工科数理统计-课件 6 方差分析与正交实验设计

第6章

方差分析与正交实验设计6.1单因素方差分析6.2双因素方差分析6.3正交实验设计经典统计案例：汽车制造中的正交实验设计6.1单因素方差分析假设影响研究指标的因素只有一个，例如考虑粮食产量是否受肥料影响，肥料种类包括磷肥、钾肥、氮肥、混合肥.这里肥料就是一个因素，通常用字母A

表示，该因素涉及的四种肥料称为水平，本例中有4个水平，表示为A1、A2、A3、A4.假设每个水平下单位面积的粮食产量服从正态分布，表示为Xi~N

μi，σ2，i=1，2，3，4，且方差相同.考察因素A

是否对粮食产量有影响，即检验在不同A

水平下粮食产量的均值是否存在显著差异.提出假设：

检验假设

其中，μ表示因素A

下指标的总平均值；αi

表示由水平i不同产生的效应；εi

表示随机误差或随机效应.指标Xi

是各种效应的叠加，用样本描述的统计模型为由模型可知，数据Xij

之间的差异与αi

和εij

有关.若原假设成立，αi

=0，则这种差异完全由随机误差引起；否则，还包含水平不同产生的变异.方差分析的核心思想是分解变异，即将数据的总变异分解为外部因素引起的变异和随机误差引起的变异，通过比较两者以确定外部因素作用的显著性.下面对各种偏差进行分析：(1)整体数据之间的差异可表示为原假设和备择假设等价形式为

根据正态总体抽样定理，有(2)同一水平下数据之间的差异可表示为

计算交叉项因此

SST=SSA+SSe，进一步SST，SSA，SSe

的自由度分别为fT=n-1，fA=k-1，fe=n-k，且n-1=(k-1)+(n-k).由柯赫伦定理，若原假设成立，则并且SSA

与SSe

相互独立.构造检验统计量若备择假设成立，则SSA

偏大，而SSe

与假设结果无关，故检验统计量值偏大.对于给定的显著性水平α，拒绝域为一般情况下，计算检验统计量可使用以下公式：

人造纤维的抗拉强度是否受掺入其中的棉花百分比影响，这一点尚存疑问.现确定棉花百分比的5个水平：15%，20%，25%，30%，35%.每个水平下测5个抗拉强度的值，列于表6-3中.在显著性水平α=0.01条件下，检验抗拉强度是否受掺入棉花百分比的影响?解

设抗拉强度模型为xij=μi+εij，其中εij

~N(0，σ2)，i，j=1，2，3，4，5.原假设

H0：μ1=μ2=μ3=μ4=μ5，备择假设

H1：μi≠μj，至少存在一对i，j

成立.这里SST，SSA，SSe

的自由度分别为24、4、20，则方差分析表见表6-4因F=14.76>4.43=F0.014，20，故拒绝原假设H0，接受H1，说明棉花百分比对人造纤维的抗拉强度有影响.6.2双因素方差分析如果一个指标受两个因素影响，那么这就是双因素方差分析的内容.例如，粮食的产量不仅与肥料有关，还可能与气候有关.我们想知道：每个因素对指标的影响是否显著；两个因素同时作用下是否还会产生额外的影响，即交互作用.设两因素分别为A

和B：因素A

有r个水平，记为A1，A2，…，Ar；因素B

有s个水平，记为B1，B2，…，Bs；水平组合Ai×Bj(i=1，2，…，r；j=1，2，…，s)下产生的总体服从正态分布Xij~N(μij，σ2).令：

我们要做的工作是检验以下三个假设：①

因素A

对指标是否有显著影响②

因素B

对指标是否有显著影响HA0：α1=α2=…=αr=0，HA1：αi≠0，至少存在一个i成立.HB0：β1=β2=…=βs=0，HB1：βj≠0，至少存在一个j

成立.③

因素A×B对指标是否有显著影响HAB0：γij=0，i=1，2，…，r，j=1，2，…，s，HAB1：γij≠0，至少存在一组i，j

成立.从每个总体抽取t

个样本，数据总个数为n=rst，见表6-5.用样本描述统计模型如下：εijk~N(0，σ2)，各εijk相互独立.类似于单因素方差分析的理论和步骤，在进行统计分析时，首先引入关于样本数据的表示符号和代表意义：

1.总离差平方和分解其中表示每个总体内部的数据差异，即随机误差平方和，自由度为fe

=rs(t-1).表示A

因素各水平下数据之间的差异，即A

水平差，自由度为

fA=r-1；表示B因素各水平下数据之间的差异，即B水平差，自由度为fB=s-1；表示A×B

各交互水平下数据之间的差异，即交互水平差，自由度为总的偏差由四部分构成：随机抽样误差、A

因素水平偏差、B

因素水平偏差和交互水平偏差.分解式中的交叉项整理结果皆为0.各项平方和对应的自由度分别为

2.构造检验统计量若原假设成立，则

给定显著性水平为α，拒绝域分别为为了后面计算方便，整理公式为其中这里需要说明的是，如果实验之前我们能够确定两个因素之间没有交互作用，那么就不需要对交互性进行检验，每个总体只需抽取一个样本，详见表6-6.样本描述统计模型如下：

原假设和备择假设为HA0：α1=α2=…=αr=0，HB0：β1=β2=…=βs=0.HA1：αi≠0，至少存在一个i

成立，HB1：βj≠0，至少存在一个j

成立.各偏差平方和为其中自由度分别为

拒绝域分别为试验使用4种燃料和3种推进器进行火箭射程测试，每种组合情况做一次试验，并记录火箭射程(单位：m)数据，见表6-7.假设A和B

无交互作用，试分析燃料

A

与推进器

B

对火箭射程有无显著影响

α=0.05.解

该双因素试验，若不考虑交互作用，则模型为xij=μ+αi+βj+εij

，其中εij~N(0，σ2)，i=1，2，3，4，j=1，2，3.HA0：α1=α2=α3=α4=0，HB0：β1=β2=β3=0.原假设和备择假设为HA1：αi≠0，至少一个i，HB1：βj≠0，至少一个j.这里r=4，s=3，rs=12.计算ST，SA，SB，SE

的自由度分别为11，3，2，6.方差分析表见表6-8.由于F1=0.43<4.76，F2=0.92<5.14，因此接受原假设HA0、HB0，认为不同燃料、不同推进器对火箭射程均无显著影响.6.3正交实验设计6.3.1正交实验表的特点和选取正交实验表是利用组合数学理论，在拉丁方和正交拉丁方基础上构造的一种表格.首先介绍一个单水平下的正交实验表L9(34)，见表6-9.符号L9(34)表示这张表最多安排4个因素，每个因素都有3个水平，正常情况下至少需要34

次实验，而利用这张表只需做9次实验.在表6-9中，每一列代表一个因素，4列最多安排4个因素；每一列下都有1、2、3三个数字，代表这一因素下的3个水平.通过观察可以发现两个特点：一是每一列中1、2、3出现的次数相同，每个数字都出现3次；二是任意两列中，例如第1列和第2列，不同水平组合(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)的实验次数相同，均为1次.单水平正交实验表的符号为Ln(mk)，其中k

表示最多安排的因素个数，m表示每个因素的水平数，n表示安排的实验次数.单水平正交实验表中，每个因素包含的水平个数相同；若各因素包含的水平个数不完全相同，则为混合水平正交实验表.例如L8(41×24)表示最多安排5个因素，其中一个因素有4个水平，其他4个因素都是两个水平，见表6-10.正常情况下至少需要41×24

次实验，而利用这张表只需要做8次实验.6.3.1正交实验表的特点和选取这张表的第一列有1、2、3、4四个数字，表示这个因素有4个水平；后四列有1、2两个数字，表示这四个因素每个因素都有两个水平.通过观察同样可以发现两个特点：一是每一列中不同数字出现的次数相同，第一列1、2、3、4都出现2次，而后四列1、2都出现4次；二是任何两列中，例如第1和第2列，不同水平组合(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)的实验次数相同，都是1次，而第2列和第3列，不同水平组合(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)的实验次数相同，都是2次.

6.3.1正交实验表的特点和选取例如L8(27)和L16(44×23)见表6-11和表6-12.正交实验表的构造必须满足均衡性条件.构造正交实验表并不是一件简单的事情，在某些情况下，构造正交实验表非常困难，甚至根本不存在满足条件的正交实验表.如果找不到适合的正交实验表，从实际问题出发，合理减少因素或调整水平个数是解决问题的一个有效途径.如果因素之间存在交互作用，可以将因素间的水平组合看成一个新的因素，仍然利用单水平或混合水平的正交实验表来安排实验.6.3.2正交实验设计的直观分析正交实验设计首先根据问题中因素的个数和每个因素的水平，选择合适的正交表；然后将各因素分别排在正交实验表的适当列上.至于每个因素安排在哪一列，有时可以任意安排，但如果需要考虑交互作用，则因素的排列要满足一定规则.对于存在交互作用的正交实验，有专门的表头设计，应按照表头设计安排因素列和交互列.最后，根据正交实验表每一行所对应的因素水平组合安排实验，对实验结果进行分析.所谓直观分析，是根据实验结果，经过简单的数据处理(如求平均值、极差等)，进行比较，直观地判断各因素对实验结果的影响大小，从而获得最优的水平组合方案.直观分析的步骤如下：(1)计算每列中每个水平下的实验结果总和，得到K值行.每一列有几个水平，就有几个K值；(2)计算K值的平均值，即将每个K值(由若干次实验结果相加得到)除以相应的实验次数，得到k值行。它代表该因素各水平下实验结果的平均水平；(3)求每列k值的极差，即该列中最大k值与最小k值之差。极差反映了该因素不同水平对实验结果的影响程度。极差越大，表示该因素影响越大，应优先考虑；(4)根据实验目标要求，在每一列中选择对应的最优水平，从而确定实验的最优方案.1.单水平正交实验分析在单水平情况下，选择正交表相对容易.在对应水平下，只要因素个数不超过正交实验表的列数，每个因素各占一列即可.6.3.2正交实验设计的直观分析某工厂生产一种化工产品，指标是产品的纯度，指标值越大越好.据经验知，影响产品纯度的因素有4个：反应温度A

、反应时间B、原料配比C

和真空度D，每个因素都有两个水平，见表6-13.请选择适合的正交实验表安排实验，对实验数据进行直观分析，确定最优方案.解

这是一个4因素2水平的实验，选择正交表L8(27)安排实验.实验表含有7列，由于因素之间没有交互作用，因此四个因素可以放在任意四列，根据水平组合情况安排实验，实验结果见表6-14.6.3.2正交实验设计的直观分析6.3.2正交实验设计的直观分析根据给定的步骤进行计算，计算结果见表6-15.6.3.2正交实验设计的直观分析分析计算结果：(1)因素A

的2水平实验结果平均值为87.5，是最大值.由于实验指标越大越好，因此选择A2.同理，其他三个因素分别选择B1、C2

、D2.即最优的水平组合为A2×B1×C2×D2.(2)四个因素中，因素D

的极差最大，说明D

对实验结果的影响最显著；影响最弱的是因素A.一旦因素选择出现困难的情况，要优先考虑影响显著的因素D.在多指标实验或存在交互作用的情况下，极差在分析中的作用尤为重要.2.混合水平正交实验分析在混合水平情况下，可以选择混合水平正交实验表，也可以选择单水平正交实验表进行分析.如果混合水平正交实验表不存在，或所需实验次数过多，可以选择单水平正交实验表，这种方法称为拟水平法.拟水平法是处理混合水平问题的一种典型方法.对于水平数较少的因素，可以通过“拟出”新水平，使其与其他因素的水平数相等.新水平一般选取已有水平中表现较好或较重要的水平进行重复使用.虽然拟水平法在均衡性方面略有欠缺，但能有效减少实验次数.6.3.2正交实验设计的直观分析今有某一实验，实验指标只有一个，且指标值越小越好.实验共有四个影响因素：A

、B、C、D，其中因素C

有2个水平，其余3个因素均有3个水平，且各因素之间没有交互作用.如何安排实验，确定最优水平组合?分析

这是一个混合水平问题，如果选择混合水平正交实验表L18(2×37)进行实验设计，共需进行18次实验，见表6-16.这张正交实验表相较于L9(34)略显复杂.由于多了一个两水平因素，即含有偶数水平，实验次数就必须为偶数，因此最少需要18次实验.我们换一个思路，将因素D的水平数“补齐”为3个，使其转化为单水平情况，这样就可以直接使用单水平正交表L9(34)进行实验设计，实验次数可减少一半.6.3.2正交实验设计的直观分析解

采用拟水平法，选用L9(34)，将因素C

中的2个水平“拟”为3个水平进行实验，四列中可以将任何一列安排这个仅有2个水平的C

因素，本题中选择了第3列，然后将第3列中水平3替换为C

因素的第2水平，按此方案进行实验，实验结果分析见表6-17.计算时唯一需要注意的是：第3列的K

值中，第一个值是3次实验结果之和，另一个值是6次实验结果之和；求k

值时，分别对应除以3和6即可.最终得到的最优水平组合为A3×B3×C1×D3.6.3.2正交实验设计的直观分析3.单水平有交互项的正交实验分析具有交互作用的实验，通常要求各因素的水平数相同，可直接选用单水平正交实验表.混合水平下有交互作用的情况，制表和分析都更为复杂，实验次数也会明显增加.安排实验时需特别注意以下三点：(1)每两个因素的交互项视为一个新“因素”，交互项作为一个新因素未必只占一列，其所占列数由因素的自由度决定.若因素A、B

的自由度均为f，则交互项A×B

的自由度为f×f，每f个自由度占用一列，交互项共占用f

列.有交互作用的实验，对结果分析的方法与没有交互作用时分析的方法一致.(2)具有交互项的正交实验，因素项和交互项放在正交实验表的哪一列是有固定规则的，可以按照交互实验表的表头设计安排.(3)交互作用并非具体因素，而是因素间的联合搭配效应，因此无“水平”概念.交互列在实验安排中不起作用，仅在分析实验结果时用到.某产品产量受A

、B、C3个因素影响，每个因素均有2个水平，任意两个因素之间均存在交互作用(一级交互)，必须考虑.实验指标为产量，越高越好，试安排实验，分析结果并找出最优方案.分析

本题共含3个因素，每两个因素间均有一级交互作用.由于是2水平情况，因此每个交互项的自由度和因素项的自由度相同，都是1.因素项和交互项都只占一列，共需要6列，因此选L8(27)正交表.然后按照交互实验表头设计安排实验.6.3.2正交实验设计的直观分析解

选表L8(27)，给出实验结果并进行直观分析见表6-18.在表6-18中，因素C

的极差最大，对指标的影响最显著，选定C2；其次是A

×B

列，选定(A

×B)2，对应的是A1×B2

或A2×B1；由于A

的极差大于B

的极差，因此以A

为主选择A2×B1，最后方案为A2×B1×C2.6.3.3正交实验设计的方差分析正交实验设计的直观分析法具有简单、直观、计算量小等优点.但它无法判断各因素对实验结果的影响是否显著，也无法确定因素之间是否存在显著的交互作用.更重要的是直观分析法无法估计模型误差的大小，若模型误差较大，就需要修正模型或增加实验.正交实验设计的方差分析方法借鉴单因素方差分析的理论：将正交表的每一列均视为独立因素，交互列也视为一个单独因素，分别计算总离差平方和、因素效应平方和、交互效应平方和及随机误差平方和.假设正交实验共安排了n

次实验，实验结果为x1，x2，…，xn，其中某一列共有k个水平(因素列或交互列)，每个水平下进行t

次实验，即n=k·t.计算过程如下：(1)总离差平方和

则自由度为fT=n

-1.6.3.3正交实验设计的方差分析(2)因素效应平方和对应直观分析的表示符号可以写成自由度为fA=k-1.(3)交互效应平方和若交互项在正交实验表中只占一列，则该列的效应平方和算法与因素列相同，即求出SSA×B.若交互项占多列，则将每一列的效应平方和相加.例如两列情况，自由度为fA×B=fA

×fB.(4)随机误差平方和自由度为fe=fT-f因-f交.最后构造F检验统计量，根据给定的显著性水平得出拒绝域，即可知道各因素项和交互项影响是否显著.最后需要特别强调的是，如果SSe

值过大，应该考虑模型是否合理，因素之间的交互作用是否考虑周全.6.3.3正交实验设计的方差分析用方差分析的方法，分析各因素对结果影响是否显著，并找出最优方案.解

选表L8(27)，计算结果见表6-19.6.3.3正交实验设计的方差分析在表6-19中，S

行是各因素的水平差，代替直观分析中的极差行.计算过程如下：同理由于SSB×C=SSe

=4.5很小，因此认为B

×C

影响可以忽略，归为随机误差项，SSe=9.自由度分别为6.3.3正交实验设计的方差分析检验统计量的值分别为给定显著性水平α=0.05，查表临界点为F0.05(1，2)=18.51，因此各因素显著性排序为C>A

×B>