专题2.2 一元二次方程的解法（举一反三）（试题版）

专题2.2一元二次方程的解法（举一反三讲义）【新教材苏科版】题型归纳题型归纳TOC\o"1-3"\h\u【题型1可化为x2=p型的方程】 2【题型2可化为(mx+n)2=p型的方程】 3【题型3配方】 3【题型4用配方法解方程】 3【题型5配方法的应用】 4【题型6判断根的情况】 6【题型7求参数的值或取值范围】 6【题型8用公式法解方程】 6【题型9用因式分解法解方程】 7【题型10换元法解方程】 8【题型11解含绝对值的一元二次方程】 8考点1配方法知识点1直接开平方法解一元二次方程

1.非负数a的算术平方根为a，平方根为±a．考点1配方法例如：144的算术平方根为144=12，平方根为±2.根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法．例如x2=25，解得一般地，对于方程x2=p>方程有两个不等的实数根x1=p=方程有两个相等的实数根xp<方程无实数根3.直接降次解一元二次方程的步骤(1)将方程化为x2=p或（2)直接开平方化为两个一元一次方程；（3)解两个一元一次方程得到原方程的解．知识点2配方法解一元二次方程1.解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为(x+a)2=b的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用2.配方法解一元二次方程的一般步骤(示例)一般步骤方法实例(9y一移移项将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边9y二化二次项系数化为1方程左、右两边同时除以二次项系数y三配配方方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方y即(y-1)四开开平方利用平方根的意义直接开平方(y-1)=五解得出两个根移项，合并同类项y1=1+归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根．3.解题依据：(a±b)2=a2±2ab+b2，把公式中的a【题型1可化为x2=p型的方程】【例1】（25-26九年级下·江苏常州·期中）方程x2-4=0的根是（

）A．x1=xC．x1=2，x2=-2 D【变式1-1】（25-26九年级上·北京·期末）方程3x2-27=0【变式1-2】（25-26九年级上·山西忻州·期末）方程25x2-1=0A．x=15 BC．x1=15，x2【变式1-3】（25-26八年级上·上海浦东新·月考）已知关于x的方程x2=3-k没有实数根，那么k的取值范围是【题型2可化为(mx+n)2=p型的方程】【例2】（25-26九年级上·福建福州·期中）若一元二次方程（x﹣3）2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x﹣3＝4，则另一个一元一次方程是___．【变式2-1】（25-26九年级上·江苏南京·期末）方程x+32=4的根是（A．x1=-1，x2=-5 BC．x1=x2=-1【变式2-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）将方程(2x－得2x－1=即2x－1＝________或所以x1＝________，x2【变式2-3】（25-26八年级下·安徽亳州·月考）已知方程x+12=9的两个根为x1，x2，且x【题型3配方】【例3】（25-26九年级上·山东青岛·单元测试）配方：x2-25x+【变式3-1】（25-26九年级上·海南·月考）配方：x2-3x+______=（x-______）2；2x2-8x+8=2【变式3-2】（2025·广东东莞·一模）方程x2+2x﹣1=0配方得到（x+m）2=2，则m=_____．【变式3-3】（25-26九年级上·江苏盐城·月考）关于x的代数式x2+m+1x+【题型4用配方法解方程】【例4】（25-26九年级上·全国·课后作业）（1）将一元二次方程3x2-6x+1=0配方后，得（2）将一元二次方程5x2+2=8x配方后，得【变式4-1】（25-26九年级上·山西朔州·月考）佳佳在解一元二次方程x2解：x移项，得x2+6x=4．配方，得x2+6x+9=4．即(x+3)2=4．解得x1=-1，x2(1)上述解答过程中，从第______步开始出现了错误；（填序号）(2)写出正确的解答过程．【变式4-2】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的方程x2-mx+n=0通过配方可变形为x-142【变式4-3】（25-26九年级上·河南南阳·期中）已知方程x2－6x＋q＝0配方后是（x－p）2＝7，那么方程x2＋6x＋q＝0配方后是（

）A．（x＋p）2＝7 B．（x＋p）2＝5 C．（x－p）2＝7 D．（x－p）2＝5【题型5配方法的应用】【例5】（24-25八年级上·北京·期末）通过配方，可以求得代数式a2-6a+10的最小值是（A．0 B．1 C．9 D．10【变式5-1】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知A=2x+m，B=x2+m+4，则比较代数式A与B的值：A________B．（请用“>”、“<”、“【变式5-2】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）已知a+2b+3c=6，则a2+2b【变式5-3】阅读材料：把形如ax2+bx+c（1）填空：分解因式4a2-4a+1=（2）把x2-10x-1写成(x+h)2（3）若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+3b考点2公式法知识点3考点2公式法1.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，通过配方可得(x+b一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“2.根的判别式∆的符号与一元二次方程根的情况（1）∆>0⟺一元二次方程有两个不相等的实数根；（2）∆=0⟺一元二次方程有两个相等的实数根；（3）∆<0⟺一元二次方程无实数根．3.应用（1）不解方程判断一元二次方程根的情况；（2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围．知识点4公式法解一元二次方程1.当∆≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方，其实数根可写为x=-b±b2∆>0方程有两个不相等的实数根x=∆=0方程有两个相等的实数根x∆<0方程无实数根2.利用公式法解一元二次方程的一般步骤（1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值；（2）求出∆=b（3）若∆≥0，则将a，b，c的值代人求根公式x=-b±b2-4ac2【题型6判断根的情况】【例6】（25-26八年级下·广西百色·期中）问题“解方程x2-3x+3=0”：小李说“其中一个解是x=1”；小珍说“b2-4ac<0，此方程无实数根”；小邓说“方程有两个实数根，这两个实数根的和为-3A．小李说得对 B．小珍说得对 C．小邓说得对 D．三名同学说法都不对【变式6-1】（25-26九年级下·山东滨州·期中）关于x的一元二次方程x2-2+m【变式6-2】不解方程，判断方程2x【变式6-3】定义运算：m※n=mn2-mn-2．例如：4【题型7求参数的值或取值范围】【例7】已知关于x的方程k-1x2-2x+1=0有实数根，则k【变式7-1】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）关于x的一元二次方程m-2x2+3x+1=0有两个实数根，则mA．m≤174且m≠0 B．C．2<m≤174 D．m≤【变式7-2】（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）已知等腰△ABC中，BC=4，AB，AC是关于x的一元二次方程x2-6x+m=0（m是常数）的两实数根，则m的值为________【变式7-3】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0满足4a-2b+c=0A．2a-c=0 B．4a+b=0 C．b=c D．a+b+c=0【题型8用公式法解方程】【例8】（25-26七年级上·广东中山·月考）x=-3±32A．2x2+3x+1=0C．2x2+3x-1=0【变式8-1】（25-26八年级上·上海徐汇·月考）一元二次方程x2-x-1=0的根是【变式8-2】解下列一元二次方程(1)x2(2)2x【变式8-3】关于x的一元二次方程kx(1)若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；(2)若该方程有两个相等的实数根，求该方程的解．考点3因式分解法知识点5考点3因式分解法1.先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．2.适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式3.利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤一移使方程的右边为0二分将方程的左边因式分解三化将方程化为两个一元一次方程四解写出方程的两个解【题型9用因式分解法解方程】【例9】用因式分解法解一元二次方程x(x-3)=x-3时，原方程可化为（

）A．(x+1)(x-3)=0 B．(x-1)(x-3)=0 C．x(x-3)=0 D．(x-2)(x-3)=0【变式9-1】已知关于x的方程x2+kx－2＝0的一个根是x＝2，则另外一个根为_____．【变式9-2】（25-26九年级上·吉林白城·月考）用因式分解方法解方程：x(x-2)+(x-2)=0．【变式9-3】（25-26九年级上·广东广州·期中）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：无论k为何值，此方程总有一个根是定值；(2)若直角三角形的一边为12，另两边恰好是这个方程的两根，求k的值．【题型10换元法解方程】【例10】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知实数x满足x4-4x2-12=0A．7 B．4 C．7或-1 D．-5或3【变式10-1】若x、y为实数，且x2+y2x【变式10-2】（25-26九年级上·江苏扬州·月考）关于x的方程ax+m2+b=0的根是x1=2024，x2=-2026，（a，b，m均为常数，a≠0【变式10-3】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）【材料阅读】解方程：x第一步：设x2-1=t，则原方程化为t2-5t+4=0①，解方程第二步：求解x的方程，即x2-1=1②x2-1=4③，解②③得：x1=第三步：所以原方程的解是：x1=2，x2上述解题方法，我们称之为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法；在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．【初步应用】（1）解方程：x【提升应用】（2）若四个连续自然数的积为120，请按照材料的方法，求这四个连续自然数．【题型11解含绝对值的一元二次方程】【例11】（24-25九年级上·河南