B)=[1-P(A)][1-P(B)]【答案】C【解析】【分析】根据相互独立事件的定义以及性质，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A,由于A、B是独立事件，故P(A∩B)=P(A)P(B)，A正对于B，由于A、B是独立事件，则A,B也是相互独立事件，故P(A∩B)=P(A)P(B)，B正确，对于C，P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B),故由于P(A∩B)不一定为0，故C错误，对于D,由于A、B是独立事件，则A,B也是相互独立事件，P(A∩B)=P(A)P(B)=[1-P(A)][1-P(B)],D正确，故选：C以下命题正确的是()A.MN/A.MN//BCB.D1、N、M三点共线C.D1M与A1C是异面直线D.【答案】B【解析】分析】以AB,AD,分析】以AB,AD,AA1为基底结合图形，利用空间向量的线性运算推理作答.-c，2,即有有公共点N，所以D1、N、M三点共线，B选项正确.因为点N在直线D1M上，点N也在直线A1C上所以D1M与A1C是相交直线，故C选项错误.因为，所以选项错误.故选：B15.有一四边形ABCD，对于其四边AB、BC、CD、DA，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据分步计数原理及古典概型的概率公式求解即可.【详解】根据题意，对于其四边AB、BC、CD、DA，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币，要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C，若保留AB,BC两条边，则CD,DA可保留也可擦去，若保留AD,DC两条边，则AB,BC可保留也可擦去，共有2×21=3种情况（其中有一种情况与上面重复则要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C，共有7种情况，所以可以到达C点的概率为.故选：B. 【答案】D【解析】C(cosα,sinα)，再由数量积的坐标表示及两角差的正弦公式计算可得.【详解】因为A、B、C是单位圆上的三个点，如图建立平面直角坐标系，不妨设，所以故选：D（1）求{an}和{bn}的通项公式；n1【解析】【分析】（1）根据等差数列前n项和公式求出a1；根据等比数列通项公式求出q；从而可得{an}和{bn}的通项公式；（2）求出cn，根据其为等比数列，利用等比数列前n项和公式即可求解.【小问1详解】n设等比数列{bn}的公比为qn-1.【小问2详解】由题可知，cn=22n-3+22n-1=×4n，为等比数列求和，首项为，公比为4，18.如图，ABCD-A1B1C1D1是一块正四棱台形铁料，上、下底面的边长分别为20cm和40cm，高30cm.（1）求正四棱台ABCD-A1B1C1D1的侧面BCC1B1与底面ABCD所成二面角的大小；（2）现削去部分铁料（不计损耗将原正四棱台打磨为一个圆台，使得该圆台的上、下底面分别为原正四棱台上、下底面正方形的内切圆及其内部．求削去部分与原正四棱台的体积之比.【解析】【分析】（1）结合正四棱台的结构特征，利用几何法求出二面角的平面角.（2）利用圆台、棱台的体积公式计算得解.【小问1详解】设正方形ABCD，A1B1C1D1的中心分别为O,O1，连接OO1，则OO1丄平面ABCD，由E，E1分别为等腰梯形BCC1B1底边BC，B1C1的中点，得EE1丄BC，E1//A1B1//AB//OE，得四边形O1OEE1是一个直角梯形，EE1丄BC，又OE丄BC，上OEE1为所以侧面BCC1B1与底面ABCD所成二面角的大小为arctan3.【小问2详解】依题意，圆台O-O1上底面半径r=10cm，下底面半径R=20cm，高O1O=30cm，则圆台O-O1的体积为×30=7000π又正四棱台的体积×30=28000所以削去部分的体积V3=28000-7000π(cm3)，所以削去部分与正四棱台的体积之比为19.如图所示，A1、A2分别为椭圆=1的左、右顶点，直线l的方程为x+2y-4=0．过原点O作直线l的平行线与椭圆Γ交于M、N两点.（1）求证：直线l与椭圆Γ有且仅有一个公共点，并求该公共点的坐标；（2）记（1）中的公共点为P，求证：P、M、A1、N四个点在同一圆C上，并求圆C的一般方程.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析，x2+y2+【解析】【分析】（1）联立Γ与l的方程，求解方程组得解；2再验证点N在圆上.【小问1详解】联立Γ与l的方程，故Γ与l有且仅有一个公共点.【小问2详解】依题意，直线MN的方程为 ,设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入A1、解得，解得此时圆方程为x2+y2+将点代入上述方程，得3+所以点N也在此圆上，故P、M，A1,N四点共圆.20.甲乙是两个体育社团的小组.如下是两组组员身高的茎叶图（单位：厘米以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间，个位数作为“叶”分列在两边（1）分别求甲、乙两组组员身高的第60百分位数；（2）从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率；（3）为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组.是否存在甲组的一个组员，将他调派到乙组后，甲乙两组的平均身高都增大？【答案】（1）甲组第60百分位数为173厘米，乙组第60百分位数为166.5厘米（3）把甲组的其中一个167厘米的组员调到乙组【解析】【分析】（1）直接利用百分位数计算公式即可；（2）根据组合公式和古典概率公式计算即可；（3）求出两者平均数，则所调的人员身高应该两平均数之间（不包括两平均数）.【小问1详解】所以甲组的第60百分位数为从小到大排列的第8位组员身高，为173厘米；所以乙组的第60百分位数为从小到大排列第6位和第7位组员身高的平均数，