1.1 反比例函数的概念（讲义）（解析版）

第一章反比例函数1.1反比例函数的概念知识点一反比例关系1.定义：两个变量x、y，若每组对应值的乘积为非零常数，即xy=kk≠0，则x与实例：路程一定时，时间t与速度v成反比；面积一定时，长方形长a与宽b成反比。即学即练1．（25-26七年级上·广西梧州·期末）下列各选项中的两个量成反比例关系的是（

）A．速度一定，路程与时间 B．圆柱的体积一定，底面积与高C．小明的体重与他的年龄 D．圆的周长与半径【答案】B【分析】本题考查了反比例关系；判断两个量是否成反比例关系，需满足它们的乘积为常数．【详解】解：A．速度一定时，路程与时间成正比，不符合题意；B．V=底面积S×高h，圆柱的体积V一定，底面积与高成反比例关系，符合题意；C．体重与年龄无确定比例关系，不符合题意；D．圆的周长与半径成正比，不符合题意；故选：B．2．（25-26九年级上·河南许昌·期末）下列选项中，两个变量m和n成反比例关系的是（

）A．长为m，宽为n，周长为1的矩形 B．底面半径为m，高为n，体积为1的圆柱C．对角线长分别为m、n，面积为1的菱形 D．长为m，宽和高均为n，体积为1的长方体【答案】C【分析】本题根据反比例关系的定义：若两个变量m、n的乘积为非零定值，则m与n成反比例关系，结合各选项的几何公式推导出m、n的关系式，即可判断．【详解】解：选项A：∵矩形周长为1，∴2m+n=1，即m+n=12，两个变量和为定值，不是乘积为定值，因此选项B：∵圆柱体积为1，圆柱体积公式为V=πr2h，∴πm2n=1，即m2n=1选项C：∵菱形面积为1，菱形面积等于对角线乘积的一半，∴12mn=1，即mn=2，乘积为定值，因此m与选项D：∵长方体体积为1，长方体体积公式为V=长×宽×高，∴m⋅n⋅n=1，即mn2=1，是m与n2乘积为定值，因此知识点二反比例函数1.反比例函数的定义：一般地，形如y=kx（k为常数，且k≠0x是自变量，y是x的函数；k为比例系数，k≠0是必要条件。2.自变量与函数值的取值范围：①自变量：x≠0（分母不能为0）；②函数值：y≠0（由k≠0、x≠0得即学即练1．（25-26九年级上·河南安阳·期末）若y=-2xm是反比例函数，则m的值为（A．2 B．1 C．0 D．-1【答案】D【分析】本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的标准形式是解题关键．反比例函数的标准形式为y=kx或y=kx-1，其中【详解】解：反比例函数的标准形式为y=kx或y=kx-1，其中∵y=-2xm是反比例函数，∴m=-1．故选：D．2．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）函数y=1xx≠0A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．反比例函数【答案】D【分析】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是掌握反比例函数的一般形式y=kxk≠0．函数y=【详解】解：∵正比例函数一般形式为y=kx(k≠0)，一次函数一般形式为y=kx+bk≠0，二次函数一般形式为y=ax2又∵题目给出的函数y=1∴该函数是反比例函数，故选：D．知识点三反比例函数的三种形式1.标准式：y=k2.乘积式：xy=k（最能体现“乘积定值”本质）；3.负指数式：y=kx即学即练1．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以60km/h的平均速度用了8h到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：kmh）与时间t（单位：A．v=480t B．v=480t+8 C．【答案】A【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握路程、速度、时间的数量关系是解题的关键．根据去程的速度和时间求出路程，返回时根据路程不变，速度与时间成反比例关系列函数关系式即可．【详解】解：∵去程速度v0=60km/h，时间∴路程s=v返回时，路程s不变，且匀速返回，∴v×t=s=480，∴v=480即函数关系式为v=480故选：A．2．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）我们知道，压强p、压力F与受力面积S三者的关系为p=FS，当压力F一定时，下列能反映p与S之间关系的A． B．C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了反比例函数的定义、图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象特征及实际问题中自变量的取值范围是解题的关键．先根据压强公式，结合压力F一定的条件，判断出p与S的函数类型，再根据该函数的定义域和增减性，对应到选项中的图象进行选择．【详解】解：∵p=FS，且∴p是S的反比例函数，∵S>0，∴函数图象是第一象限内的双曲线分支，且随S增大，p减小，故选：D3．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输天数之间的关系如下表：每天运输的吨数50025010050……运输的天数125m……(1)这批货物共有多少吨？(2)用x表示运输天数，用y表示每天运输的吨数，用式子表示它们的关系．(3)x与y成反比例关系吗？如果成，请求出表格中m的值．【答案】(1)500吨(2)y=500(3)成反比例关系，m=10【分析】本题考查了反比例关系的实际应用，解题的关键是根据“货物总量=每天运输吨数×运输天数”确定总量，并分析变量间的关系．（1）用每天运输吨数乘对应天数计算货物总量；（2）根据总量公式变形得到x与y的关系式；（3）依据反比例关系的定义判断，再代入总量求m的值．【详解】（1）解：500×1=500（吨）．答：这批货物共有500吨．（2）解：由y×x=500，得y=500（3）解：∵xy=500（定值），∴x与y成反比例关系．当y=50时，m=500知识点四反比例函数解析式的判断1.解析式的特征（判断依据）：①右边是分式，分子为非零常数k，分母是自变量x（次数为1）；②比例系数k≠0；③自变量x的次数为1次（如y=3x即学即练1．（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期中）下列函数中，是反比例函数的是（

）A．y=3x B．y=3x C．y=3x+1 D【答案】B【分析】根据反比例函数的一般形式y=k【详解】解：A选项y=3x是正比例函数，不是反比例函数，不符合题意；B选项y=3x符合C选项y=3x+1是一次函数，不是反比例函数，不符合题意；D选项y=3x2．（25-26九年级上·宁夏银川·月考）下列函数：①y=3x-1；②y=2x-1；③y=-8x2；④y=12x；⑤y=x2-1；⑥xy=-1；⑦【答案】②④⑥【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，即形如y=kx（k为常数，k≠0），或可转化为y=kx-1（k≠0）、【详解】解：①y=3x-1是一次函数，不是反比例函数，②y=2x-1可变形为③y=-8x2中自变量x④y=12x可变形为⑤y=x⑥xy=-1可变形为y=-1⑦y=2x是正比例函数，不是反比例函数，综上所述，反比例函数有②④⑥．故答案为：②④⑥．题型01判断反比例函数/（1）整理成标准式，自变量x次数为-1次；（2）分母只含单个x，不含加减；（3）系数k不能为0.典｜例｜精｜析1．（2026·上海松江·二模）下列函数中，y是x的反比例函数的是（

）A．y=x2 B．y=1x+2 C．【答案】C【分析】本题根据反比例函数的定义，逐一判断各选项即可得出结论．【详解】解：A、y=xB、y=1x+2的分母不是C、y=2D、y=x变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）下列函数中是反比例函数的是（

）A．y=x2 B．y=3-2x C．【答案】B【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．需根据反比例函数的形式y=kx（k为常数，k≠0，【详解】解：∵反比例函数的定义为形如y=kx（k是不为0的常数，A选项，y=xB选项，y=3-2x可变形为y=-C选项，y=xD选项，y=1x+2的分母是x+2，不是单独的自变量故选：B．2.（25-26八年级上·上海·期中）下列函数关系式：（1）y=-2x3；（2）y=3-2x；（3）y=2-55x；（4）y-1=1x（5）【答案】(2)(3)【分析】本题主要考查了反比例函数，根据反比例函数的定义，形如y=kx（k为常数，【详解】解：y=-2x3，是正比例函数，故y=3-2x=-32x，可化为y=kxy=2-55x=-35x，可化为y=kxy-1=1x，即y=1y=2x-1，分母是x-1而非x，故故答案为：(2)(3)．题型02根据定义求参数取值/（1）自变量次数=-1列方程；（2）反比例系数≠0列不等式；（3）联立求解参数.典｜例｜精｜析1.（25-26九年级上·山东威海·月考）若函数y=m+3m-A．2 B．-2 C．±3 D【答案】B【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的形式为y=kx-1，其中根据反比例函数的定义列式方程计算即可．【详解】解：∵函数y=m+∴m2-3=-1且解得：m=-2故选B．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·广东梅州·月考）在反比例函数y=k+3xk≠-3中，当x=-2时，y=-1，则kA．5 B．1 C．-1 D．-5【答案】C【分析】本题考查了根据反比例函数的定义求参数，解一元一次方程（三）——去分母，解题关键是掌握反比例函数的定义并能运用求解．将给定的x和y值代入反比例函数解析式，得到关于k的一元一次方程求解．【详解】解：∵当x=-2时，y=-1，∴代入y=k+3x，得：两边同时乘以-2，得：2=k+3，∴k=2-3=-1，故选：C．2．（2026·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，已知点Aa,2、B1,b在同一个反比例函数的图象上，若b<-8，则a可以是【答案】-5（答案不唯一）【分析】先根据反比例函数上点的性质，推出2a=b，再根据b<-8，求出a的取值范围，即可求解．【详解】∵点Aa,2、B1,b在同一个反比例函数的∴2a=b，∵b<-8，∴2a<-8，即a<-4，∴a可以是-5．（答案不唯一，填小于-4的实数均正确）3．（25-26九年级下·广东潮州·月考）若y=3xm-2是反比例函数，则m【答案】3【分析】反比例函数的一般形式为y=kx(k≠0,k为常数)，可得分母中x的次数为1，据此列方程计算即可得到【详解】解：根据反比例函数的定义，可得m-2=1，解得m=3．题型03求反比例函数值/（1）先代入已知点求k；（2）写出完整解析式；（3）代入自变量求函数值.典｜例｜精｜析1．（2026·吉林·一模）根据欧姆定律I=UR可知，当电压U为定值时，电流I与电阻R成反比例．当U=220V，R=220A．0.5A B．1A C．2A【答案】B【详解】解：∵I=U∴U=220V，R=220变｜式｜巩｜固1．（2026·重庆·一模）已知点m,-3在反比例函数y=6x的图象上，则m的值为（A．-3 B．-2 C．2 D．3【答案】B【分析】将点坐标代入解析式即可计算出m的值．【详解】解：∵点m,-3在反比例函数y=6x的∴-3=6m，解得2．（2026·云南保山·二模）已知反比例函数y=2x，写出该函数图象经过的一个点为【答案】(1,2)（答案不唯一）【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，只需找出横纵坐标乘积为2的点即可．【详解】解：令x=1，代入y=2x得∴点1,2在该反比例函数图象上．题型04求反比例自变量值或取值范围/（1）求自变量值：已知y，代入解析式解方程即可；（2）自变量取值范围：:反比例函数x≠0；结合实际问题再限制范围.典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）反比例函数y=-4x中，自变量x的取值范围是【答案】x≠0【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，自变量x的取值范围是x≠0．【详解】解：∵函数y=-4∴x≠0，即自变量x的取值范围是x≠0．故答案为：x≠0．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）已知点Aa-1,2在反比例函数y=6x的图象上，则a【答案】4【分析】本题考查了反比例函数的性质．把Aa-1,2代入y=【详解】解：把Aa-1,2代入y=∴2=6解得，a=4，经检验符合，故答案为：4．2．（2026·北京大兴·一模）在平面直角坐标系xOy中，若点Am,2与点B-2,n在函数y=kxk≠0的图象【答案】0【分析】根据点在反比例函数图象上，点的坐标满足函数解析式，得到k与m，k与n的关系，再推导计算m+n的值即可．【详解】解：∵点A(m,2)和点B(-2,n)都在函数y=kx(k≠0)∴将两点坐标代入函数解析式，可得2=km，n=整理得k=2m，k=-2n，∴2m=-2n，即m=-n，∴m+n=-n+n=0．3．（2026·浙江杭州·一模）已知，在平面直角坐标系中，Ax1,y1、Bx2,y2是函数y=【答案】-2<【分析】由反比例函数可知y1=4x1，y2=4x2，由已知条件可得出【详解】解：∵Ax1,y1、∴y1=4∵x2∴x2∴y2∵y1∴4x∴1∴1x∴2+x∴2x∴x1∴x1>02+解不等式组x1解不等式组x1<02+故-2<x题型05列反比例函数/（1）判定两个变量成反比例，设y=k（2）代入一组x、y数值求（3）带回写出最终解析式.典｜例｜精｜析1．（2025·湖南长沙·三模）已知长沙市的土地总面积约为11819km2，人均占有的土地面积S（单位：km2/人）随全市人口n（单位：人）的变化而变化，则S与nA．S=11819n B．S=11819n C．n=11819S D【答案】B【分析】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，得出正确等量关系是解题关键，利用土地总面积除以总人数，进而表示出人均占有的土地面积．【详解】解：∵长沙市的土地总面积约为11819km2，人均占有的土地面积S（单位：km2/人），∴S与n的函数关系式是：S=11819故选B．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·期末）农村的手压水井是“前自来水时代”较为普遍的汲水工具．已知手压水井的阻力和阻力臂分别是800N和0.2