第1章 反比例函数（全章题型归纳）（解析版）

第1章反比例函数（（举一反三讲义）全章题型归纳【新教材苏科版】题型归纳题型归纳TOC\o"1-3"\h\u【夯实基础】 1【题型1反比例函数的定义判定】 1【题型2反比例函数的图象分布象限判断】 3【题型3反比例函数的图象的增减性分析】 5【题型4反比例函数的图象上点的坐标特征】 7【题型5反比例函数的图象的对称性】 9【题型6待定系数法求反比例函数解析式】 13【题型7反比例函数中系数k的简单几何意义】 16【题型8反比例函数的实际应用】 20【进阶拔高】 23【题型9反比例函数与一次函数的交点问题】 23【题型10利用反比例函数的图象解不等式】 28【题型11反比例函数中系数k的几何意义（不规则图形面积）】 33【题型12反比例函数与一次函数的图象分析】 38【题型13反比例函数围成的图形面积】 41【题型14与反比例函数有关的实际应用中的最值问题】 45【创新思辨】 50【题型15与反比例函数有关的动点与存在性问题】 50【题型16反比例函数与图形变换的综合】 60【题型17反比例函数中的定值问题】 70【题型18反比例函数的最值问题】 77【题型19反比例函数新定义题型】 82【题型20反比例函数与角度问题】 87【夯实基础】【题型1反比例函数的定义判定】【例1】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（

）A．y=1x+3 B．y=2x C．【答案】B【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如y=kx（k为常数，根据反比例函数的定义判断即可．【详解】解：根据反比例函数的定义可知y=2故选：B．【变式1-1】（25-26七年级上·广西梧州·期末）下列各选项中的两个量成反比例关系的是（

）A．速度一定，路程与时间 B．圆柱的体积一定，底面积与高C．小明的体重与他的年龄 D．圆的周长与半径【答案】B【分析】本题考查了反比例关系；判断两个量是否成反比例关系，需满足它们的乘积为常数．【详解】解：A．速度一定时，路程与时间成正比，不符合题意；B．V=底面积S×高h，圆柱的体积V一定，底面积与高成反比例关系，符合题意；C．体重与年龄无确定比例关系，不符合题意；D．圆的周长与半径成正比，不符合题意；故选：B．【变式1-2】（25-26九年级上·河南安阳·期末）若y=-2xm是反比例函数，则m的值为（A．2 B．1 C．0 D．-1【答案】D【分析】本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的标准形式是解题关键．反比例函数的标准形式为y=kx或y=kx-1，其中【详解】解：反比例函数的标准形式为y=kx或y=kx-1，其中∵y=-2xm是反比例函数，∴m=-1．故选：D．【变式1-3】（25-26九年级上·山东东营·期末）已知函数y=(3m-8)xm2-10是反比例函数，且其图象所在的每一个象限内，y随【答案】y=【分析】本题考查了反比例函数的性质和定义，熟练掌握反比例函数的定义与性质是解题的关键．根据反比例函数的定义，指数需为-1，且系数需大于0以保证函数在每一象限内y随x的增大而减小．【详解】解：由反比例函数的定义，得m2解得m=3或m=-3，∵图象在每一个象限内y随x的增大而减小，∴3m-8>0，当m=3时，3m-8=3×3-8=1>0，满足条件，当m=-3时，3m-8=3×-3∴m=3，∴函数的表达式为y=3×3-8故答案为：y=1【题型2反比例函数的图象分布象限判断】【例2】反比例函数y=k2+1【答案】一、三【分析】根据k2+1＞【详解】解：∵k2+1＞∴反比例函数的图像在第一、三象限．故答案为：一、三．【点睛】本题考查了反比例函数的图像分布，熟练判定反比例函数系数的正负性是解题的关键．【变式2-1】已知反比例函数y=kx的图象经过点-2,3，则其图象在【答案】二、四【分析】本题考查了反比例函数的性质，y=kx，当k>0时，图象在一、三象限，当k<0时，图象在二、四象限，正确掌握该性质是解题的关键．用待定系数法求出k的值，根据反比例函数的性质判断其【详解】解：将点-2,3代入y=kx得3=k因为k<0，所以y=kx的故答案为：二、四．【变式2-2】（2026·陕西咸阳·一模）反比例函数y=kx（k为常数，k≠0，x<0）的图象与点A的位置关系如图所示，已知点A的坐标为-4,3，则【答案】-10（答案不唯一）【分析】根据函数图象判定出参数k的取值范围即可．【详解】解：∵函数图象位于第二象限，∴k<0；当x=-4时，y=k解得k>-12，∴可取k=-10，（答案不唯一）．【变式2-3】（2026·河北沧州·模拟预测）如图是反比例函数y=kx的图象的一部分，已知点P4,3，则k【答案】10（答案不唯一，0<k<12即可）【分析】本题主要考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的图象上点的坐标特征是关键．直接利用反比例函数的图象上点的坐标特点得出的取值范围，进而得出答案．【详解】解：∵点P4,3在反比例函数y=kx∴当x=4时，y=k∴k<12，又反比例函数y=kx的∴k>0，∴0<k<12，取k=10．【题型3反比例函数的图象的增减性分析】【例3】（2026·四川成都·二模）已知点M3,y1,N7,y2在反比例函数y=k-2x的图象【答案】3（答案不唯一，满足k>2即可）【分析】根据点M3,y1N7,y【详解】解：∵点M3,y1N7,y又∵0<3<7，且y1∴在第一象限内，y随x的增大而减小，∴反比例函数图象经过第一、三象限，∴比例系数大于0，即k-2>0，解得k>2，∴k=3（答案不唯一）．【变式3-1】（25-26八年级下·河南洛阳·期中）已知反比例函数y=-m2+2x的图象上有三点A-3,y1，B-2,y2，C4,【答案】y【分析】先判断反比例函数比例系数k的符号，再根据反比例函数的性质，判断三个点所在的象限，结合每一象限内函数的增减性比较函数值的大小．【详解】解：∵反比例函数y=-m2+2又∵m∴m∴k=-(m∴函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．∵A(-3,y1)，B-2,y∴A，B在第二象限，点C在第四象限，∴y即y2【变式3-2】（2026·天津南开·二模）Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3A．x1<x3<x2 B．【答案】D【分析】先根据比例系数的符号判断函数图象所在象限，再根据y的大小判断各点所在象限，结合反比例函数的增减性比较x的大小即可．【详解】∵反比例函数为y=-2∴k=-2∴反比例函数图象在第二、四象限，且每个象限内y随x的增大而增大，∵y1∴点A、B在第四象限，点C在第二象限，∴x3<0，x1又∵第四象限内y1∴x1综上可得x3【变式3-3】（2026·山东淄博·一模）已知点M-2,y1，N-83,32，Qt,yA．t>2 B．t<0 C．t>2或t<0 D．0<t<2【答案】C【分析】先将点N-83,32代入反比例函数y=kx，求出k=-4，确定函数解析式y=-4x．把点M(-2,y1)代入解析式，算出y【详解】解：∵点N-83∴32k=∴反比例函数为y=-4∵点M(-2,y1)∴y1∵点Q(t,y2)∴y2∵y1∴2+即2>4当t>0时：不等式两边同乘t，不等号方向不变，得2t>4，∴t>2；当t<0时：不等式两边同乘t，不等号方向改变，得2t<4，∴2t<0<4，该不等式恒成立，即t<0都满足条件．综上，t的取值范围是t>2或t<0．【题型4反比例函数的图象上点的坐标特征】【例4】（2026·江苏宿迁·一模）已知Ax1,y1、Bx2,y2、Cx3,y3三点，点A、CA．-1 B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】根据函数图像上点的坐标特征得y1=2x1，y【详解】解：∵点Ax1,y1∴y1=2∵点Bx2,∴y2∵x1+y∴y2=1-x∴1x2=∴x2=1∴x3∴x3【变式4-1】（2025·云南昭通·模拟预测）已知点A(4,n)在反比例函数y=12x的图象上，则n=【答案】3【分析】本题主要考查了反比函数的图像，掌握反比例函数图象上的点坐标满足函数解析式成为解题的关键．把A(4,n)代入反比例函数的解析式即可求得n的值．【详解】解：把A(4,n)代入反比例函数的解析式可得：n=12故答案为3．【变式4-2】（2026·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=-8xx<0的图象经过▱ABCO的顶点A，点B、C分别在x轴负半轴、y轴负半轴上，OC=2，则点A【答案】-4,2【分析】先推导出AB∥OC,AB=OC=2,得到点A的纵坐标为2，进而代入反比例函数的解析式求出x=-4，即可解答．【详解】解：在▱ABCO中，AB∥OC,AB=OC=2,∴点A的纵坐标为2，将y=2代入y=-82=-8解得x=-4，∴点A的坐标是-4,2．【变式4-3】（24-25九年级上·甘肃张掖·月考）已知反比例函数y=kx，若当1≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为4，则A．8 B．8或-8 C．2 D．2或-2【答案】B【分析】本题考查反比例函数的增减性、根据反比例函数的增减性质，列一元一次方程解答即可．【详解】解：当k>0时，在每个象限内y随x的增大而减小，∴当x=1时，y有最大值y=k，则当x=2时，y有最小值y=k∴k-k2=4当k<0时，在每个象限内y随x的增大而增大，∴设x=1时，y有最小值y=k，当x=2时，有最大值y=k∴k2-k=4，解得∴k=8或-8．故选：B．【题型5反比例函数的图象的对称性】【例5】（2026·江苏南通·一模）如图，将反比例函数y=3x的图象向右平移1个单位，可以得到函数y=3x-1的图象．下列关于函数A．该函数图象交y轴于点(0,3)B．该函数图象关于点(0,1)对称C．该函数图象关于直线y=x-1对称D．该函数图象上任取两点x1,y1【答案】C【分析】结合反比例函数的图象与性质以及平移的性质逐项判断即可．【详解】解：对于选项A：将x=0代入y=3x-1，得∴该函数的图象交y轴于点0,-3，故A错误；对于选项B与C：∵y=3x关于点0,0对称，且关于直线又∵y=3x-1由y=3∴y=3x-1关于点1,0对称，且关于直线y=x-1对称，故B错误，对于选项D：举例x1=12，x2满足0<x1<x2【变式5-1】（25-26九年级上·河南·期末）若双曲线y=kx（k≠0）的图象经过点x1,y1和3,y【答案】-3【分析】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，反比例函数的性质，首先由y1+y2=0得到y1和y2互为相反数，然后判断出点x【详解】解：∵双曲线y=kx（k≠0）的图象经过点x1∵y1∴y1和y∵反比例函数的图象关于原点对称，∴点x1,y∴x1和3∴x1故答案为：-3．【变式5-2】（2026·湖南湘潭·一模）如图，正比例函数y=x与反比例函数y=1x的图象相交于A、C两点，过A作AB⊥x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积为（A．12 B．1 C．32 D【答案】B【分析】此题考查了一次函数和反比例函数综合题，由点A与点C关于原点对称得到S△AOB【详解】解：∵正比例函数y=x与反比例函数y=1x的图象相交于A、∴点A与点C关于原点对称，∴yA∵作AB⊥x轴于点B，∴S△AOB∴△ABC的面积=2S【变式5-3】（24-25八年级下·河南新乡·期末）如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=-3x的图象(1)求一次函数的表达式；(2)结合图象，写出满足y1<y(3)分别连接AO、BO并延长与反比例函数交于C、D两点，连接【答案】(1)y(2)-1<x<0或x>3(3)图形见解析，ABCD是平行四边形，理由见解析【分析】（1）求出点A、B的坐标，再利用待定系数法解答即可；（2）根据图象解答即可；（3）根据题意补全图形，再根据反比例函数图象的对称性可得AC与BD互相平分，即可求解；本题考查了待定系数法求一次函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定等，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．【详解】（1）解：把坐标代入y2m=-3-1=3∴n=3，∴A-1,3把A-1,3，B3=-k+b-1=3k+b解得k=-1b=2∴一次函数的表达式为y1（2）解：由图象可知，当-1<x<0或x>3时，y1∴满足y1<y2的x的取值范围为-1<x<0（3）解：图形补充如下：四边形ABCD是平行四边形，理由如下：∵A、C两点关于O点对称，B、∴AC与BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形．【题型6待定系数法求反比例函数解析式】【例6】（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知y是x的反比例函数，且当x=32时，(1)求该反比例函数的表达式；(2)补全表格并描点，画出该反比例函数的图象；x⋯-6-3-2-11236⋯y⋯⋯(3)当-4≤x≤-1时，利用函数图象直接写出函数y的最大值为______．【答案】(1)y=-6(2)填表、画图见解析；(3)6．【分析】（1）利用待定系数法可求得反比例函数的解析式；（2）先完成表格，再描点、连线；（3）结合图象即可得到y的最大值．【详解】（1）解：∵y是x的反比例函数，∴设y=k∵当x=32时，∴-4=k32∴该反比例函数的表达式为y=-6（2）解：列表：x⋯-6-3-2-11236⋯y⋯1236-6-3-2-1⋯描点：连线：画图象如下，（3）解：根据函数图象可知函数y的最大值为：当x=-1时，y=-6故答案为：6．【变式6-1】（25-26八年级下·山西临汾·期中）反比例函数y=kx的图象经过点A4,-6，Ba,8，则A．-2 B．-3 C．2 D．3【答案】B【分析】先求出比例系数k，再代入B点坐标计算a的值．【详解】解：∵反比例函数y=kx的图象经过点∴-6=k∴k=-24，∴反比例函数的解析式为y=-24∵点Ba,8在该反比例函数图象∴8=-24∴a=-3．【变式6-2】（25-26九年级上·湖北荆州·期末）点-1,3，-1,-3，1,-3，-32,2中，只有一个点不在同一个反比例函数的图象【答案】-1,-3【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．设反比例函数的解析式为y=k【详解】解：设反比例函数的解析式为y=k将点-1,3代入得：k=-1×3=-3，将点-1,-3代入得：k=-1×-3将点1,-3代入得：k=1×-3将点-32,2由此可知，只有点-1,-3不在同一个反比例函数的图象上，故答案为：-1,-3．【变式6-3】（2026·河南三门峡·一模）如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点C与原点O重合，已知点B0, 3，点D2,1．点A在反比例函数(1)求反比例函数的表达式．(2)将▱ABCD沿x轴正半轴平移n个单位长度后，点D恰好落在反比例函数的图象上，求n的值．【答案】(1)y=(2)n=6【分析】（1）利用平行四边形的性质求得点A的坐标为2, （2）先求得点D平移后的坐标为2+n,1，再代入y=8【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，顶点C与原点O重合，点B0,∴AD∥∵点D2,∴点A的坐标为2, 将A2, 4代入y=∴反比例函数的表达式为y=8（2）解：当点D沿x轴正半轴平移n个单位长度后，得到的点坐标为2+n,1，将2+n,1代入y=8得1=8解得n=6．【题型7反比例函数中系数k的简单几何意义】【例7】（25-26九年级上·湖南株洲·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=4x(x>0)与矩形OABC的AB边交于点E，且AE:EB=1:2【答案】12【分析】本题主要考查矩形的性质及反比例函数k的几何意义，熟练掌握矩形的性质及反比例函数k的几何意义是解题的关键；过点E作EF⊥OC于点F，由题意易得四边形OAEF是矩形，然后由反比例函数k的几何意义可知：S矩形OAEF=【详解】解：过点E作EF⊥OC于点F，如图所示：∵四边形OABC是矩形，∴∠OAB=∠AOF=90°，∴四边形OAEF是矩形，由反比例函数k的几何意义可知：S矩形∵AE:EB=1:2，∴AE=1∴S矩形【变式7-1】（25-26八年级下·四川内江·期中）如图，点A，B分别在反比例函数y=3x(k≠0)和y=kx位于第一象限的图象上．分别过点A，B向x轴作垂线，若阴影部分的面积为2A．-5 B．5 C．7 D．4【答案】C【分析】阴影部分的面积刚好等于以BO为斜边的大三角形的面积减去以OA为斜边的小三角形的面积，即可得12【详解】解：如图，∵点A,B分别在反比例函数y=3xk≠0和y=∴S△AOE=1又阴影部分的面积为2，∴12解得：k=7．【变式7-2】（2026·湖北宜昌·一模）如图，点A，B分别为反比例函数y=4x（x>0）与y=-9x（x<0）图象上的点，AB∥x轴，点P在x轴上，连接PA、PB，则A．6.5 B．8.5 C．11 D．13【答案】A【分析】连接OA，OB，设AB与y轴交于点C，将△PAB面积转化为△OAB的面积，然后结合反比例函数系数k的几何意义求解．【详解】解：如图，连接OA，OB，设AB与y轴交于点C，∵AB∥x轴，∴S∵点A，B分别为反比例函数y=4xx>0，y=-∴S△OAC=∴S【变式7-3】（2024·江西宜春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点Am,8在反比例函数y=kxx>0的图象上，将点Am,8向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点B，点B恰好也落在反比例函数y=kxx>0的图象上，AC⊥y轴于点(1)求反比例函数的解析式；(2)连接BC，CD，求△BCD的面积．【答案】(1)y=(2)9【分析】本题考查了反比例函数解析式的求解，直角坐标系中坐标的平移，正比例函数解析式的求解，正确求解出点A的坐标是解决本题的关键．（1）先根据坐标平移表示出点B的坐标，再根据点A与点B均在反比例函数上可求解m的值，进而可知点A与点B的坐标，代入函数解析式即可求解．（2）先求出直线OA的解析式，再求解出点D的坐标，由三角形面积公式求解即可．【详解】（1）解：将点Am,8向右平移3此时坐标为m+3,8，再向下平移4个单位长度得到点B，由平移可知Bm+3,4∵点Am,8与Bm+3,4均在反比例函数y=k∵8m=4m+3，解得m=3将A3,8代入y=得8=k3，解得∴反比例函数的解析式为y=24（2）解：设直线OA的解析式为y=把A3,8代入y=tx∴直线OA的解析式为y=8又∵BD∥AC，∴点D的纵坐标为4．令4=83x∴D3∴BD=6-3又∵点C到BD的距离为8-4=4，∴SΔ【题型8反比例函数的实际应用】【例8】（2026·辽宁丹东·一模）物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值，“杠杆原理”在实际生产和生活中有着广泛的运用．如图，用启瓶器很容易将瓶盖启开，运用的就是“杠杆原理”，即阻力×阻力臂=动力×动力臂，已知阻力F（单位：N）和阻力臂L（单位：cm）之间的函数图象如图所示，若动力臂为0.5cm，则需要使用________N【答案】18【分析】设阻力FN和阻力臂Lcm的函数解析式为F=kL，得出k=9，再根据阻力×阻力臂【详解】解：由题意得，设FN和阻力臂Lcm的函数解析式为将(0.6,15)代入，得k=F⋅L=0.6×15=9，∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，∴9=0.5×动力，∴动力为18．【变式8-1】（2026·河北沧州·模拟预测）如图1，取一根长120cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来．在中点O的左侧距离O点30cm处挂一个重10N的物体，在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧测力计与中点O的距离L（单位：cm）与弹簧测力计的示数F（单位：N）的关系符合图2A．F随L的增大而减小B．当L=30cm时，C．若弹簧测力计的示数F不超过10N，则L的取值范围是D．若原物体重量增加5N，木杆保持水平时，F与L的关系式为【答案】D【分析】根据杠杆平衡条件求出F与L的函数解析式，结合反比例函数的性质及实际意义逐一判断即可．【详解】解：∵30×10=300，∴F=300∴当L>0时，F随L的增大而减小，故A正确，不符合题意；当L=30cm时，F=30030当F≤10N时，L≥∵L最大为1202∴若弹簧测力计的示数F不超过10N，则L的取值范围是30≤L≤60，故C当原物体重量增加5N，30×15=450，则F=450L【变式8-2】（2026·贵州遵义·二模）研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系．验光师测得几组关于近视眼镜的度数y与镜片焦距x的对应数据如下表：镜片焦距x（米）0.400.250.200.10近视眼镜的度数y（度）2504005001000(1)根据表格数据，求y与x的函数关系式；(2)小红原来佩戴500度的近视眼镜，经过视力矫正和健康用眼，视力改善后，镜片焦距变为0.5米，求小红的近视眼镜度数降低了多少度？【答案】(1)y=(2)小红的近视眼镜度数降低了300度【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数解析式；（2）把x=0.5代入y=100x，求得y=100【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为y=当x=0.40时，y=250，代入：k=xy=0.4×250=100∴y与x的函数关系式为y=（2）解：由（1）得y与x的函数关系式为y=当x=0.5时，y=100500-200=300（度）∴小红的近视眼镜度数降低了300度．【变式8-3】紫外线杀菌灯的电阻y(kΩ)随温度x(°C)的变化的大致图象如图所示．通电后温度由室温10°C上升到30°C时，电阻与温度成反比的函数关系．且在温度达到

(1)当时10≤x≤30时，求y与x之间的关系式．(2)紫外线杀菌灯在使用过程中，温度x在什么范围内时，电阻不超过6kΩ【答案】(1)y=(2)10≤x≤45【分析】（1）设关系为y=mx，将(10,6)代入求（2）将y=5代入函数关系式求出x的值．【详解】（1）解：设y=m∵过点(10,6)，∴m=xy=10×6=60．∴当10≤x≤30时，y与x的关系式为：y=60（2）将x=30°C代入上式中得：y=6030∴温度在30°C时，电阻y=2(∵在温度达到30°C时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1°C，电阻增加∴当x≥30时，y=2+4把y=5代入y=60得x=12；把y=6时代入y=4得x=45；答：当12≤x≤45时，电阻不超过6kΩ【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．【进阶拔高】【题型9反比例函数与一次函数的交点问题】【例9】如图，直线y=12x+1与反比例函数y=kxk≠0的图象在第一象限交于点Am,2，与x轴交于点C，与y轴交于点D，过A(1)求反比例函数的解析式；(2)求证：AD=BD．【答案】(1)y=(2)见解析【分析】（1）把点A代入一次函数解析式，求出m的值，然后将点A的坐标代入反比例函数解析式，求出k的值，即可得出答案；（2）根据两点间距离公式求出AD，BD，然后进行判断即可．【详解】（1）解：把Am,2代入y=2=1解得：m=2，∴点A的坐标为2,2，把A2,2代入y=kx得：2=∴反比例函数的解析式为y=4（2）解：∵AB⊥x，∴B点坐标为2,0，把x=0代入y=12x+1∴D点坐标为0,1，∵AD=2-0BD=2-0∴AD=BD．【变式9-1】（2026·重庆大足·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于点A1,n、B-3，-2，且与y轴交于点C．连接A．4 B．9 C．16 D．8【答案】D【分析】把A1,n代入反比例函数解析式，求出m，进而求出n，再将点A、B的坐标代入y=kx+b求出直线AB【详解】解：∵反比例函数y=mx的图象过点A1,n∴m=1×n=-3×-2∴n=6，∴A1把A、B的坐标代入k+b=6-3k+b=-2解得k=2b=4∴直线AB的解析式为y=2x+4；当x=0时，y=2x+4=4，∴C0∴OC=4，∴S△AOB【变式9-2】（2026·安徽合肥·二模）如图，直线y=x与双曲线y=kx(x>0)交于点A，将直线y=x向上平移2单位长度交y轴于点B，交双曲线于点C．若BC=22，则【答案】8【分析】求出平移后的解析式，进而确定点B的坐标，作CD⊥y轴于点D，易得△BDC为等腰直角三角形，进而推出C点坐标，即可得出k的值.【详解】解：∵直线y=x向上平移2单位长度交y轴于点B，且直线y=x为一、三象限的角平分线，∴平移后的直线的解析式为y=x+2，当x=0时，y=2，OA∥BC，∠BAO=45°，∴B0,2作CD⊥y轴于点D，∵OA∥BC，∠BAO=45°，∴∠CBD=∠BOD=45°∴BD=CD，BC=2∵BC=22∴BD=CD=2，∴OD=OB+BD=2+2=4，∴C2,4∴k=2×4=8.【变式9-3】（2026·河南信阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx与一次函数y=ax+b交于A4,4、B-8,m两点，一次函数y=ax+b分别交x轴、y轴于C、D两点，(1)求反比例函数及一次函数解析式；(2)请用尺规过点A向x轴作垂线，垂足为F（保留作图痕迹，不写作法）．(3)在（2）的基础上，连接EF，求证：AD=EF=BC．【答案】(1)y=12(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据待定系数法即可求解；（2）根据垂线的性质画图即可；（3）根据平行四边形的性质求解即可．【详解】（1）解：∵A4,4在反比例函数y=k∴4=k∴k=16．∴反比例函数解析式为y=∵B-8,m在y=16∴m=16∵y=ax+b经过A4,4和B∴4=4a+b-2=-8a+b解得a=∴一次函数的解析式为y=1（2）解：如图所示：（3）解：∵BE⊥y轴，AF⊥x轴，∴E0,-2，设EF的直线解析式为：y=px+q，则得q=-24p+q=0解得：q=-2∴直线EF的解析式y=1又直线AB的解析式为y=1∴EF∥AB，∵B,E的纵坐标相等，BE∥CF，∴四边形BEFC为平行四边形，∴EF=BC∵EF∥AB，AF∥DE，∴四边形DEFA为平行四边形，∴EF=AD∴AD=BC∴AD=EF=BC．【题型10利用反比例函数的图象解不等式】【例10】（25-26八年级下·海南海口·期中）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=mx图象相交于点A-1,2与点B-4,1A．x<-1 B．x<-4 C．-4<x<-1 D．x<-4或x>-1【答案】C【分析】根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．【详解】解：由函数图象可知，不等式ax+b>mx的解集是【变式10-1】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y=ax+ba≠0与双曲线y=kxk≠0交于点A-2,3,B3,-1【答案】x<-2或0<x<3【分析】本题考查一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，直接利用图象法求出不等式的解集即可．【详解】解：由图象可知，不等式ax+b>kx的x的取值范围是x<-2或故答案为：x<-2或0<x<3【变式10-2】（24-25九年级上·山东威海·期中）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与反比例函数y1=mxx>0的图象交于点A，C，与x轴交于点B，D，连接AC，点A，B的刻度分别为5，2，直尺的宽度BD为2，OB=2(1)不等式mx>3的解集为(2)不等式kx+b-mx≤0(3)平行于y轴的直线x=n2<n<4与AC交于点E，与反比例函数图象交于点F，当这条直线左右平移时，线段EF的长为14，求【答案】(1)0<x<2；(2)0<x≤2或x≥4；(3)n=3或83【分析】（1）根据题意得出点A2,3，然后由图象（2）由图可知点C的横坐标为4，然后再根据图象即可求解；（3）先求出反比例函数解析式为y1=6x，直线AC的解析式为y2=-34x+92，当x=n本题考查了反比例函数与一次函数的关系，待定系数法求解析式，解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）解：∵点A，B的刻度分别为5，2，OB=2，∴点A2,3根据图象可知，不等式mx>3的解集为故答案为：0<x<2；（2）解：由（1）得，点A2,3，由图可知点C的横坐标为4∴不等式kx+b-mx≤0的解集为0<x≤2（3）解：由（1）得，点A2,3∵反比例函数y1=mxx>0∴m=2×3=6，∴反比例函数解析式为y1由图可知点C的横坐标为4，且在反比例函数解析式为y1∴纵坐标为6∴点C4,1.5∵直线AC的解析式为y2=kx+b过点∴2k+b=34k+b=1.5，解得：k=-∴直线AC的解析式为y2当x=n时，点E的纵坐标为-34n+92∴-3解得：n=3或n=8经检验n=3或n=8∴n的值为n=3或83【变式10-3】（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）如图，一次函数y=kx+1的图像与反比例函数y=k'x的图像交于A、B两点，(1)反比例函数与一次函数表达式；(2)△AOB的面积；(3)直接写出不等式kx+1<2【答案】(1)反比例函数表达式为y=2x(2)3(3)x<-2或0<x<1【分析】（1）把点A坐标分别代入一次函数与反比例函数表达式中，可求得k与k'（2）设直线y=x+1交y轴于点C，则可求得C(0,1)，再联立一次函数与反比例函数解析式，可求得点B的横坐标，由S△AOB（3）观察图像即可求解．【详解】（1）解：∵一次函数y=kx+1的图像与反比例函数y=k'x∴把点A的坐标分别代入y=kx+1与y=k'x中，得2=k+1∴k=1，∴反比例函数表达式为y=2x，一次函数表达式为（2）解：设直线y=x+1交y轴于点C，令x=0，则y=1，∴C(0,1)，且OC=1；联立y=x+1=2x，整理得：解得：x1即点B的横坐标为-2；∴S===3（3）解：当反比例函数图像位于直线的上方时，有kx+1<2观察图像知：x<-2或0<x<1．【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了两函数图像的交点，待定系数法求函数解析式，图像法求不等式的解集，解一元二次方程等知识，求出两函数解析式是解题的关键．【题型11反比例函数中系数k的几何意义（不规则图形面积）】【例11】（2026·山东青岛·一模）如图，点A是双曲线y=-8x上一点，过点A分别作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为B，C两点，AB,AC与双曲线y=kx分别交于D，E两点，若四边形ADOE的面积为5【答案】-3【分析】由反比例函数的几何意义得S△BOD=-12k，S△OCE=-【详解】解：∵D，E在反比例函数y=k∴S△BOD=1∵点A是双曲线y=-8∴S矩形∵S矩形∴8--12【变式11-1】（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象与直线y=x交于点M，∠AMB=90°，其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A，B．四边形OAMB的面积为5．则k的值为（A．5 B．4 C．2.5 D．2【答案】A【分析】过点M作x轴、y轴的垂线，构造正方形，利用全等三角形证明四边形OAMB的面积等于正方形面积，进而求出k．【详解】解：如图，过点M作MC⊥x轴于C，MD⊥y轴于D，∵点M在直线y=x上，∴设M(m,m)，则MC=MD=m，四边形OCMD为正方形，∴k=m⋅m=m2∵∠AMB=90°，∠∴∠∴∠DMB=在△MDB和△MCA中，∠MDB=∠MCA=90°MD=MC∠DMB=∠CMA∴△MDB≅△MCA(ASA∴DB=CA，∴OA+OB=(OC+CA)+(OD-DB)=OC+OD=2m，∴S∵S四边形∴m2∵反比例函数的图象在第一三象限，k>0，∴k=5．【变式11-2】如图，正方形ABCD的顶点A在y=kx位于第二象限的分支上，点B、C分别在x轴、y轴负半轴上，点D在直线y=x位于第一象限的图象上，若S阴影=4，则A．-6 B．-8 C．-10 D．-12【答案】B【分析】过点A作AG⊥x轴于点G，过点D作DE⊥x轴于点E，DF⊥AG于点F，交y轴于点H，令AD、CD与坐标轴的交点分别为M、N，先证明四边形DHOE是正方形，进而证明△DHM≌△DENASA，得到S△DHM=S△DEN，从而推出S阴影=S矩形DHOE，求出DH=2=OH，同理可证，【详解】解：如图，过点A作AG⊥x轴于点G，过点D作DE⊥x轴于点E，DF⊥AG于点F，交y轴于点H，令AD、CD与坐标轴的交点分别为M、N，∵∠DHO=∠HOE=∠DEO=90°，∴四边形DHOE是矩形，∵点D在第一象限直线y=x的图象上，∴DH=DE，∴四边形DHOE是正方形，∴∠HDE=90°，DH=DE=OH=OE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，∴∠ADC-∠FDC=∠HDE-∠HDN，即∠MDH=∠NDE，在△DHM和△DEN中，∠MDH=∠NDEDH=DE∴△DHM≌△DENASA∴S∴S∵S∴DH∴DH=2=OH，同理可证，△AFD≌△BGA≌△COB≌△DHC，∴AF=BG=OC=DH=2，DF=AG=BO=CH，∴CH=OH+OC=4=AG=BO，∴OG=BO-BG=2，∴点A的坐标为-2,4，∴k=-2×4=-8．【变式11-3】如图，点A，B为反比例函数y=kx在第一象限上的两点，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，若B点的横坐标是A点横坐标的一半，且图中阴影部分的面积为k-2，则k的值为【答案】k=【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，设B（a,ka），则AC＝2CE＝2t，于是可表示出A（2a，k2a），由点B和点A的纵坐标可知BD＝【详解】解：设B（a,ka），OB与AC交于点M，BD与OA交于点∵AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，B点的横坐标是A点横坐标的一半，∴AC＝2CE＝2a，∴A（2a，∴BD＝2OC＝2DE，∴OC=BE，∠MCO=∠MEB=90°，∠CMO=∠BME，∴△OCM≌△BEM，∴CM＝EM，同理EN＝DN，∴阴影部分的面积＝1212解得，k=8故答案为：83【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k【题型12反比例函数与一次函数的图象分析】【例12】（25-26八年级下·吉林长春·期中）已知一次函数y=mx-m与反比例函数y=mx在同一平面直角坐标系中的A． B．C． D．【答案】B【分析】根据一次函数图象经过的象限即可得出m、-m的正负，由此即可得出反比例函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．【详解】解：A选项：∵一次函数y=mx-m的图象过第一、二、三象限，∴m>0，-m>0，矛盾，故本选项不符合题意；B选项：∵一次函数y=mx-m的图象过第一、三、四象限，∴m>0，-m<0，∴反比例函数的图象应过第一、三象限，故本选项符合题意；C选项：∵一次函数y=mx-m的图象过第一、三、四象限，∴m>0，-m<0，∴反比例函数的图象应过第一、三象限，故本选项不符合题意；D选项：∵一次函数y=mx-m的图象过第二、三、四象限，∴m<0，-m<0，矛盾，故本选项不符合题意；故选：B．【变式12-1】（25-26九年级上·山东淄博·期末）一次函数y=x+1与反比例函数y=1x在同一坐标系内的图象大致是（A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，根据一次函数和反比例函数的性质可得结论．【详解】解：一次函数y=x+1的图象经过第一、二、三象限，故选项B和C错误，不符合题意；反比例函数y=1x位于第一、三象限，故选项A正确，符合题意；选项故选：A．【变式12-2】（2024·安徽·模拟预测）若ab<0，则一次函数y=bx+ab和反比例函数y=bx在同一平面直角坐标系中的图象可能是（A． B．C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，根据ab<0及一次函数与反比例函数图象的特点，可以从a>0，b<0和【详解】解：当a>0时，b<0，此时一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数图象分布在第二、四象限，与选项C中图象一致．当a<0时，b>0，此时一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数图象分布在第一、三象限，与题目选项中的图象均不一致．故选：C．【变式12-3】（25-26九年级上·山东济南·期末）一次函数y=mx+n与反比例函数y=m-nx，其中mn<0，m，n均为常数，它们在同一坐标系中的A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了一次函数的图像和性质、反比例函数的图像和性质，首先假设一次函数的图像是正确的，根据一次函数图像确定m、n的取值范围，根据m、n的取值范围判断反比例函数图像是否正确．【详解】解：A选项：∵一次函数的图像是y随x的增大而减小，∴m<0，∵一次函数的图像与y轴的交点在y轴的正半轴，∴n>0，∴m-n<0，∴反比例函数y=m-n故A选项错误；B选项：∵一次函数的图像是y随x的增大而减小，∴m<0，∵一次函数的图像与y轴的交点在y轴的正半轴，∴n>0，∴m-n<0，∴反比例函数y=m-n故B选项正确；C选项：∵一次函数的图像是y随x的增大而增大，∴m>0，∵一次函数的图像与y轴的交点在y轴的负半轴，∴n<0，∴m-n>0，∴反比例函数y=m-n故C选项错误；D选项：∵一次函数的图像是y随x的增大而增大，∴m>0，∵一次函数的图像与y轴的交点在y轴的正半轴，∴n>0，又∵mn<0，∴一次函数的图像不成立，故D选项错误．故选：B．【题型13反比例函数围成的图形面积】【例13】（2026·贵州六盘水·一模）如图，正方形的中心在平面直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点P4m,m是正方形与反比例函数y=kxk≠0图象的一个交点．已知图中阴影部分的面积等于32，则A．1 B．2 C．4 D．8【答案】D【分析】首先求出A4m,m，然后由对称性得到4m2=32，求出m2=2【详解】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，且正方形的中心在平面直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，P4m,m∴A∵正方形和反比例函数图象都关于原点对称∴图中阴影部分的面积等于正方形AEOF的面积∴4m∴m将P4m,m代入y=k∴k=4m【变式13-1】（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，点A3a,a是反比例函数y=kx的图象与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为【答案】y=【分析】本题考查反比例函数图象的对称性的知识点，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积的14，即可求得圆的半径，再根据A在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k【详解】解：连接OA，设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：阴影部分的面积等于圆的面积的14∴14解得：r=4，∵点A3a,a是反比例函数y=kx的图象与⊙∴k=3a2∴a=-2，∴k=3则反比例函数的解析式是：y=4故答案为y=4【变式13-2】（2025·安徽马鞍山·三模）如图，第一象限内点A，B分别在反比例函数y=8x和y=2x的图象上，分别过A，B两点向x轴，A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义；点A、B分别在反比例函数y=8x和y=2x图象上，利用反比例函数比例系数的几何意义，表示出S矩形ACOD=8【详解】解：如图所示：∵点A、B分别在反比例函数y=8x和y=2x图象上，且∴四边形ACOD和BEOF为矩形，根据反比例函数比例系数的几何意义，得：S矩形ACOD=8则阴影部分的面积为S矩形故选：B．【变式13-3】如图，在平面直角坐标系中，A（﹣6，0），曲线上每一点到x轴与y轴的距离的乘积都相等，过曲线上横坐标分别为﹣6，﹣4，﹣2的三点B，C，D分别向x轴、y轴作垂线，已知图中的阴影部分是由这些垂线围成的，且其面积是6，则由O，A，C三点围成的三角形的面积为_____．【答案】27【分析】根据题意求得S矩形CFGH=12，S矩形ABOG=3×12=36，即可求得CE=9，然后根据三角形面积公式求得即可.【详解】解：由反比例函数系数k的几何意义可知：S矩形ABGO＝S矩形CEOH，∵图中的阴影部分是由这些垂线围成的，且其面积是6，∴S矩形CFGH＝12，∴S矩形ABGO＝3×12＝36，∴HG＝3，OG＝6，∴CE＝OH＝9，∴S△OAC＝12×6×9＝27故答案为27．【点睛】本题考查反比例函数系数K的几何意义，学生们熟练掌握该意义即可求解.【题型14与反比例函数有关的实际应用中的最值问题】【例14】如图1，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（OA最大距离为80cm），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与OA的长度x（单位：cm）的五组对应值，已在平面直角坐标系中描点如图2(1)请在图2中画出y与x的函数图象，并判断它是什么函数．(2)求y关于x的函数表达式．(3)移动弹簧秤的位置，若秤杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数y的最小值．【答案】(1)图见解析，反比例函数(2)y=(3)y【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键：（1）描线，画出函数图象即可；（2）待定系数法求出函数解析式即可；（3）根据反比例函数的增减性，进行求解即可．【详解】（1）解：如图：它是反比例函数．（2）设这个反比例函数的表达式为y=由图像可知，图像过10,24，∴k=240，∴y=240（3）∵x>0时，y=240x中y随∴当x的值最大时，y最小．即当x=80时，y【变式14-1】某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强p（单位：kPa）是气球的体积V（单位：dm3体积V（单位：dm3…1.01.62.02.43.0…压强p（单位：kPa）…9660484032…(1)求p关于V的函数解析式；(2)当气球内气体的压强大于120kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，求气球的体积V【答案】(1)p=(2)0.8【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数解析式；（2）列出不等式求解即可．【详解】（1）设p关于V的函数解析式为p=kV，由题意可知∴k=96∴p关于V的函数解析式为p=96（2）当p=120时即96解得V=0.8，经检验V=0.8是原方程的根，∵96>0∴函数在第一象限内气压p随V的增大而减小，∵根据题意p≤120∴为了安全起见，V≥0.8∴气球的体积V的最小值为0.8．【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用、待定系数法求反比例函数、解分式方程等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．【变式14-2】（25-26九年级上·广东佛山·期末）某新能源车企在测试一款新型电池时发现：充满电的车辆在标准测试场以不同速度xkm/h匀速行驶时，车辆可行驶的时间yx…405060…y…151210…(1)变量x、y之间的关系恰好满足某一函数模型．请先判断函数类型（说明理由）再求其表达式．(2)一辆充满电的车辆，先以60km/h的速度在测试场行驶了2小时，再以x  km/h速度行驶，【答案】(1)变量x与y满足反比例函数关系，y=(2)120【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及反比例函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．（1）由xy的值为定值，可得出变量x、y之间的关系满足反比例函数，结合xy=600，可求出y关于x的函数表达式；（2）根据满电续航为600km及可行驶的时间不少于4小时，可列出关于x【详解】（1）解：∵40×15=50×12=60×10=600，∴变量x、y之间的关系满足反比例函数，∵xy=600，∴函数表达式为y=600（2）解：该车充满电可行驶的总路程为600km根据题意得：60×2+4x≤600，解得：x≤120，∴x的最大值为120．答：x的最大值是120．【变式14-3】实验数据显示：一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内（包括1.5小时）其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y＝﹣200x2+400x表示；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y＝kx（k＞0（1）喝酒后多长时间血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？（2）求k的值．（3）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．【答案】（1）x＝1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200毫克/百毫升；（2）k=225；（3）不能驾车上班.【详解】试题分析：（1）①利用y=-200x2+400x=-200（x-1）2+200确定最大值；②直接利用待定系数法求反比例函数解析式即可；（2）求出x=11时，y的值，进而得出能否驾车去上班．试题解析：（1）①y=-200x2+400x=-200（x-1）2+200，∴x=1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200（毫克/百毫升）；②∵当x=5时，y=45，y=kx（k＞0∴k=xy=45×5=225；（2）不能驾车上班；理由：∵晚上20：00到第二天早上7：00，一共有11小时，∴将x=11代入y=225x，则y=22511＞∴第二天早上7：00不能驾车去上班．考点：1.二次函数的应用；2.反比例函数的应用．【创新思辨】【题型15与反比例函数有关的动点与存在性问题】【例15】如图，已知：矩形AOCB的顶点B在反比例函数y=kxk>0,x>0的图象(1)求反比例函数的关系式；(2)若动点E从A开始沿AB向B以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点F从B开始沿BC向C以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t秒，①当t为何值时，△BEF是等腰直角三角形？②当t=2时，在双曲线上是否存在一点M，使得四边形EFBM为平行四边形？说明理由；(3)若在（2）中的条件下，运动1秒时，在y轴上是否存在点D，使△DEF的周长最小？若存在，请求出△DEF的周长最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=(2)①t=1；②存在，2,12(3)存在，2【分析】（1）根据AB与BC的长，且B为第一象限角，确定出B的坐标，代入反比例函数解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式；（2）①如图1所示，若△BEF为等腰直角三角形，则有BE=BF，列出关于t的方程，求出方程的解即可得到结果；②根据题意得到M位于线段AB上方时，四边形EFBM为平行四边形，利用平行四边形的性质得到ME=BF，确定出此时M的坐标即可；（3）若在（2）中的条件下，运动1秒时，在y轴上存在点D，使△DEF的周长最小，理由为：作出E关于y轴的对称点E'，连接E'F，与y轴交于点D，连接DE【详解】（1）解：∵AB=3,BC=8，且B在第一象限，∴B3,8，把B坐标代入y=kx，得：则反比例函数关系式为y=24（2）解：①由题意得：BE=3-t，BF=2t，∵∠EBF=90°，∴当且仅当BE=BF时，△BEF为等腰直角三角形，即3-t=2t，解得：t=1，则当t=1时，△BEF是等腰直角三角形；②∵t=2，∴AE=2，BF=4由题意得：M在线段AB上方时，四边形EFBM为平行四边形，如图1所示，∴ME=BF=4，此时M坐标为2,12；（3）解：存在点D，使△DEF周长最小，理由为：如图，作出E关于y轴的对称点E'，连接E'F，与y轴交于点D此时△DEF周长最小，即DE=DE'∵AE=AE'∴BE'在Rt△BE'F∴DE+DF=DE'在Rt△BEF中，BE=3-1=2，BF=2，根据勾股定理得：∴△DEF的周长最小值为25【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，对称的性质，勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．【变式15-1】已知，矩形OCBA在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为2,4，反比例函数y=mxx>0的图象经过AB的中点D，且与BC交于点E，顺次连接O，D(1)求线段DE的长；(2)在线段OD上存在一点M，当△MOE的面积等于34时，求点M(3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)DE=(2)1(3)存在，N的坐标为1,-2或-1,2或3,6【分析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，矩形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．（1）根据B的坐标，利用中点坐标公式求出D的坐标，确定出反比例函数解析式，进而求出E的坐标，即可求出DE的长；（2）根据D坐标确定出直线OD与直线OE解析式，过点M作MN∥y轴交OE于点N，设Mt,4t，Nt,t，由S△MOE（3）由题意得：O0,0，D1,4，E2,2，设Nx,y，分三种情况考虑：当四边形ON【详解】（1）解：∵点B的坐标为2,4，D为AB中点，∴D1,4∵反比例函数y=mxx>0的图象经过AB∴k=1×4=4，∴反比例函数解析式为y=4把x=2代入得：y=2，即E2,2则DE=2-1（2）解：由D1,4，得到直线OD解析式为y=4x由E2,2，得到直线OE解析式为y=x过点M作MN∥y轴交OE于点设Mt,4t，则N∵S===3t，∴3t=34，解得：则点M坐标为14（3）解：存在；由题意得：O0,0，D1,4，E2,2分三种情况考虑：当四边形ON1ED为平行四边形时，可得0+2=1+x解得：x=1，y=-2，即N1当四边形OEDN2为平行四边形时，可得0+1=2+x，解得：x=-1，y=2，即N2当四边形OEN3D为平行四边形时，可得1+2=0+x解得：x=3，y=6，即N3综上，N的坐标为1,-2或-1,2或3,6．【变式15-2】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，直线y=2x与双曲线y=kxx≠0交于A,B两点，点A的坐标为m,-2，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D(1)求k的值并求出点B的坐标；(2)点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求△GBC周长的最小值；(3)P是y轴上的点，是否存在点P，使得以A,B,P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】(1)k=2，B(2)109(3)存在，P0,52或P0,-【分析】（1）根据待定系数法即可求k，根据对称性即可求点坐标；（2）根据线段比例关系，可得C4,12，作B1,2关于（3）设P0,n，即可表达出△ABP三边的边长，由△ABP【详解】（1）解：∵点Am,-2在直线y=2x∴-2=2m，解得m=-1，即A-1,-2∵点A-1,-2在双曲线y=∴k=-1×-2∵直线y=2x与双曲线y=2∴点B是点A关于原点的对称点，∴B1,2（2）解：设Cx,2x，过点B作BH⊥x轴，过点C∴∠BHD=∠CFD=90°∵∠CDF=∠BDH则△BHD∽△CFD，作B1,2关于y轴的对称点B'-1,2，连接B'C交∵BC=3CD，即BC:CD=3:1，∴BH:CF=4:1，∵B的纵坐标为2，∴2=4×2解得x=4，即C4,∴GB=GB∴GB+GC=GB∵两点之间线段最短，∴GB'+GC此时△GBC的周长最小，B∴△GBC周长的最小值=109（3）解：设P0,n∵A-1,-2，B∴AP2ABBP2分三种情况：当∠ABP=90°时，AB2+B∴n=5此时P0,当∠APB=90°时，AP2+B∴n1=此时P0,5当∠BAP=90°时，AB2∴n=-5此时P0,-综上所述，P0,52或P0,-5【变式15-3】（2026·广东梅州·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，▱OABC的边OC在x轴上，点B的坐标为9,3，点C的坐标为5,0，反比例函数y=kxk≠0,x>0的图象经过点A，与OB(1)求该反比例函数的表达式；(2)点G是y轴上的动点，连接GA，GE，求GA+GE最小值时点(3)连接AE，在反比例函数图象上是否存在点P（点P与点E不重合），使得S△OAP=S【答案】(1)y=(2)G(3)存在，点P坐标为8【分析】（1）利用菱形的性质结合勾股定理求得点A4,3（2）作点A关于y轴的对称点A'，连接A'E交y轴于G，此时GA+GE的值最小，最小为A'E，求出直线OB解析式为y=13x，与反比例函数解析式联立求出E6,2．作点A关于y轴的对称点A'，连接（3）过点E作EF⊥x轴于点F，过点A作AD⊥x轴于点D，过点P作PG⊥x轴于点G，设Pn,12n，求得S△OAP=【详解】（1）解：∵▱OABC的边OC在x轴上，点B坐标为9,3，如图1，过点B作BH⊥x轴于点H，过点A作AD⊥x轴于点D，∴OH=9，BH=3，∵点C坐标为5,0，∴OC=5，∴CH=OH-OC=4，∴BC=B∴OC=BC=5，∴▱OABC是菱形，∴OA=AB=OC=BC=5，∵BH⊥x轴，AD⊥x轴，∴AD=BH=3，∴OD=5∴点A4,3∵反比例函数y=kxk≠0，x>0∴k=4×3=12，∴反比例函数的表达式为y=12（2）解：如图2，作点A关于y轴的对称点A'，连接A'E交y轴于G，此时GA+GE设直线OB解析式为y=ax，∵点B坐标为9,3，∴9a=3，∴a=1∴直线OB解析式为y=1∵反比例函数y=12xx>0的图象与OB∴13∴x=6或x=-6（舍去），∴E6,2∵A4,3∴A'连接A'E，交y轴于点G，此时设直线A'E的解析式为将A'-4,3，E解得m=-1∴直线A'E的解析式为令x=0，得y=13∴点G坐标为0,13（3）解：反比例函数图象上存在点P（点P与点E不重合），使得S△OAP如图3，过点E作EF⊥x轴于点F，过点A作AD⊥x轴于点D，过点P作PG⊥x轴于点G，∴EF=2，OF=6，AD=3，OD=4，∴DF=OF-OD=2，设Pn,∴S==-3∵S==5+6-6=5，∴S△OAP整理得：3n∴n=83或∴点P的坐标为83【题型16反比例函数与图形变换的综合】【例16】（2025·山东济南·一模）如图，一次函数y=12x+b的图象与反比例函数y=kx(k>0)的图象分别交于点A4,m(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)如图1，将直线y=12x+b向上平移d(d>0)个单位，平移后的直线与y=kx(k>0)的图象在第一象限交于点(3)如图2，Q是第二象限内一点，∠QCO=45°，连接QB，将△QCB绕点O顺时针旋转90°，点Q的对应点恰好落在该反比例函数图象上，求点Q的坐标．【答案】(1)y=12(2)5(3)-2,3【分析】（1）先将点C1,0代入一次函数y=12（2）法1：作PD∥y轴交直线AB于点D，根据12×PD×x法2：设直线AB平移前后与y轴分别交于E,F两点，连接AF,CF，根据△ACP与△ACF同底等高，12×EF×x（3）连接OQ，设点Q的对应点为点G，过点G作GN⊥x轴于N，过点Q作QM⊥x轴于M，由旋转的性质可证明△QOM≌△OGN，得QM=ON,OM=GN，设OM=t，则CM=QM=t+1，得点G的坐标为t+1,t，列方程tt+1=6，解方程进而可求点【详解】（1）解：∵点C1,0在一次函数y=∴1∴b=-一次函数y=12x+b∵点A4,m在直线y=∴1∴m=3∴A4,把A4,32代入y=解得：k=6，∴反比例函数y=kx的表达式为（2）解：法1：作PD∥y轴交直线AB于点D，∵S∴1∴1∴PD=5∴d=PD=5法2：设直线AB平移前后与y轴分别交于E,F两点，连接AF,CF，∵△ACP与△ACF同底等高，∴S∴1∴1∴EF=5∴d=EF=5（3）解：连接OQ，设点Q的对应点为点G，过点G作GN⊥x轴于N，过点Q作QM⊥x轴于M，由旋转的性质可知：OQ=OG,∠QOG=90°，∴∠GON+∠QOM=90°，∵QM⊥x轴，GN⊥x轴，∴∠QMO=∠GNO=90°，∴∠OQM+∠QOM=90°，∴∠OQM=∠GON，∴△QOM≌△OGN，∴QM=ON,OM=GN，∵点C1,0∴OC=1,△QMC为等腰直角三角形．设OM=t，则CM=QM=t+1，∴ON=QM=t+1,GN=OM=t，∴点G的坐标为t+1,t，∵点Gt+1,t在反比例函数y=6x∴tt+1解得：t1当t=2时，t+1=3，∴点Q的坐标为-2,3．【点睛】本题主要涉及一次函数与反比例函数的性质及应用，还包括图形的旋转等知识，解题的关键在于利用函数图像上点的坐标满足函数解析式这一性质，求出函数中的未知参数，进而确定函数解析式；对于三角形面积问题，通过合理设点坐标利用面积公式求解；对于图形旋转问题，根据旋转的性质得到对应点坐标的关系，再结合反比例函数解析式求解．【变式16-1】（2024·江苏连云港·中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+1(k≠0)的图像与反比例函数y=6x的图像交于点A、B，与y轴交于点C，点A的横坐标为(1)求k的值；(2)利用图像直接写出kx+1<6x时(3)如图2，将直线AB沿y轴向下平移4个单位，与函数y=6x(x>0)的图像交于点D，与y轴交于点E，再将函数y=6x(x>0)的图像沿AB平移，使点A、【答案】(1)k=1(2)x<-3或0<x<2(3)8【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用：（1）先求出A点坐标，再将A点代入一次函数的解析式中求出k的值即可；（2）图像法求不等式的解集即可；（3）根据平移的性质，得到阴影部分的面积即为▱ACFD的面积，进行求解即可．【详解】（1）∵点A在y=6∴当x=2时，y=6∴A(2,3)，将点A(2,3)代入y=kx+1，得k=1．（2）由（1）知：y=x+1，联立y=x+1y=6x，解得：x=2∴B-3,-2由图像可得：kx+1<6x时x的取值范围为：x<-3或（3）∵y=x+1，∴当x=0时，y=1，∴C(0,1)，∵将直线AB沿y轴向下平移4个单位，∴CE=4，直线DE的解析式为：y=x-3，设直线DE与x轴交于点H∴当x=0时，y=-3，当y=0∴H3,0，E∴OF=OE=3，∴∠FEC=45°，如图，过点C作CG⊥DE，垂足为G，∴CG=2又∵A(2,3)，C(0,1)，∴AC=22连接AD,CF，∵平移，∴AC∥DF，AC=DF，∴四边形ACFD为平行四边形，∴阴影部分面积等于▱ACFD的面积，即22【变式16-2】如图，点B是反比例函数y=8xx>0图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数y=kxx>0的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点(1)填空：k=；(2)求BDF的面积；(3)求证：四边形BDFG为平行四边形．【答案】(1)2(2)3(3)见详解【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的判定、面积的计算等，综合性强，难度适中．（1）设点B(s,t),st=8，则点M12s,（2）△BDF的面积=△OBD的面积=S（3）确定直线DE的表达式为：y=-12m2x+52m【详解】（1）解：设点B(s,t),st=8，则点M1则k=1故答案为：2；（2）解：连接OD，则△BDF的面积=△OBD的面积=S（3）解：设点Dm,2m∵点G与点O关于点C对称，故点G(8m,0)，则点E4m,设直线DE的表达式为：y=px+n，将点D,E的坐标代入上式得2m解得p=-1直线DE的表达式为：y=-1令y=0，则x=5m，故点F(5m,0)，故FG=8m-5m=3m，而BD=4m-m=3m=FG，又∵FG∥故四边形BDFG为平行四边形．【变式16-3】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）几何图形是数学研究的主要对象之一，图形的形状、大小和位置是几何中研究的主要内容，平面几何中，平移、翻折、旋转是常见的图形变换．鹿鸣学堂数学兴趣小组的同学们在学习了反比例函数的相关内容后，进一步探究反比例函数y=6(1)如图1，将反比例函数y=6x的图像向左平移3个单位，求平移后的图像与(2)如图2，将反比例函数y=6x（x>0）的图像绕点O顺时针旋转60°，点P为旋转后图像上的一点，过点P作直线y=33x的垂线，垂足是H(3)如图3所示，反比例函数y=6x（x>0）的图像沿直线y=-x+bb≠26翻折得到新图像．若直线y=x+1与两条曲线交于E、F，直线y=x-1与两条曲线交于G、H，同学们发现E、F、G、H四个点组成的四边形是矩形，当这个矩形的面积是【答案】(1)0,2(2)2或3(3)7或3【分析】（1）根据函数图像变换规律“左加右减，上加下减”得到平移后的函数解析式，进而求解即可；（2）设点P'为点P旋转前的图像上的对应点，过点P'作P'H'⊥y轴于H'，则OP'=OP=13，设点P'坐标为a,b，则ab=6①，a2+b2=13②,解得a=3，b=2或a=2（3）联立方程组求得G3,2，F2,3，进而求得FG=2，根据矩形性质求得GH=42，分当点H在点G右上方时和当点H在点【详解】（1）解：∵将反比例函数y=6x的图像向左平移∴平移后的函数解析式为y=6∵当x=0时，y=6∴平移后的图像与y轴的交点坐标0,2；（2）解：设点P'为点P旋转前的图像上的对应点，过点P'作P'则OP'=OP=13，设点则ab=6①，a2+解得a=3，b=2或a=2，b=3，则P'H'如图，在直线y=33x取一点T3,3，过T则OS=3，ST=3，∠OST=∴OT=OS2∴∠TOS=30∘，即直线y=33x∴∠HOH∴∠POH=∠P又∠PHO=∠P'O∴△POH≌△P∴PH=P即PH的值为2或3；（3）解：解方程组y=6xy=x-1，得x=3∴G3,2解方程组y=6xy=x+1，得x=2∴F2,3∴FG=3-2∵E、F、G、H四个点组成的四边形是矩形，且面积是4，∴GH⋅FG=2∴GH=22∵直线y=x-1与两条曲线交于G、H，∴当点H在点G右上方时，形成矩形为FGHE，∴H5,4，此矩形对角线的交点为FH的中点，坐标为7根据轴对称性质，将72,72代入解得b=7；∴当点H在点G左下方时，形成矩形为FGHE，∴H1,0，此矩形对角线的交点为FH的中点，坐标为3根据轴对称性质，将32,32代入解得b=3；综上，满足条件的b值为7或3．【点睛】本题考查平移的性质、旋转的性质、轴对称的性质以及图形变换的应用、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、矩形性质等知识，熟练掌握图形变换的性质是解答的关键．【题型17反比例函数中的定值问题】【例17】（2025·江西·模拟预测）如图1，点A是反比例函数y=kx（x>0）图象上任意一点，过点A作x轴的垂线，垂足为B，已知(1)求k的值．(2)若过点A的直线y=x+bb>0与x轴交于点C，如图2．①求证：AB=BC．②OA与OC的平方差是不是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)k=2(2)①证明见解析；②是定值，4【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点一定满足反比例函数解析式是解题的关键．（1）设A（m,n）（m>0,n>0）（2）①根据题意得到AB=m+b，求出C-b,0，得到BC=m-②是定值，由题得OA2=m2+n2，继而得到OA【详解】（1）解：设A（m,n）∵AB⊥x轴，∴B（∴AB=n,OB=m，∴S∴mn=2．∵k=mn，∴k=2．（2）①证明：设A（m,n）∵点A（m,n）∴n=m+b．∴AB=m+b．当y=0时，0=x+b，∴x=-b．∴C（∵B∴BC=m--b∴AB=BC．②解：是定值．设A（m,n）∵AB⊥x轴，∴在Rt△AOB中，O