2.4 用一元二次方程解决问题（3）（教学课件）

第二章一元二次方程

2.4用一元二次方程解决问题（3）学

习

目

标12掌握销售利润问题等量关系：总利润=单件利润×销量，能根据涨价/降价分别列一元二次方程．掌握分段收费解题步骤：先判断区间、再用含参代数式表示单价，最后根据“人数×人均单价＝总收入”列方程．3熟练检验方程的根，结合题目限制条件舍去不符合实际的解．例题讲解例4饮品店销售某种鲜果茶，平均每天可售出200杯，每杯盈利

8元．饮品店降价促销，发现该鲜果茶的单价每降1元，平均每天可多售出50杯，饮品店要想使该鲜果茶的利润达到1800元/天，那么应降价多少元？分析：①不降价时，每天卖200杯，每杯盈利8元，总利润是多少？②

如果每降1元多卖50杯，降2元多卖多少杯？降

x元呢？③

降价后，利润如何计算？例题讲解例4饮品店销售某种鲜果茶，平均每天可售出200杯，每杯盈利

8元．饮品店降价促销，发现该鲜果茶的单价每降1元，平均每天可多售出50杯，饮品店要想使该鲜果茶的利润达到1

800元/天，那么应降价多少元？设该鲜果茶的单价降

x元，可以列表分析如下：每杯盈利/元销售量/杯每天利润/元820016008－x200＋50x1800等量关系：总利润＝单件利润×销量×＝()()例题讲解例4饮品店销售某种鲜果茶，平均每天可售出200杯，每杯盈利

8元．饮品店降价促销，发现该鲜果茶的单价每降1元，平均每天可多售出50杯，饮品店要想使该鲜果茶的利润达到1

800元/天，那么应降价多少元？解：设该鲜果茶的单价降了

x元．根据题意，得

(8－x)(200＋50x)＝1800，化简，得

x2－4x＋4＝0．解这个方程，得

x1＝x2＝2．答：该鲜果茶的单价需降

2

元．检验根的实际意义：降价2元后，每杯盈利：8－2＝6＞0，不亏本，符合经营逻辑；降价后销量：200＋50×2＝300＞0，销量为正数，合理；总利润：6×300＝1800，与目标一致．新知巩固1．某网店销售一种防晒衣，每件成本为40元．经市场调研，售价为50元/件时，可销售200件；售价每增加1元，销售量将减少10件．网店要想盈利2000元，需要卖出多少件防晒衣？应如何定价？解法1：设每件涨价x元，则定价为(50＋x)元，单件利润为(50＋x－40)＝(10＋x)元销量为(200－10x)件．根据题意，得

(50＋x－40)(200－10x)＝2000，化简，得

x2－10x＝0．解这个方程，得

x1＝0，x2＝10．当x＝0时，定价50元，单件利润＝10＋0＝10元，销量＝200－10×0＝200件；当x＝10时，定价60元，单件利润＝10＋10＝20元，销量＝200－10×10＝100件．两组解单件利润、销量均为正数，都符合题意．答：定价50元卖出200件，或定价60元卖出100件．结合单件利润、销量等隐藏约束条件，检验根，舍去不合理的解新知巩固1．某网店销售一种防晒衣，每件成本为40元．经市场调研，售价为50元/件时，可销售200件；售价每增加1元，销售量将减少10件．网店要想盈利2000元，需要卖出多少件防晒衣？应如何定价？解法2：设售价为x元，则单件利润为(x－40)元，销售量为[200－10(x－50)]件．根据题意，得

(x－40)[200－10(x－50)]＝2000，化简，得

x2－110x＋3000＝0．解这个方程，得

x1＝50，x2＝60．当x＝50时，单件利润＝50－40＝10元，销量＝200－10(50－50)＝200件；当x＝60时，单件利润＝60－40＝20元，销量＝200－10(60－50)＝100件．两组解单件利润、销量均为正数，都符合题意．答：定价50元卖出200件，或定价60元卖出100件．新知巩固2．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价0.5元，每星期可多卖出10件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定为多少元？

新知巩固2．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价0.5元，每星期可多卖出10件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定为多少元？

新知归纳易错点：1．符号混淆：降价时利润用减、销量用加；涨价题则利润加、销量减；2．忘记检验：既要检验符合方程，又要检验是否满足其它的附加条件；3．答语要完整：不仅要回答降价/涨价多少，有时还需回答销售量和定价．销售利润问题：价格变化引起单件利润和销量的联动变化．设降（涨）价x元．降价类：(原单件利润－x)×(原销量＋每降1元增量·x)＝总利润；涨价类：(原单件利润＋x)×(原销量－每降1元增量·x)＝总利润．例题讲解例5某旅行社推出云南跟团游活动，下面是收费信息：这次活动中旅行社的收入为14万元，你能确定参加活动的人数吗？∵30×4000＝120000______140000，∴参加这次旅游的人数x____30人．∴人均收费降低了

元，∵增加了________人，∴每个人实际交费

元．根据等量关系：“__________________________”建立方程．因为人均收费不低于______元，所以必须检验求得的解是否符合题意．例题讲解总收入＝人数×人均单价方法点拨＜＞(x－30)50(x－30)4000－50(x－30)2750这次活动中旅行社的收入为14万元，你能确定参加活动的人数吗？人数

x/元人均收费/元x≤304000x＞304000－50(x－30)例题讲解解：设参加活动的共有x人，由4

000×30＜140

000，可知x＞30．根据题意，得

x[4000－50(x－30)]＝140000．化简整理，得

x2－110x＋2800＝0．解这个方程，得

x1＝40，

x2＝70．当x＝40时，4

000－50(x－30)＝4000－50×(40－30)＝3500＞2750．当x＝70时，4

000－50(x－30)＝4000－50×(70－30)

＝2000＜2750．(不合题意，舍去)答：共有40人参加活动．计算分界点总收入，判断未知数所在区间用含未知数代数式表示单价/人均收费列方程求解验根变式训练若旅行社收入为146

250元，则有多少人参加活动？解：设参加活动的共有x人，由4

000×30＜140

000，可知x＞30．根据题意，得

x[4000－50(x－30)]＝146250.化简整理，得

x2－110x＋2925＝0．解这个方程，得

x1＝45，

x2＝65．当x＝45时，4

000－50(x－30)＝4000－50×(45－30)＝3250＞2750．当x＝65时，4

000－50(x－30)＝4000－50×(65－30)

＝2250＜2750．(不合题意，舍去)答：共有45人参加活动．讨论交流解决分段收费问题的基本步骤是什么？(1)确定“分界点”，判断“所在区间”：找出题目中收费标准发生变化的临界数值，计算临界点时的费用，将目标值与临界值比较，判断未知数位于哪个区间；(2)列出“分段代数式”：根据判断出的区间，用含未知数的式子表示出该区间下的单价或费用；(3)建立方程并求解：利用等量关系（如：人数×人均单价＝总收入）列出一元二次方程，并解出根；(4)双重检验，舍去增根：解出的根必须在第二步判断的区间内，且检验人数是否为非负整数，并判断价格是否低于最低限价．新知巩固某旅行社为吸引市民组团去某风景区旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过25，人均旅游费用为1000元；如果人数超过25，每增加

1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元．某单位组织员工到该风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元．问：(1)该单位去风景区旅游的人数是否超过25？解：(1)当该单位去风景区旅游的人数为25时，旅游费用为25×1000＝25000(元)，∵27000＞25000，∴该单位去风景区旅游的人数超过25．新知巩固(2)该单位去风景区旅游的人数是多少？解：(2)设该单位去风景区旅游的人数为x，则人均费用为[1000－20(x－25)]元，根据题意，得

x[1000－20(x－25)]＝27000，整理，得

x2－75x＋1350＝0，解得

x1＝45，x2＝30．当x＝45时，人均旅游费用为1000－20(45－25)＝600＜700，不符合题意，舍去．当x＝30时，人均旅游费用为1000－20(30－25)＝900＞700，符合题意．答：该单位去风景区旅游的人数为30人．课堂小结2.4用一元二次方程解决问题（3）一般步骤：审一设一列表梳理关系一列方程一解方程一结合实