1.3 用反比例函数解决问题（第1课时）（教学设计）

2/21.3用反比例函数解决问题（1）教学设计1.教学内容本课选自苏科版九年级上册第一章反比例函数1.3《用反比例函数解决问题（1）》。核心知识点：1.反比例函数的一般式y=kx(k≠0)及其图象、性质；2.变量乘积保持不变所蕴含的2.内容解析本节围绕“总量保持不变—两变量乘积恒定—反比例关系”这一核心本质展开。先以“背书包更宽更舒适”情境引发学生体验“压力一定时pS=F”的反比例特征；继以撬棍撬石、压强–受力面积、气体压强–体积、功–力与位移等实例，层层递进地呈现“等量关系→建立y=kx→利用增减性判定范围与最值”的解决流程。通过“图象—解析式—实际意义”三位一体的探究，引导学生在跨学科情境中体会反比例函数的应用价值，深化对“变量乘积不变”的本质理解，培养数形结合、建模与估算能力。重点放在模型建构与性质运用，难点在于从文字材料中抽象出“1.教学目标•能从杠杆、压强、气压、做功等实际情境中，提炼等量关系，建立反比例函数解析式。•会利用反比例函数解析式求值，结合反比例函数增减性解决取值范围、最值类实际问题。•理解反比例函数“k为定值，两个变量乘积不变”的核心本质。2.目标解析•通过对撬棍、压强等案例的数量关系分析，学生能用设未知、待定系数法写出y=kx形式的解析式，体现建模能力。

•在具体问题中代入已知求k，利用“x增大y减小”判定x,y的范围或最值，培养运用函数性质解决现实问题的能力。

•通过多情境比较与口头表达，总结出“总量不变→3.重点难点•教学重点：从实际情境中抽象出“总量不变”的等量关系。•教学难点：正确识别常量k并建模。九年级学生已掌握一次函数、正比例函数及简单方程求解，对“变量间线性关系”较熟悉；刚接触到反比例函数，已了解其定义、图象及性质。优势：能理解“函数”与“图象”对应，具备基本变形与求值能力。困难：1.从复杂物理情境中抽象“乘积恒定”的等量关系，建模为y=kx；2.将函数性质与不等式结合，判断自变量、因变量的取值范围与最值；在回归实际时关注自变量的取值限制和结果合理性。教学需通过直观演示（撬棍实验、书包肩带对比）、分层引导建模、强化图象与代数双创设情景，引入新课知识回顾：反比例函数解析式的一般形式是什么？y＝kx（k为常数，k≠0当k＞0时，双曲线在每个象限内，y随x增大如何变化？y随x增大而减小．情景引入物理学中的许多实际问题，都蕴含着反比例关系．观察图片中的两款书包，它们的肩带宽度和材质有明显差异．如果要背较重的书本，你会选择哪一款？这背后藏着什么数学原理？解：背同样重的书包，宽肩带比窄肩带更舒服．这是因为肩膀的疼痛感与它受到的“压强”大小有关．当书包的重量(压力F)一定时，肩膀的受力面积S越大，肩膀受到的压强p就越小．在这里，压力F是定值，压强p与受力面积S成反比．【设计意图】利用学生熟悉的“背书包”体验，引发对“压强—面积”反比例关系的兴趣；复习旧知，为新课学习奠基；明确本节学习任务，增强学习动机。探究点：利用反比例函数解决实际问题1.探究思考某人要用一根撬棍撬起一块石头，石头对撬棍垂直方向的作用力为1600N，撬棍支点到石头一端的距离为0.5m，他的手至少握在距离支点多远处才能撬动石头？核心原理：动力×动力臂＝阻力×阻力臂公式表达：F·l＝F阻·l阻解：(1)函数关系推导：代入数值得F·l＝1600×0.5，所以l＝800Fl是F的反比例函数，根据反比例函数的性质，l随F的增大而减小．(2)求最小动力臂：将F＝800N代入，得l＝800800＝1(m)那么他的手至少握在距离支点1m处才能撬动石头．思考：为什么力气越大，手握的位置可以离支点更近？2.例题精讲例1在压力不变的情况下，某物体所受到的压强p(Pa)与它的受力面积S(m2)之间成反比例函数关系，其图象(1)求p(Pa)关于S(m2)的函数表达式解：(1)设函数表达式为p＝kS由图象知，当S＝0.1m2时，p＝1000Pa所以1000＝k0.1解得k＝100．所求函数表达式为p＝100S(2)要使该物体所受到的压强p不超过250Pa，它的受力面积最大为多少？核心思路：解决此类问题的关键在于先通过待定系数法求出函数解析式，再利用反比例函数的增减性，结合不等式确定变量的取值范围．解：(2)根据题意，把p＝250Pa代入p＝100S，得S＝100÷250＝0.4(m2)根据反比例函数的性质，p随S的增大而减小，所以要使该物体所受到的压强不超过250Pa，它的受力面积最大为0.4m23.知识归纳利用反比例函数解决物理实际问题的一般步骤：1．审题：仔细审题，确定问题中的常量、变量和变量之间的关系；2．建模：根据变量之间的关系，建立反比例函数模型(设解析式)；3．求解：将已知条件代入求k，确定解析式，再利用函数性质求解；4．验证：结合实际情况，验证结果是否合理(特别是自变量的取值范围)．【设计意图】通过熟悉的杠杆场景，让学生在“列式—化简—抽象函数”过程中，体验“现实问题→数学模型→性质应用”的完整路径，突破“建模”与“增减性应用”难点。1.某气球充满一定质量的气体后，当温度不变时，气球内的气压p(kPa)是体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于140kPa解：设p与V的函数表达式为p＝kV(k为常数，k≠0)，由图象可知，函数图象经过点A(0.8，120)，将V＝0.8，p＝120代入p＝kV，得120＝k0.8．解得k∴p与V的函数表达式为p＝96V由题意可知,为了安全起见,气球内的气压p≤140,即96V≤140,解得V≥96140,即V≥24答：为安全起见，气球内气体体积应不小于24352.由物理学知识可知，在力F(N)的作用下，物体在力F的方向上会发生位移s(m)，力F所做的功W(J)满足W＝Fs．当W为定值时，F与s之间的函数图象如图所示．（1）请根据图象写出这个反比例函数表达式（2）当位移是3

m时，力F是多少？

（3）当力F不超过10

N时，物体在力的作用下至少要移动多少米？解：(1)设反比例函数的表达式为F＝ks(k为常数，k≠0)由图象可知，函数图象经过点(2，7.5)，将s＝2，F＝7.5代入，得7.5＝k2解得k＝15．∴这个反比例函数的表达式为F＝15s(2)当s＝3时，F＝153＝5(N)答：当位移是3m时，力F是5N．(3)由题意得F≤10，即：15s≤10解得：s≥1.5，∴物体至少