2.1 一元二次方程的概念（讲义）（解析版）

第二章一元二次方程2.1一元二次方程的概念知识点一一元二次方程的定义1.定义：等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。2.核心三要素（缺一不可）：①整式方程（等号两边均为整式，分母不含未知数，根号下不含未知数）；②只含一个未知数；③未知数的最高次数是2（二次项系数不能为0）。3.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，通常也称为一元二次方程的根。即学即练1．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x+1=0 B．y2+x=1 C．x+1【答案】D【分析】一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，据此逐一验证选项即可．【详解】解：A、2x+1=0中，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求；B、y2+x=1中，含有x和C、x+1D、x2=x+1整理得x2-x-1=0，只含一个未知数2．（25-26九年级上·广东中山·期中）若关于x的方程m+1x2m+2mx-3=0是关于x的一元二次方程，则mA．任意实数 B．1或-1 C．1 D．-1【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程需满足条件，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此计算m的取值即可【详解】解：∵关于x的方程m+1x2m+2mx-3=0∴{2m解2m=2得m=1或m=-1∵m+1≠0∴m≠-1，∴m=1．3．（25-26九年级上·福建厦门·期中）若一元二次方程有一个根是x=0，则这个方程可以是（

）A．x+1x+2=0 BC．x2-1=0 D【答案】D【分析】本题考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义判断即可．【详解】解：A、把x=0代入，可得x+1x+2=1×2=2≠0，所以x=0不是方程B、把x=0代入，可得x2-2x+1=0-0+1=1≠0，所以x=0不是方程C、把x=0代入，可得x2-1=0-1=-1≠0，所以x=0不是方程D、把x=0代入，可得x2+x=0+0=0，所以x=0是方程故选：D．知识点二一元二次方程的一般形式1.关于x的一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（其中a、b、c2.一元二次方程的各部分名称：①ax2：二次项，a叫做二次项系数（②bx：一次项，b叫做一次项系数（b可以为0，此时方程为ax③c：常数项（c可以为0，此时方程为ax3.注意：将一元二次方程化为一般形式时，需将所有项移到等号左边，合并同类项，使右边为0，且二次项系数通常化为正数（方便后续计算）。即学即练1．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）把一元二次方程(x+1)(x-2)=3x化成一般形式，正确的是（

）A．x2-4x-2=0 BC．x2+4x-2=0 D【答案】A【分析】根据一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0，a，b【详解】解：原方程为(x+1)(x-2)=3x，展开左边得x2整理得x2移项合并同类项得x22．（25-26八年级下·广西百色·期中）一元二次方程3x2-2x=5A．3 B．-2 C．5 D．-5【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的有关定义，解题的关键是掌握相关定义，只含有一个未知数，并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程，一般形式为ax2+bx+c=0，其中ax2【详解】解：由3x2-2x=5则常数项为-5，D选项符合题意．3．（25-26八年级下·广西崇左·期中）关于x的一元二次方程x2-7x-18=0的一次项系数是（A．1 B．7 C．-7 D．-18【答案】C【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2-7x-18=0的一次项为：∴一次项系数是-7．题型01一元二次方程的识别/（1）定义：只含一个未知数，未知数最高次数为2，整式方程；（2）解法：先整理化简式子，满足三个条件：单未知数、最高次2次、整式方程.典｜例｜精｜析1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程是一元二次方程的是（

）A．x2-1C．x2+3x-2=5x+x【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，据此逐一判断选项即可．【详解】解：A.x2-1B.x-3y=-2含有x,y两个未知数，不是一元二次方程，不合题意；C.x2+3x-2=5x+x2+8D.x2-5x+6=1整理得x2变｜式｜巩｜固1．（25-26八年级下·浙江金华·期中）下列方程属于一元二次方程的是（

）A．x2+y-2=0 BC．x+1x=5【答案】D【分析】根据一元二次方程“只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程”三个条件逐一判断选项．【详解】解：∵一元二次方程需同时满足三个条件：只含有1个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程.∴对各选项分析如下：A选项x2+y-2=0含有B选项x+4=5未知数的最高次数为1，不满足条件，排除；C选项x+1D选项x2+2x=3只含1个未知数x，未知数最高次数为2．（25-26八年级下·山东烟台·期中）下列方程中：①2x2-1=0，②ax2+bx+c=0，③x+2x-3=x2-3，A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据一元二次方程的概念逐一判断即可．【详解】解：①2x2-1=0②ax2+bx+c=0③x+2x-3=x④1x⑤x2-x⑥x2综上，一元二次方程有2个．题型02根据定义求参数取值/（1）解法：列两个条件，未知数最高次数等于2，二次项系数不为0，联立求解参数；（2）易错：只满足次数要求，遗漏二次项系数不能为0的限制.典｜例｜精｜析1．（2026·江苏淮安·一模）若方程m-1x2+x=1是关于x的一元二次方程，则mA．m≠1 B．m≥1 C．m≤1 D．m为任意实数【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0，据此列不等式求解即可．【详解】解：∵方程m-1x2+x=1∴二次项系数m-1≠0，解得m≠1．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知关于x的方程k+1xk+1-3x+1=0是一元二次方程，则【答案】1【分析】根据方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，像这样的方程叫做一元二次方程，据此解答即可．【详解】解：∵方程(k+1)x∴|k|+1=2，且k+1≠0，解得k=1．2．（25-26九年级上·广东深圳·期末）若关于x的一元二次方程x+22=m2x+1中不含x的一次项，则m【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的定义求参数，熟练掌握运算方法是解题的关键．将方程展开并整理为标准形式，令一次项系数为零求解m即可．【详解】解：原方程化为：x2移项得：x2由不含x的一次项，得一次项系数4-2m=0，解得m=2，故答案为：2．3．（2026·辽宁鞍山·二模）若x=a是方程x2-2x-3=0的一个根，则2a【答案】13【分析】根据方程的根的定义，将x=a代入原方程可得a2【详解】解：∵x=a是方程x2∴a2∴a2∴2a题型03写出一元二次方程一般形式/（1）一般式：ax（2）解法：去括号、移项、合并同类项，按降幂排列；（3）易错：移项不变号；排列顺序混乱；未统一整理标准格式.典｜例｜精｜析1．（25-26八年级下·山东泰安·期中）将一元二次方程x2-3x+5A．x2-3x+5=6x-4 BC．x2-9x+11=0 D【答案】B【分析】本题将原方程依次进行去括号、移项、合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式ax【详解】解：∵原方程为x2先去括号，可得x2-3x-15=6x-4将所有项移到等号左侧，移项变号得x2-3x-15-6x+4=0合并同类项得x2-9x-11=0变｜式｜巩｜固1．（25-26八年级下·山东淄博·期中）把方程xx+2=5x-2化成一般形式，得到x2-ax+10=0A．3 B．-3 C．7 D．-7【答案】A【分析】将方程化为一般形式，比较系数即可解答．【详解】解：xx+2去括号，得x2移项，得x2合并同类项，得x2∴a=3．2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）将方程1-xx+3=1【答案】x【分析】一元二次方程的一般式为ax2+bx+c=0a≠0，其中a是二次项系数，【详解】解：∵1-xx+3∴x-x∴x-x∴-x2-2x+2=0题型04确定方程各项系数/（1）解法：化为一般形式后，对应找出二次项、一次项、常数项系数，包含前面符号；（2）易错：漏掉系数正负号；常数项判断出错.典｜例｜精｜析1．（25-26八年级下·浙江金华·期中）一元二次方程6x2=5-4xA．6，5，-4 B．6，4，-5 C．6，-5，4 D．6，-4，5【答案】B【分析】一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0），其中a为二次项系数，b【详解】解：∵原方程为6移项整理得一般形式：6∴二次项系数为6，一次项系数为4，常数项为-5．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·广东江门·月考）一元二次方程x2-4x-4=-9+5x的一次项系数是（A．-4x B．-4 C．-9x D．-9【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，先将原方程整理为一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0【详解】解：x∴x∵一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0∴该方程的一次项系数是-9，故选：D．2．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）方程x+1x-2=0展开为一般形式后，一次项系数是（A．-1 B．1 C．-2 D．2【答案】A【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式和系数，其一般形式为ax【详解】解：方程整理得：x2则方程的一次项系数是-1．故选：A．3．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程3x2-5x=4的二次项系数是_____，一次项系数是_____【答案】3-5-4【分析】先将原一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0【详解】解：∵3x∴3∴二次项的系数为3，一次项的系数为-5，常数项为-4．题型05利用方程根的概念估算/（1）解法：将根代入方程等式成立，结合数值范围估算根的取值区间；（2）易错：代入计算运算失误；估算区间判断偏差.典｜例｜精｜析1．（2026·山东聊城·模拟预测）根据表格，判断关于x的方程ax2+bx+c=3x1.11.21.31.4a-0.590.842.293.76A．-0.59<x<0.84B．1.1<x<1.2C．1.2<x<1.3 D．1.3<x<1.4【答案】D【分析】由表格找到ax2+bx+c的值在两个相邻x处分别小于和大于3，则方程ax【详解】解：由表格可知：当x=1.3时，ax当x=1.4时，ax∴方程ax2+bx+c=3(a≠0)的一个解x变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·广东佛山·期末）观察下列表格，可得出一元二次方程x2+12x-15=0的一个近似解是（x1.11.21.31.41.5x-0.590.842.293.765.25A．1.1<x<1.2 B．1.2<x<1.3C．1.3<x<1.4 D．1.4<x<1.5【答案】A【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格确定相邻两个未知数的值使x2+12x-15的值为一正一负，即可确定【详解】解：由表格可知，当x=1.1时，x2+12x-15=-0.59<0；当x=1.2时，则当1.1<x<1.2时，存在一个x的值，使x2故关于x的方程x2+12x-15=0的一个解x的范围是故选：A．2．（25-26九年级上·四川成都·期中）小刚在探索一元二次方程x2+1