四川省绵阳市高中2024级第二学年末教学质量测试 数学答案

高二数学参考答案第页（共4页）高中2024级第二学年末教学质量测试数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．A 2．C 3．B 4．B 5．C 6．C 7．A 8．D二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．9．ABD 10．BD 11．ACD三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．12．； 13．−160； 14．12四、解答题：共77分。15．解：（1）∵，∴数列{an}是公差为1的等差数列， 1分所以， 2分又{bn}是等比数列，且，， 3分设公比为q，则，即，解得， 5分∴； 6分（2）， 7分∴， 8分∴， 9分∴ 10分，∴． 13分16．解：（1）由，得， 1分令，则，故在上单调递增， 2分当时，，在单调递减， 3分所以当时，取最大值，无最小值； 5分（2）由，得， 7分构造函数，则， 9分令，则， 10分故当时，，单调递增， 11分时，，单调递减， 12分故当，取极小值也是最小值，， 14分∴． 15分

17．解：（1）由题意得， 1分， 2分，由对称性知：∴A等级分数对应的区间约为[125，150]， 3分B等级分数对应的区间约为[90，125)， 4分C等级分数对应的区间约为(55，90)， 5分D等级分数对应的区间约为[0，55]， 6分故甲，乙，丙三位同学的等级分别是：A，B，C； 7分（2）记事件M：该题答对；事件N1：该生等级为A；事件N2：该生等级为B；事件N3：该生等级为C；事件N4：该生等级为D， 8分由全概率公式：， 10分又，，，， 12分∴， 14分∴该题的正确率为． 15分18．解：（1）对于，求导得， 1分若a<0时，，在上单调递减； 2分若a>0时，令得，x∈(0，a)时，，在上单调递增；x∈(a，+∞)时，，在(a，+∞)上单调递减； 3分对于，求导得， 4分故在[0，+∞)上单调递减； 5分（2）由（1）知在[0，+∞)上单调递减，且，于是，则sinx≤0（x≥0），等号仅在x=0时成立，因此对i∈N*有， 6分又由（1），取a=1得，其在x=1处取得最大值，故(x>0)，等号在x=1时成立， 7分令（i∈N*），则，等号仅在x=1时成立。即，则， 8分∴， 9分对i=1，2，3，…n累加：，证毕； 10分（3）由题意．F(x)在(0，π)上单调递增，等价于在(0，π)上恒成立，即在(0，π)上恒成立． 11分记．当时，，故； 12分当时，利用熟知不等式tanx>x（可由求导或单位圆几何意义得到），有． 13分又（因），于是． 14分综上，在区间(0，π)上恒成立．因此只要取．验证a=1确实可行：此时． 15分易知在上；在上．故在(0，π)上恒成立，F(x)严格单调递增． 16分而当a=0（非正整数）时，在上为负，不满足条件．因此，满足题意的整数a的最小值为1． 17分方法二：由题意．F(x)在(0，π)上单调递增，等价于在(0，π)上恒成立，即在(0，π)上恒成立． 11分记，则，易知，当时，，则在区间上单调递减；令，则， 12分当时，易知，则在区间上单调递减，又，，则存在使得，即， 13分∴时，，为增函数；∴时，，为减函数， 14分∴在区间为增函数，在区间上是减函数，∴， 15分令，易知在上是增函数，∴， 16分∴满足题意的整数a的最小值为1． 17分19．解：（1）（i）当m=4，t=3时，且是有放回抽样，则，，； 3分（ii）方法1：随机变量X的可能取值为0，1，2，3，；；；；∴； 7分方法2：该望远镜3次观测成功获取有效信号的总组数为X，设（i=1，2，3，…，t）， 4分因为方案一是有放回抽取，且由（i）知，，，∴，，， 6分又，故：； 7分（2）记成功获取有效脉冲信号组数为Y，设（i=1，2，3，…，t）， 8分方案一：因为是有放回抽取，且，即x=1，2，…，i，共i种结果，因此，则，又，故：， 12分方案二：无放回依次抽取，等价于从m个编号中随机选t个进行有序排列.又因为任意指定第i个位置，每一个编号出现在该位置的概率都是，故